放“生”課堂

一、前 言

古語有云：“弟子不必不如師，師不必賢于弟子. ”古人尚且明白這個道理，作為現代社會的教師，應該更加不會因為學生在課堂上有超越老師的表現而覺得“下不來臺” 或“沒面子”，相反，應該感到高興，并且要盡一切可能在課堂上創造開放的環境、培養合作的習慣、營造競爭的氛圍、鼓勵創新的意識……只為讓更多的學生有更多的機會超越老師． 這也是我對本次新課改從另一個側面的一種個人理解． 下面所述案例是我在上“多邊形內角和與外角和探索”時的部分場景，原本設計的也只是下文（一）中常規的“合作交流探索”，然而其后所發生的意外，卻是我始料未及的！

二、案例描述

（一）團結協作，分頭并進

在我順利地引導學生通過“從多邊形的一個頂點出發，連出ｎ邊形（ｎ ≥ ４）的（ｎ － ３）條對角線，將ｎ邊形分成（ｎ － ２）個三角形”的方法來推導出ｎ邊形的內角和公式（ｎ － ２）１８０°后，從學生們的臉上我似乎看到了他們內心成功的喜悅，大概是因為大部分學生都在教師的引導下參與了探索的過程，規律的得出是他們自己的成果，但是這種喜悅還不是很強烈（也許是比較順利的原因）．

于是我總結說：“我們通過連線的辦法把多邊形分割成若干三角形，將多邊形轉化為三角形來研究． ”并繼續發問：“剛才連的線有什么共同特征？”答：“都是從一個點出發的． ”

師：如果這個出發點不在頂點，那么它還有可能在哪兒呢？

學生頓時都來了精神，開始積極思考起來．

生１：有可能在邊上． 生２：也可能在多邊形內部． 師：對！生３：老師，還有一種可能，就是在多邊形外部． 師：很好！考慮得非常周到！

該生喜滋滋地坐下了．

師：接下來，我們分三組對這三種情況分別進行探索，看看是否也能得到同樣的結論？你可以選擇比較適合你的一種或是你喜歡的一種． 好，下面我們按自己的選擇圍坐成三組．

此時，學生熱情高漲，迅速圍成了三組，積極地進行合作、交流的探索過程． 不一會兒，三組陸續表示已完成.

師：請每一組派一個代表上來展示一下你們組的探索過程，當一回老師．

生４，生５代表一、二兩組分別按圖１，圖２講述了他們探求多邊形內角和的方法．

第三組的代表已經按捺不住了.

生６：我先說四邊形，假設Ｐ在ＡＢ外側，連接Ｐ與各頂點的線段，也可得４個三角形（圖３），其中△ＰＢＣ，△ＰＣＤ和△ＰＤＡ的內角和之中包含了四邊形ＡＢＣＤ的內角和還多了∠１，∠２，∠３，∠４，∠５，而且∠１＋∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５正好是△ＰＡＢ的內角和為１８０°，所以四邊形ＡＢＣＤ的內角和為３ × １８０° － １８０° ＝ ３６０°，同理五邊形的內角和為４ × １８０° － １８０° ＝ ５４０°，……，ｎ邊形的內角和也就是（ｎ － １） × １８０° － １８０° ＝ （ｎ － ２）１８０°.

學生都在跟著他的思路積極思考，我豎起拇指，投去贊許的目光，“真的很不錯”．

生６：這不是我個人的功勞，是我們小組共同合作的結果！

師：（我順勢說）對！看來集體合作的力量很大啊！

（二）節外生枝、另辟蹊徑

正當我想將話題引入外角和的探求時，一名學生突然站起來說：“老師，我有另外簡單的辦法. ”，學生們都轉向了他，目光中充滿了好奇，又有急切想了解的期望． 面對他的敢于創新的精神和勇氣，面對全班同學的好奇心和求知欲，再想起“新課標”的要求，我還有別的選擇嗎？

