論化歸思想在初中數學教學中的運用

【摘要】 國際數學教育界關于基礎數學教育現代化的問題提出了如下觀點：“數學教育的現代化，并不只是要進行‘現代數學的教學’，而是要進行‘數學的現代教學’，要把基礎數學教育建立在現代數學的思想基礎上，并使用現代數學的方法和語言.”這充分體現了對數學思想方法的重視. 而轉換和化歸是數學思想方法的“主梁”思想和精髓，所以我們有必要對化歸作一個全面的了解. 數學思想方法對教學為什么如此重要，而化歸又是什么？如何實現化歸？實現化歸有哪些途徑？下面我根據上述問題并結合前人的看法進行一些具體的闡述.

【關鍵詞】 化歸；化歸思想；化歸原則；同化；順應；輔助問題

一、數學思想方法的再認識

從我們的教學實踐來看，中小學數學教育的現代化主要不是內容的現代化，而是數學思想、方法及教學手段的現代化，加強數學思想方法的教學是基礎數學教育現代化的關鍵. 特別是對能力培養這一問題的探討與摸索，以及社會對數學價值的要求，使我們更進一步地認識到數學思想方法的重要性.

從素質教育的落實來看，創造能力的培養是素質教育的一個重要方面. 而“問題解決”則顯然又與創造能力培養有著密切聯系. 而化歸與轉換思想方法中的熟悉化原則、簡單化原則、和諧化原則均可以為“問題解決”提供思維導向. “高分低能”是以前常見的一種教育結果. 要想“既高分，又高能”必須實施數學思想方法的教學，注意概念知識的發生、發展、應用過程的揭示與解釋，并將這一過程中豐富的思維訓練的因素挖掘出來.

從波利亞的學習的認知結構理論來看，數學學習過程其實質是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的，而數學思想方法對同化和順應的進行，進而對認知結構的發展起重要作用.

實際上，無論是同化和順應，都是在原數學認知結構和新的數學內容之間，改造一方去適應另一方，這種改造就是我們所講的轉換或化歸，而轉換或化歸是數學思想方法體系中的“主梁”和精髓. 所以當務之急我們必須要來了解數學思想方法中這種轉換或化歸思想及實現它的途徑.

二、化歸的內涵

１. 化歸思想

在對問題作細致觀察的基礎上，展開豐富的聯想，以求喚起對有關舊知識的回憶，開啟思維的大門，順利地借助舊知識、舊經驗來處理面臨的新問題. 這種思想我們稱之為“化歸思想”，它的實質是通過事物內部的聯系和矛盾運動，在轉化中實現問題的規范化（熟悉或易于處理），即將待處理問題變化（轉化）為規范問題，從而使原問題得到解決，簡言之，所謂化歸就是問題的規范化、模式化.

下面我們就從思維方向的角度，來介紹一下化歸思想的四種類型：縱向化歸思想、橫向化歸思想、同向化歸思想、逆向化歸思想.

（１）縱向化歸是把面臨的新問題通過消元、降格（或降維、降價）等加工手段化歸為已經解決了的問題，或是化歸為熟悉的、簡單的、具體的問題來處理，最后通過對新問題的解決而將原問題解決.

（２）橫向化歸就是通過對命題的有關量進行轉換，各學科知識之間的轉換，等價變換命題，運用同構變換等手段將生疏、復雜、困難的問題轉換為熟悉、簡單、容易的問題來處理.

例1 解關于實數ｘ的方程ｘ４ － ６ｘ３ － ２（ａ － ３）ｘ２ ＋ ２（３ａ ＋ ４）ｘ ＋ ２ａ ＋ ａ２ ＝ ０（ａ∈Ｒ）.

分析 如果直接解關于ｘ的四次方程，這是較困難的，但轉換ｘ與ａ的地位形式，把原方程看作關于ａ的二次方程，就可較容易的獲得解答.

（３）同向化歸思想就是把面臨的新問題進行命題分割或分解，化歸為某一（或幾）個可簡捷處理的子問題. 通過解決這一（或幾）個子問題，從而也就解決了所有子問題；或在推演中進行同理推導、同解變形化簡，等等. 這種化歸就是在同一層次上“平行”轉化.

例如：我們在證明“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”這條定理時，就用到了命題分割，把證明分割為三種情形，并將這些不同的情形歸結為其中的一種情形即圖（２）、（３）均化歸為（１）的兩種組合而獲證.

