圓面積計算公式還可以這樣推導

小學階段，平面圖形面積計算方法的得出，是從長方形的面積計算教學開始的，在后續的正方形、平行四邊形、三角形、梯形及圓的面積計算教學中，都是通過“轉化”的思想，把要研究圖形的面積轉化為已學過的圖形面積，進而推出新圖形面積的計算方法. 這種轉化思想在解決問題中也時常用到，因此，教給學生知識的同時，讓學生掌握“轉化”的本領尤為重要. 此外，在小學階段所學的基本的平面圖形中，只有圓是由曲線圍成的，其余都是由直線段圍成的，因此，圓面積的推導方法對學生來說有一定的難度. 在《數學課程標準》中，對第二學段“空間與圖形”的測量表述中有兩條：利用方格紙或割補等方法，探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式；探索并掌握圓的周長和面積公式. 對于由直線段圍成的平面圖形，課標中明確了主要的探索方法：利用方格紙或割補法，而對于圓面積的計算方法的推導，沒有給出確切的方法. 在教材中，也只是引導學生把圓割補成近似的長方形進行推導，那么，圓面積的計算方法還有沒有其他的推導方法呢？筆者認為，對圓面積計算方法的推導，還可以從以下兩個層次進行.

一、深化割補法，溝通各平面圖形之間的關系

在教學“圓面積計算公式的推導過程”時，教師們往往以教學時間緊、教學任務重為由，將圓形紙片按教材上的方法，割補成近似的長方形，再根據長方形面積的計算方法推導出圓面積的計算方法. 至于還能不能割補成其他已學過的平面圖形，沒有深究. 筆者曾調查過已學過這一內容的六年級學生，在他們的印象中，圓只能割補成長方形. 這樣的教學禁錮了學生的思維，割裂了平面圖形之間的關系，不利于學生整合已學的知識. 筆者認為，利用割補法至少要讓學生清楚，下面兩種方法也是可行的.

方法一：割補成近似的三角形.

原來圓的半徑用ｒ表示，把圓面平均分成四份，拼成一個近似的三角形，這個三角形的底是圓周長的一半，即２πｒ ÷ ２，高是２ｒ，根據三角形面積的計算公式可以推出：２πｒ ÷ ２ × ２ｒ ÷ ２ ＝ πｒ２. 并且可以讓學生發現：平均分的份數越多，越接近三角形.

方法二：割補成近似的梯形.

能不能把圓面割補成正方形呢？學生根據課本中割補成長方形的方法推導，如果拼成正方形，那么πｒ就要和ｒ相等了，這顯然不行. 至此，學生利用割補法，把圓面割補成了長方形（課本中的方法）、三角形和梯形，溝通了學生對小學階段所學平面圖形的聯系，加深了他們對所學知識的理解. 同時，也使學生對“割補法”有了進一步的認識，提高了他們用割補法解決問題的能力.

二、創設情境，推導圓面積計算公式

在教學“圓面積計算公式的推導”時，教師和學生的第一印象是：怎樣利用割補的方法把它拼成我們已學過的平面圖形. 那么，是不是一定要把圓面進行分割呢？筆者認為，不分割也能推導出圓面積的計算公式. 這時需要借助一定的情境.

方法三：創設問題情境——分割的每個三角形與圓形有什么關系？

方法四看似一個虛構的情境，但這樣的推導卻有它的知識基礎——中位線知識的應用. 在學習梯形面積的計算方法時，早期的教材中都有“中位線×高”的方法，這里也用到了同樣的知識——輪軸中心前進一周的路程，就相當于“圓心到圓上的中位線”，半徑就相當于“高”. （三角形的面積計算公式也可用這一方法推導）可見，這種推導方法看似無足輕重，實際上它也連貫了我們所學的知識.

探究圓面積的計算方法，歷來受到上課教師的重視，因為它是小學階段學習的唯一一個由曲線圍成的封閉圖形. 教師們千方百計想通過這個知識的學習，向學生滲透“化曲為直”的思想，也就是“割—補”方法的具體體現. 但筆者認為，轉化思想的滲透與習得固然重要，但一味地用“割—補”法，必然會給學生造成 “圓的面積計算方法的推導”只能用“割—補”法的定式. 正如課標中所提：探索并掌握圓的周長和面積公式. 雖沒有給我們指明探索的方法，卻給了我們更多的探索空間和想象空間. 只要我們探索出符合學生知識、年齡特征的、不同的推導方法都是可以的，如創設情境探究法，這樣做，必能引起學生對幾何形體的關注與興趣，把推理與情境結合起來，培養學生的推理能力，這遠遠比習得一個知識點更為重要.

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