師：好！快上來給大家介紹一下你的新方法吧！

生７：四邊形可以看成是一個三角形被切掉了一個角得到的． 如圖４，原三角形的內角和∠Ｐ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，現在切掉一個∠Ｐ后，反而新增兩個內角∠１和∠２，而∠１ ＝ ∠４ ＋ ∠Ｐ，∠２ ＝ ∠３ ＋ ∠Ｐ，所以四邊形ＡＢＣＤ的內角和∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ∠４ ＋ ∠Ｐ ＋ ∠３ ＋ ∠Ｐ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ３６０°（兩個三角形的內角和）． 也就是說，每切掉一個內角，卻多出了兩個內角，而這兩個新的內角與原內角的差就正好是被切去的三角形的內角１８０°． 即每切去一個角后內角和就增加１８０°． 所以在三角形的基礎上，四邊形內角和為１８０° ＋ １８０° ＝ ３６０°，五邊形是切了兩個角得到的，其內角和為１８０° ＋ ２ × １８０° ＝ ３ × １８０°，六邊形是４ × １８０°，……，ｎ邊形內角就應該是（ｎ － ２）１８０°.

真是太妙了！但我沒有立刻評價．

我看到絕大部分學生都已理解他的方法，并在不住地點頭，“嗯！”“對呀！”“怎么被他想到的呀！”一時還未聽明白的學生也在請教相鄰的同學……

師：（待其回位坐定）大家說，他的方法好不好？生（異口同聲）：好！學生紛紛投去欽佩的目光． 而該生欣喜，卻強作鎮定．

生（一起）：但是老師有個疑問：切去一個內角，一定會多出兩個內角來嗎？

生７：嗯…切角時不能經過另外的頂點，應該切斷兩邊才能多新增兩個角．

師：對！這樣就完美了！

為了讓更多學生了解他創意的思路，學習他的創新精神，于是我說：“創意太好了，連老師都沒想到噢！真厲害！我們大家都很想知道你是怎么想到的呢？”

生７：老師你說剛才的方法是把多邊形分割，從而將多邊形的內角轉化到三角形中去求和． 我就想到以前老師講過的“補形”，于是我就有了上面的想法．

師：豐富的聯想、活躍的思維為我們帶來了一種簡潔美妙的新方法，不但找到了多邊形內角和的規律，更為我們揭示了多邊形的演變過程……讓我們為他的獨特創意而鼓掌吧！

熱烈的掌聲在全班響起！雖然我一貫不喜歡濫用掌聲，學生們也并不很習慣，但這次卻是自然和真誠的！

師：好！同學們，接下來我們再一起來探求一下，多邊形外角和是否有什么規律呢？

帶著極大的熱情，學生們再一次投入到自主、合作的探求過程中去了，……在巡視過程中我發現有許多同學在嘗試連許多對角線，試圖把外角轉移為三角形的兩內角去求和，但當邊數增加時，似乎并不容易．

點撥：“外角與內角有什么關系？”“相鄰”、“互補”、“鄰補角的關系”、“拼成平角”，我繼續說：“由于我們不知道每個內角的度數，也就求不出每個外角的度數，但是現在要求的是外角之和，不妨用整體思想來考慮……”一會兒，學生基本都明白了． 七嘴八舌地交流起來.

師：哪名同學給老師解釋一下？

生８：每個頂點處有一個平角（１８０°），包含一個內角、一個外角，ｎ邊形ｎ個頂點處有ｎ個平角包含ｎ個內角和ｎ個外角，所以ｎ個外角之和等于ｎ × １８０°減去ｎ個內角和（ｎ － ２）１８０°等于３６０°．

于是，我順勢開始總結：“原來內角和是隨著邊數的變化而變化，規則是（ｎ － ２）１８０°，每增加或減少一邊，內角和就增加或減少１８０°；而外角和無論邊數怎樣變化始終保持３６０°不變，我們可以簡稱為：內變外不變！多么美妙的規律！能記住嗎？”

生：能！微笑綻放在每個人的臉上．

（三）背道而馳，再現奇兵

正當我打算出示例題與練習的時候，意外再次發生了！

生９：老師，我有一個想法，不知道該不該說？

師：哦，你快說！

我心里高興——有想法說明思維活躍，同時有點急——時間緊迫．

生９：剛才我們是先求出了內角和，再利用外角與內角互補原理求出外角和３６０°，我想既然外角不變，那么能不能反過來先求外角和３６０°？如果可以則內角和為ｎ × １８０° － ３６０° ＝ （ｎ － ２）１８０°也就很容易了.