（４）逆向化歸思維：從辯證思維的觀念出發，從問題或其中的某個方面的另一面入手進行思考，例如針對常規處理方法，針對問題條件、結論、求解程序、推理步驟進行逆向化歸，采取順繁則逆，正難則反的適時化歸措施，這就是所謂的逆向化歸思想. 逆向化歸的形式，常有升格（升維、升次、增項、增元、擴域等）、倒推、反求、反證、舉反例等.

２. 化歸原則

由未知到已知、由難到易、由復雜到簡單的轉化，這種重要的思維特點，從方法論的角度來說，也就是所謂的化歸原則.

應用化歸原則解決問題的一般模式為：

從其基本思想而言，我們可以看出，化歸原則與波利亞關于解題過程中應充分利用“輔助問題”的思想是十分一致的，但是與之比較，化歸原則更具有很強的目的性、方向性和概括性. 所以化歸原則可以看成是對波利亞有關于思想的進一步發揮或發展.

３. 化歸方法

這是對化歸原則的具體應用. 即如何實現由所要解決的問題向已經解決的或較易解決的問題的轉化. 化歸方法很多，具體的有：恒等變換法、一般向特殊的化歸、影射反演法等.

就化歸而言，對化歸的內涵的認識是非常重要的，但更加重要的是我們在實際解題時對化歸方法的選擇和應用.

三、化歸方法的定義及主要實現化歸的途徑

中學數學中許多復雜問題，都可以通過解析式的恒等變換化歸成簡單問題. 恒等變換是化歸的主要途徑之一，恒等變換法就是通過解析式的各種恒等變形，將復雜的問題轉化為簡單的問題的方法. 它包括分割法、配方法、待定系數法等方法. 恒等變換法提供了解題技巧，便于問題的解決.

（１）分割法：把式子（圖形）按照可能或需要分割成若干部分，達到化整為零，分散處理的目的，使他們更易于求解，這種方法稱為分割法.

分割法流程圖：

從上例可以看出，將復雜問題化歸到簡單問題，分割法確實是一種很好的手段. 分割法不僅體現在代數問題上，還被用在幾何問題上. 分割法的核心在于：首先求得局部的解決，再進而求得整體的解決.由于這是一個一般的思維原則，因此在數學中分割法有著更為廣泛的應用.

（２）配方法：這是一種較為特殊的恒等變換方法，它是以二次三項式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ二次項與一次項為準，另配一常數項，使得這個二次三項化為完全平方與某常數之和.

例3 求解方程：ｘ４ － ２ｘ３ － ２４ｘ２ ＋ ８０ｘ － ６４ ＝ ０.

思路分析 可以通過配方法降低方程的階數，化歸為較低階方程的求解問題.

解 x4 - 2x3 - 24x2 + 80x - 64＝ （ｘ４ － ２ｘ３ ＋ ｘ２） － （２５ｘ２ － ８０ｘ ＋ ６４） ＝ （ｘ２ － ｘ）２ － （５ｘ － ８）２ ＝ （ｘ２ － ６ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ４ｘ － ８）＝ ０.

從上例可知，通過“配方法”可將原四次方程的求解化歸成兩個二次方程的求解問題，從而使問題得到簡化.

（３）待定系數法：它是把一個多項式變成另一個多項式時，其中用字母表示未知數，通常叫待定系數. 應用多項式恒等定理，比較恒等式兩邊對應系數，得出待定系數的方程或方程組，解之得待定系數的值. 這種確定系數的方法稱為待定系數法. 也稱比稱法． 待定系數的實質仍是恒等變化. 利用待定系數法可以分解因式，求多項式的商式和余式，求函數的表達式、解方程，對多項式進行恒等變換等.

當然在數學中，恒等變形常常被用以實現由未知（難、復雜）向已知（易、簡單）的化歸. 但有時候也會出現一定的“誤差”，比如在分式方程“整式化”與無理方程“有理化”的過程中，有可能產生增根；然而，只要我們注意“誤差”的糾正（排除增根）. 所說的方法仍然是十分有效的.

總之，化歸法無論在教學上還是在科研中都有著重要作用. 但是實現化歸的方法多種多樣，我們不應把眼光只停留在某幾種方法上，應以可變的觀點去看待問題，應始終“盯住”目標：（1）有目的，有意識進行化歸，應始終“盯住”目標.（2）對于尋找正確的化歸途徑，應該努力實踐，不斷探索. （3）努力尋找最佳化歸途徑.

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