淺談如何運用數學建模思想解題

【摘要】 中考數學更貼近生活，更加注重學生的實際操作能力和解決實際問題的能力，以及數學在生活的運用能力. 建模思想在中考數學中發揮著重要作用，只有充分掌握第一手資料，了解問題的實際背景知識，用精確的數學語言提煉、描述、表達，然后建立數學模型，求解、驗證、分析，以解決實際問題.

【關鍵詞】 問題情境；建立模型；解釋；應用；拓展

數學新課標指出：初中階段的數學教學應結合具體的數學內容，采用“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解和掌握數學知識“數學建模”一是數學學習的要求，二是數學知識與技能的體現，是“應用——拓展”的前提.所以，初中數學教學應特別重視學生建模能力的培養. 學生數學建模能力的培養，應注意把握逐級遞進，螺旋上升的原則，并貫穿學生的整個學習過程.

一、 數學建模的過程

數學建模是運用數學的原理、方法、語言解決實際問題的過程. 數學建模的過程主要包括４個環節：

１. 問題分析：了解問題的實際背景材料，分析并找出問題的本質.

２. 假設化簡：確定影響研究對象的主要因素，忽略次要因素，以便簡化問題進行數學描述和抓住問題的本質.

３. 建模求解：根據分析建立相應的數學模型，并用數學方法或計算機程序（軟件包）對模型進行求解.

４. 驗證修改：檢驗模型是否符合實際，并對它作出解釋，最后將它應用于實際生產、生活中，產生社會效益或經濟效益.

需要注意的是：數學建模的問題往往不是一個單純的數學問題，它涉及其他學科知識以及生活知識. 數學建模的過程是一個多學科的合作過程. 它促使學生把從各門課程中學到的知識加以融會貫通；促使學生根據需要查閱資料、獲取知識；促使學生圍繞問題收集信息，深化對問題的了解，并在此基礎上解決問題. 數學建模還可以培養學生推演、探索、猜想、計算以及使用計算器、計算機等的能力.

二、 建模解題的案例分析

數學模型大致可分為三種類型，第一種為應用型數學模型．它涉及面很廣，數量眾多，對科學的發展起著直接的作用．既是數學轉化為生產力的關鍵，又是數學本身發展的源泉. 構造這種模型需要具有相當廣度和深度的數學修養和對實際問題的透徹認識. 應用型數學模型又可分為物理系統和非物理系統兩類. 屬于物理系統的如天體運行模型等，這是經常見到的，屬于非物理系統的如社會、經濟、心理等問題的模型.

數學建模的宣傳語是：數學無所不在、無所不能. 具備數學修養的學生會在現實生活中不斷發現數學問題，并利用掌握的數學知識解決問題. 以下的實例就是一個典型的通過建立“數學模型”來解決問題的典例.

例：一種電訊信號轉發裝置的發射直徑為３１ kｍ，現要求在一邊長為３０ kｍ的正方形城區選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這樣的轉發裝置，使這些裝置轉發的信號能完全覆蓋這個城市，問：

①能否找到這樣的４ 個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發裝置后能達到預設的要求？

②至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉發裝置后達到預設的要求？

答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算推理和文字來說明你的理由. （解題過程略）

評注：本題考查把實際問題轉化為數學模型來解決實際問題的能力．考查學生運用數形結合思想解決問題的意識和能力，側重于對過程性閱讀和探究能力的考查，讓學生經歷對問題的理解、探究、發展的一般過程，獲得研究問題的方法．關注學生類比、猜想、拓廣的思維方法的形成過程，注重對學習方式的引導．

數學建模活動對于學習解題方法具有積極作用. 目前的數學教學中，由于應試的壓力，解題的教學往往側重于“解”本身而不在于“學解”，也就是題海戰術. 大量的練習，學生學會了千萬種類型的題目的解法，但是一旦遇到新類型的題目，還是不會“解”. 這些會解的題目在今后的生活和工作中也基本無用. 解題教學的關鍵是“學解”，重質而不是重量.

數學建模活動中，由于現實的問題千變萬化，隨著時間的變化，不停的有新問題出現，沒有人能夠把所有問題都總結下來，讓學生去練習，這樣題海戰術就是失效了. 只能從數學建模活動的第一步開始，仔細分析問題（弄清問題），獨立思考發揮創新的思維建立模型（制定計劃），使用合適的方法解答（執行計劃），在驗證環節中，還必須對建立的模型和解答做進一步的驗證和反思（回顧）. 這樣的過程無形中“逼迫”學生使用了正確的解題方法.

良好的解題能力對于數學建模具有事半功倍的作用. 當你學會使用正確的解題方法，擁有組織良好數量龐大的知識體系以及思維體系的時候，就擁有了良好的解題能力. 遇到現實問題建立模型的時候，不需要任何問題都創新，畢竟前人的經驗對你來說是成本低廉的. 使用這些成本低廉的經驗對你來說就是事半功倍.

三、數學建模解題的幾點要求

１． 理解實質，注意變式. 要抓住模型的組成結構、性質、特征，摒除本質以外的東西，特別要抓住幾何中大量的基本定理、公式模型.

２． 加強比較，注重聯系，模型之間有區別. 條件圖形的絲毫改變，都可能涉及模型的改變. 有時一個題目往往是多個模型的綜合運用. 這就要求我們一方面狠抓基礎，又要多練綜合題.

３． 歸納總結，提煉模型. 模型不只是書本上的，更多是我們在練習中歸納總結的. 對平時練習中的重要結論、規律要注意把它提煉成一個模型.

建立數學模型是數學知識與應用的橋梁，學習和研究數學模型對培養學生分析和解決實際問題的能力是非常重要的，亦是數學教學的主要目的之一，為此，在數學教學中要重視從實際問題中引出新概念、新知識并注意培養學生敏銳的觀察力，豐富的想象力，創造性的思維能力及抽象、分析、歸納、綜合的能力，使學生多方面全方位感受數學建模思想，了解數學建模的思維過程，使學生逐漸理解和掌握數學建模的方法，以培養學生的學習興趣、創新意識、實踐能力.