教學(xué)中應(yīng)用“不完全歸納法”的問題與對策

【摘要】 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常采用“不完全歸納法”進行教學(xué)，但很多時候?qū)W生還不十分確信用這種方法發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. 在無法引導(dǎo)學(xué)生進行“完全歸納”的情況下，本文試圖和大家探討解決問題的對策：分類進行歸納，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)形式演繹，回到數(shù)學(xué)知識原點和謀求特例說明一般.

【關(guān)鍵詞】 不完全歸納法；數(shù)學(xué)教學(xué)；對策

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會采用“不完全歸納法”組織教學(xué)，以此讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)”的過程. 通常以為，不完全歸納法教學(xué)符合從特殊到一般的認知特點和小學(xué)生的認知水平，學(xué)生應(yīng)該能確信得到的結(jié)論，認可歸納的過程. 然而，事實情況又是如何呢？在教學(xué)中又有怎樣的改進策略呢？

一、問題發(fā)現(xiàn)

算過的才能保證是對的. 那日，我得意地去上“商不變性質(zhì)”一課，因為我認為已經(jīng)有了一個比較完整的教學(xué)設(shè)計，其教學(xué)流程如下：

1. 通過猴王分桃子的故事，引出１２ ÷ ４ ＝ ３，２４ ÷ ８ ＝ ３，３６ ÷ １２ ＝ ３除法算式，你還能寫出商是３的其他算式嗎？

2. 觀察：這些算式（如圖１）什么變了？什么沒有變？它們的變化有什么規(guī)律？

3. 寫出商是２或５的五個除法算式，驗證上面的規(guī)律.

4. 總結(jié)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（０除外），商不變.

課后，批改學(xué)生練習作業(yè)時發(fā)現(xiàn)，有十多名學(xué)生出現(xiàn)標注“商”的現(xiàn)象（如圖２），還有幾名學(xué)生標注了“商”卻未完成的情況. 這不禁引起了我的關(guān)注和興趣，于是到教室對當事人進行了問詢：

師：算式２７０ ÷ ４５下面的６是什么意思呀？

生：６是２７０ ÷ ４５的商.

師：填 ÷ ９，你是怎么想的？

生：２７０ ÷ ９ ＝ ３０，３０ ÷ ５ ＝ ６，所以４５要填 ÷ ９.

師：那你為什么不用“商不變性質(zhì)”的方法填呢？

生：這樣更保險，算過的才能保證是對的.

師：２７０○□你為什么不繼續(xù)填呢？

生：好像計算起來有些煩……

問詢的結(jié)果有些出人意料，顯然，活動經(jīng)歷還沒有使學(xué)生積累足夠的經(jīng)驗，無法感受歸納過程，思維還沒有達到主動合情推理水平，更沒有領(lǐng)會到“商不變”規(guī)律的本質(zhì).

二、問題的分析

不完全歸納法是根據(jù)對某類事物中部分對象的考查，概括出關(guān)于該類事物一般性結(jié)論的方法，一般認為，考查對象足夠多，命題在不同特例中得到證實，那么它就變得可信了. 應(yīng)該說，上面教學(xué)設(shè)計中的考查算式比較豐富，過程也是比較合理的，然而，學(xué)生還是不能理解和進行類比，思維無法進行主動合情推理，在日常教學(xué)中，我們也常遇到有些思維嚴密的優(yōu)秀學(xué)生對“找規(guī)律”得到的結(jié)論經(jīng)常持質(zhì)疑的態(tài)度. 嚴格地說，不完全歸納法得到的結(jié)論只是一個猜想而已，再增加幾種情形進行檢驗和證實，只能增加我們的一點信心——繼續(xù)計算幾乎沒有價值.

