“化歸大法”妙用“梯形問題”巧解

【摘要】 由于在解決梯形的問題時，時常要通過對梯形的分割拼接或圖形變換，將問題轉化為三角形或平行四邊形的問題來解決，這就是我們經常用到的化未知為已知的數學思想——化歸法.

【關鍵詞】 化歸法；解題；梯形

方法１：平移梯形的一腰

從梯形的一個頂點，作一腰的平行線，把梯形分成平行四邊形和三角形．

例１ 已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ ３ ｃｍ，ＢＣ ＝ ５ ｃｍ，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，求另一腰ＣＤ的取值范圍．

解 如圖示，過Ｄ點作ＤＥ∥ＡＢ，交ＢＣ于Ｅ點．

∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＡＢ，

∴四邊形ＡＢＥＤ是平行四邊形

∴ ＤＥ ＝ ＡＢ ＝ ４（ｃｍ），ＢＥ ＝ ＡＤ ＝ ３（ｃｍ），

∴ ＣＥ ＝ ＢＣ － ＢＥ ＝ ５（ｃｍ） － ３（ｃｍ） ＝ ２（ｃｍ）.

∵ 在△ＤＥＣ中，ＤＥ － ＥＣ ＜ ＤＣ ＜ ＤＥ ＋ ＥＣ

∴ ２ ｃｍ ＜ ＤＣ ＜ ６ ｃｍ．

同步練習：梯形的上底長為５ ｃｍ，將一腰平移到上底的另一端點位置后與另一腰和下底所構成的三角形的周長為２０ ｃｍ，那么梯形的周長為＿＿＿＿＿＿＿．

方法２：作高法

從同一底的兩個端點分別作梯形的高，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形．

例２ 如圖示，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ ＣＤ，

∠ＡＢＣ ＝ ６０°，ＡＤ ＝ ３ ｃｍ，ＢＣ ＝ ５ ｃｍ.

求：（１）腰ＡＢ的長；

（２）梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 作ＡＥ⊥ＢＣ于點Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于點Ｆ，

又 ∵ ＡＤ∥ＢＣ，

∴四邊形ＡＥＦＤ是矩形，∴ ＥＦ ＝ ＡＤ ＝ ３（ｃｍ），

同步練習：等腰梯形的腰長為５ ｃｍ，上、下底的長分別為６ ｃｍ和１２ ｃｍ，則它的面積為＿＿＿＿＿＿＿．

方法３：延長腰

延長梯形的兩腰交于一點，得到兩個三角形．

例３ 已知，如圖示：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，求證：四邊形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

證明 如圖，分別延長ＢＡ、ＣＤ，設它們交于Ｅ點．

∵在△ＥＢＣ中，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，∴ ＥＢ ＝ ＥＣ.

∵ ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＥＡＤ ＝ ∠Ｂ，∠ＥＤＡ ＝ ∠Ｃ，而∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，

∴在△ＥＡＤ中，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＥＤＡ，

∴ ＥＡ ＝ ＥＤ，∴ ＡＢ ＝ ＤＣ，即四邊形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

同步練習：在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ５０°，∠Ｃ ＝ ８０°，ＡＤ ＝ ８，ＢＣ ＝ １２，則ＣＤ ＝ ＿＿＿＿＿＿＿．

（提示：延長梯形兩腰交于一點，結合三角形內角和定理可得兩個等腰三角形，然后易得結論）

方法４：平移對角線

過底的一端作對角線的平行線，從而借助所得的平行四邊形或三角形來研究梯形.

例４ 已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ １，ＢＣ ＝ ４，ＢＤ ＝ ３，ＡＣ ＝ ４，求梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 如圖，作ＤＥ∥ＡＣ，交ＢＣ的延長線于Ｅ點．

∵ ＡＤ∥ＢＣ，

∴四邊形ＡＣＥＤ是平行四邊形，

∴ ＢＥ ＝ ＢＣ ＋ ＣＥ ＝ ＢＣ ＋ ＡＤ ＝ ４ ＋ １ ＝ ５，ＤＥ ＝ ＡＣ ＝ ４.

∵在△ＤＢＥ中， ＢＤ ＝ ３，ＤＥ ＝ ４，ＢＥ ＝ ５，

∴ ∠ＢＤＥ ＝ ９０°．

同步練習：已知等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ ＋ ＢＣ ＝ １２，ＤＥ是等腰梯形的高．求等腰梯形ＡＢＣＤ的面積.

方法５：以梯形一腰的中點為對稱中心作某部分圖形的對稱圖形

例５ 已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ為ＤＣ中點，ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ點，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，ＥＦ ＝ ５ ｃｍ，求梯形ＡＢＣＤ的面積．

解 如圖，過Ｅ點作ＭＮ∥ＡＢ，分別交ＡＤ的延長線于Ｍ點，交ＢＣ于Ｎ點．

∵ ＤＥ ＝ ＥＣ，ＡＤ∥ＢＣ，

∴ △ＤＥＭ≌△ＣＮＥ.

四邊形ＡＢＮＭ是平行四邊形.

∵ ＥＦ⊥ＡＢ，∴Ｓ梯形ＡＢＣＤ ＝ Ｓ?荀ＡＢＮＭ ＝ ＡＢ × ＥＦ ＝ ２０（ｃｍ２）．

同步練習：已知：如圖示，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，Ｅ是ＣＤ中點，試問：線段ＡＥ和ＢＥ之間有怎樣的大小關系？

（提示：延長ＡＥ，與ＢＣ延長線交于點Ｆ．利用推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得結論）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文