師：誒！對呀！這到底行不行呢？

一石激起千層浪，學生們紛紛議論開了．

如果貿然嘗試，在短短的時間內未必能找出正確的方法，也許不好收場，而且后面的例題、練習百分之百泡湯了；不去嘗試吧，又如何對得起他獨特的創意和同學們高漲的學習熱情呢？我還是把選擇權還給學生．

師：我很驚訝于這名同學能有這樣神奇的逆向思維，到底是否能成功？理論上講應該是可以的． 你們愿意現在就著手探索呢？還是留到課后再嘗試？

生：現在，現在……

師故意問：如果現在就探索，我們的例題練習就沒有時間了，作業就困難了啊！

生：沒關系，例題和練習我們課后會自己解決的！

師：好！事不宜遲，馬上開始！

學生立刻全情投入……誰都想最先找到方法，好在最后的機會里好好表現一番．

由于思維定式的影響，大部分同學多連對角線把外角通過“三角形外角等于兩個不相鄰的內角之和”轉移到多邊形內角中去．

生１０：按圖７所示，∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ ∠５ ＋ ∠６ ＋ ∠７ ＋ ∠８ ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＋ ∠１１ ＋ ∠１２ ＝ （∠５ ＋ ∠６ ＋ ∠７ ＋ ∠１２） ＋ （∠８ ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＋ ∠１１） ＝ １８０° ＋ １８０° ＝ ３６０°，解決四邊形的外角和. 五邊形也可以類似地求得外角和３６０°，……所以可合理猜想ｎ邊形外角和總是３６０°．

生１１：采用補形法，四邊形補形為三角形（圖８），∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ （∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠Ｍ） ＋ （∠５ ＋ ∠６ ＋ ∠Ｍ） ＝ １８０° ＋ １８０° ＝ ３６０°，五邊形補形為三角形（圖９）， 外角和∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＝ ∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠Ｍ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠Ｎ ＝ １８０° ＋ １８０° ＝ ３６０°．

亦可作出合理猜想：六邊形、七邊形……ｎ邊形的外角和均為３６０°. 此法比較簡單一些．

生１２：老師，我們還有一個簡單的辦法！

這時下課鈴聲無情地響起．

師：我對大家說：時間到了，怎么辦？

生：讓他說，讓他說完吧！我們想聽！

生１３：我們受到前面生７的方法的啟發，如圖１０，每切去一個內角的同時也切去了一個外角并增加了兩個外角，而切去的外角正好等于新增兩外角的和（比如，圖中∠１ ＝ ∠２ ＋ ∠３），所以在三角形切角演變成各種多邊形時，外角和始終等于原來的３６０°不變！則ｎ邊形內角和則等于１８０° × ｎ － ３６０° ＝ （ｎ － ２）１８０°.

我再次驚訝！師：簡單嗎？精彩嗎？

生：簡單，精彩，太精彩了！雷鳴般的掌聲在瞬間爆發……

“真是高手！” “前面的啟發我怎么就沒想到呢？”學生們感慨萬千．

我突然覺得有必要再進行總結性表揚：“今天大家的表現都非常出色，尤其是某幾名同學更是杰出，老師也自嘆不如，小小年紀竟如此了得，前途不可限量??！”

這番“吹捧”，有人得意，有人羨慕，良苦用心只為他們能暗下決心……

師：同學們，這節課我想用兩句話來概括：內變外不變以不變應萬變！下課！

生：哈哈哈，內變外不變以不變應萬變！內變外不變以不變應萬變！

學生們在重復中慢慢體會含義，我在笑聲中快步走出教室！

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文