事實上，在小學(xué)教材中的很多內(nèi)容，如乘法和加法的運算律、分數(shù)基本性質(zhì)、商不變性質(zhì)、面積計算公式、２，３，５的倍數(shù)特征等，都是讓學(xué)生通過觀察、猜測和驗證得出結(jié)論，并將結(jié)論類比和推廣，即用不完全歸納法進行教學(xué). 鄭毓信教授也指出：現(xiàn)行教材中諸多“找規(guī)律”的這樣的一個明顯不足之處，即是過于簡單，從而就未能很好地體現(xiàn)“嚴格檢驗”與“改進”的必要性. 我們既應(yīng)當努力提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力，同時又應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會論證，努力增強思維的嚴密性.

眾所周知，如果不完全歸納得到公式或猜想不僅對ｎ成立，而且推出它對ｎ ＋ １也成立，那么這樣的結(jié)果才算得到真正證實. 顯然，這在對小學(xué)生而言是有相當困難的，因此，另辟途徑，探索解決對策十分必要.

三、解決的對策

1. 分類進行歸納

數(shù)學(xué)本身和數(shù)學(xué)學(xué)科都有著嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)，如果數(shù)學(xué)教學(xué)中有與之相對應(yīng)的教學(xué)結(jié)構(gòu)，并運用聯(lián)系、整體等觀點來貫穿，那么，就能比較好地促使學(xué)生完善和發(fā)展認知結(jié)構(gòu). 因此，在運用不完全歸納法的教學(xué)中，當有了猜想或者命題時，我們不要著急讓學(xué)生舉例驗證或證實探究，而應(yīng)該引導(dǎo)他們思考：如何舉例才能涵蓋問題的每個方面，如何驗證才能攬括更多甚至所有的情況，即先將問題（素材）分類再進行歸納. 例如，“平行四邊形的面積”教學(xué)，當學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底、高與面積之間關(guān)系后，我們習慣選擇這組（如圖３）底和高進行剪拼，然后推導(dǎo). 事實表明，只研究這一組底和高，學(xué)生獲得的“平行四邊形面積＝底×高”的結(jié)論是模糊或者說有缺陷的，其中典型的表現(xiàn)就是：當學(xué)生面對多條底和高時，學(xué)生不會正確選擇對應(yīng)的底和高進行面積計算.

因此，在驗證前應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生思考：平行四邊形中有幾種不同底？分別可以怎樣剪拼成長方形？每種情況可以怎樣驗證？這樣做的目的是讓學(xué)生體會到不同的底應(yīng)選擇不同的剪拼方法，即要選擇相對應(yīng)的底和高進行計算. 又如，在“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)中，也應(yīng)該讓學(xué)生思考如何驗證才能更加全面，更加有說服力，并逐漸引導(dǎo)從銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形這三個不同角度驗證.

實際上，先分類后歸納就是為了讓學(xué)生感受到驗證的內(nèi)容和素材并不是單一的，也不是隨意的，我們已經(jīng)“全面”地進行歸納和驗證，歸納過程是合理的，得到的結(jié)論也應(yīng)該是“十分”確信和可靠的. 即在知識傳遞中滲透著諸多規(guī)律組成整體的一個結(jié)構(gòu)化思想，讓“不完全歸納法”具有一定的結(jié)構(gòu)，

2. 轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)形式演繹

數(shù)學(xué)是一門演繹性的學(xué)科，因此，小學(xué)教學(xué)中大多數(shù)方法都給出了推導(dǎo)過程或算理說明，其中包括不完全歸納法. 我們可以先看一下大家普遍比較認可的“乘法分配律”的教學(xué)設(shè)計：

（１）情境引入，如：植樹活動中，每組有４名學(xué)生和２名老師，共有２５個小組. 那么，參加這次植樹活動的一共有多少人？

（４ ＋ ２） × ２５ ＝ １５０（人）；４ × ２５ ＋ ２ × ２５ ＝ １５０（人）.

（２）情境變化，如：籃球比賽中，需要７套運動服，其中上衣２０元，褲子２５元. 那么，一共需要多少元？

（２０ ＋ ２５） × ７ ＝ ３１５（元）；２０ × ７ ＋ ２５ × ７ ＝ ３１５（元）.

