一元一次不等式組的應用初探

【摘要】 探索一元一次不等式組在應用中的注意事項：嚴密性；現實意義；相關性. 它是正確解決問題的前提條件.

【關鍵詞】 一元一次不等式組；嚴密性；現實意義；相關學科；聯系，分析比賽.

隨著教育改革的進一步貫徹落實，應用數學占有了重要的席位，新編九年義務教育初中代數第六章中引入一元一次不等式及不等式組的應用題，給教育工作者提出了新的課題，同時也引發了一系列的思考，現結合教科書的幾道習題談一談教學中應注意的幾點：

一、注意思考問題的嚴密性

教材第８０頁習題Ｂ組第３題，“把一堆蘋果分給幾個孩子，如果每人分３個，則余８個；如果前面每人分５個，則最后一人得到的蘋果數不足３個，求小孩的人數和蘋果的個數”. 教材中給出的答案是“設有ｘ個孩子，則蘋果的個數是３ ｘ ＋ ８”，根據題意得

３ｘ ＋ ８ ≤ ５（ｘ － １） ＋ ３.

∴ｘ ≥ ５．

取ｘ＝５，６，７，８，９，

蘋果數分別為２３，２６，２９，３２，３５.

我認為此答案不正確.

第一，對“不足”一詞理解有誤. “不足”就是不滿，不夠之意，在數學中是“小于”的意思. “不足”一詞同時又隱含著存在性，故在數學中又有“大于０”之意. 因此，本題應列如下不等式：

０ < ３ｘ ＋ ８ － ５（ｘ － １） < ３. ∴ ５ < ｘ < ６．５.

∵人數應為正整數，∴ ｘ ＝ ６，蘋果的個數是２３個. 答案是唯一的.

第二，思考問題不嚴密，給出的答案從第一種分法來看沒有什么問題，是符合題意的，但從第二種分法來檢驗，錯誤就十分明顯了. 當ｘ ＝ ５時，最后一個孩子得到的蘋果數是３，應說“足３個”而不是“不足３個”. 當ｘ ＝ ７時不僅最后一個孩子得不到蘋果，就連第６個孩子也只能得到４個，與題意根本不符. 由此可見，在解答這類應用題時，一要抓住重點詞語，弄清它的含義，進而用數學符號表示出來；二要注意思維的嚴密性，不能忽視題中給出的每一個條件，要逐一檢驗.

二、注意應用題的現實意義

一切問題脫離了實際都是片面的，甚至是錯誤的.

例如“乘某市的一種出租車起價是１０元（即行駛距離在５ ｋｍ以內都需付１０元車費），達到或超過５ ｋｍ后，每增加 １ ｋｍ加價１．２元（不足１ ｋｍ部分按１ ｋｍ計），現在某人乘這種出租汽車從甲地到乙地，支付車費１７．２元，從甲地到乙地的路程大約是多少？”（教材８５頁第１０題），這道題與現實生活緊密相關，解決此類問題既不能脫離題意，又不可忽視它的現實意義，解此題的切入點是行駛距離是５ ｋｍ時應付多少錢？（１１．２元） ５．１—５．９ ｋｍ呢？（１１．２元）. ６ ｋｍ則應付１２．４元……，這就是它的實際意義. 因此，設從甲地到乙地的距離是ｘ ｋｍ，根據題意得

１６ ≤ １．２（ｘ － ５） ＋ １０ ＜ １７．２.

解得１０ ≤ ｘ ＜ １１，而多數同學認為兩地的距離等于１１ ｋｍ也行，其實這就是忽視了問題的實際意義.

三、注意應用題與相關學科的聯系

數學是解決實際問題的有效工具，與物理、化學等學科有著廣泛的聯系，如化學中的濃度配比問題，物理中的吸熱－放熱問題等等，都需要用數學方法來解決，反之，解答這類數學題也需要相關的物理、化學知識.

例如“在容器里１８℃的水６ Ｌ，現在要把８ Ｌ水注入里面，使容器里混合的水的溫度不低于３０℃，且不高于３６℃，注入的８Ｌ水的溫度應該在什么范圍？”（教材８６頁Ｂ組第６題），講這道題首先應使學生知道水溫的變化與水的體積之間的關系，即物理中的公式Ｑ ＝ ｃｍｔ及質量與體積的關系，即物理公式ｍ ＝ ρＶ，由此學生才能得出“ｃρ（６ ＋ ８） × ３０ ≤ ｃρ６ × １８ ＋ ｃρ８ｘ ≤ ｃρ（６ ＋ ８） × ３６ （設注入的８Ｌ水的溫度是ｘ） ”，進而化簡得到：

（６ ＋ ８） × ３０ ≤ ６ × １８ ＋ ８ｘ ≤ （６ ＋ ８） × ３６，即得到此題的代數解法，沒有這些基礎知識，解這道題就無從下手，即使列出上式也無憑無據，因此要建立起數學與其他學科的廣泛的聯系.

四、利用不等關系分析比賽

各種體育比賽不僅精彩紛呈，而且競爭激烈. 參賽者的比賽成績往往互相聯系，此起彼伏. 對于比賽結果的分析，往往需要考慮問題中的不等關系，而這樣的分析有時比解不等式更復雜，也更能鍛煉邏輯思維能力，一起來看下面的比賽問題.

如射擊比賽的問題：在一次射擊比賽中，某運動員前６次射擊共中５２環，如果他要打破８９環（１０次射擊）的記錄，第７次射擊不能少于多少環？

背景知識：在射擊比賽中，子彈越靠近靶心分數越高，打中最里面的圓為１０環，往外依次為９環、８環、…、１環，脫靶為０環，總環數越高成績越好.

分析 設第７次射擊的成績為ｘ環，由于最后三次射擊最多共中３０環，要破記錄則需有

52 + x + 30 > 89，

x > 89 - 52 - 30，

x > 7.

這就是說，第７次射擊不能少于８環才有可能破記錄.

數學大綱規定“要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練，”“形成應用數學的意識”而今更應注重培養學生解決實際問題的能力，這就要求我們教師善于歸納勇于探索，不斷地尋找解決問題的簡捷途徑.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文