（３）擴展至一般算式，如：５６ × （１９ ＋ ２８） ＝ ５６ × １９ ＋ ５６ × ２８. ……

（４）歸納并用字母表示，如：（ａ ＋ ｂ） × ｃ ＝ ａ × ｃ ＋ ｂ × ｃ.

盡管教學(xué)中有情境變化、情境抽象到一般算式、用字母表示的環(huán)節(jié)和過程，但隨著應(yīng)用的推廣和數(shù)系的擴展，這些具體的材料在促進學(xué)生的意義解釋方面就有了明顯的局限性，如在兩個數(shù)的差乘一個數(shù)時，又必須尋找新的情境支撐；在小數(shù)乘法中，意義解釋明顯顯得不夠直觀；在分數(shù)乘法中，我們甚至很難找到兩個分數(shù)相乘的生活實例. 也就是說，利用各式各樣的情境進行歸納，總是難以涵蓋問題全部，不能滿足學(xué)生學(xué)習的需求. 因此，為了幫助學(xué)生更好地感悟、理解和掌握，還可以嘗試轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)形式，結(jié)合所學(xué)的其他知識進行多元表征，意義解釋或證明.

如，在“乘法分配律”教學(xué)設(shè)計的第（３）環(huán)節(jié)后，用字母歸納總結(jié)前放置一個數(shù)形結(jié)合小環(huán)節(jié)：

（１）面積（如圖４）有多大？算式可以怎么列？

（２）兩個長方形有什么相同的地方，在等式中是怎么體現(xiàn)出來的？ （３）前面那些算式都可以用這樣的面積圖表示，面積圖的長、寬數(shù)據(jù)怎么標？與原來問題有什么關(guān)系？

（４）減法與乘法之前是否存在分配律？你能用面積圖解釋和說明嗎？

這樣做，主要是借助圖形的直觀和量的抽象，讓學(xué)生感受到各式各樣的情境皆可轉(zhuǎn)化為“面積圖”，無論是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，都能進行“畫面積”這樣的表征和證明，接近于一個“完全歸納”的過程.

類似地，我們可以考慮乘法交換律、結(jié)合律的數(shù)形轉(zhuǎn)換，前者就是長方形面積模型，如１５個人排成３行５列，５ × ３ ＝ ３ × ５，后者可以用長方體的體積模型，如一行５個小立方體、擺４行、疊３層，５ × ４ × ３ ＝ ５ × （４ × ３），加法運算律可以解釋為線段的不同連接. 當然，我們也可以探究“形”換成“數(shù)”的方法，如圓的直徑與最長線段之間的關(guān)系等.

3. 回到數(shù)學(xué)知識原點

不完全歸納法教學(xué)是基于表象積累和經(jīng)驗總結(jié)進行的，有時候難以澄清知識的本質(zhì)，甚至對學(xué)生解決問題的方法形成負遷移. 在學(xué)習２和５的倍數(shù)特征后，學(xué)生理所當然地誤認為“３的倍數(shù)特征”就是末尾的數(shù)（個位）能是３的倍數(shù). 因此，我們必須回到數(shù)學(xué)知識的原點，給不完全歸納法構(gòu)建的經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵赃m當?shù)睦碚摻忉專瑤椭鷮W(xué)生抓住本質(zhì)，靈活地運用本質(zhì)解決新問題.

如，在“５的倍數(shù)特征”教學(xué)中，當學(xué)生通過計算，觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律（如圖５）后，可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)做這樣的思考：

（１）為什么個位上是０或５的數(shù)，就一定是５的倍數(shù)？

（２）找一些個位是０或５的數(shù)，將其寫出組合形式，如３２５ ＝ ３ × １００ ＋ ２ × １０ ＋ ５，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在下表中找出5的倍數(shù)，并涂上顏色. 看看有什么規(guī)律.

通過分析，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)是不是５的倍數(shù)只看個位，那是因為其他各位上的值都已經(jīng)是５的倍數(shù)，即我們所采用的記數(shù)方法是十進制原則. 這樣，我們就有可能避免思維定式，讓學(xué)生感受到考查一個數(shù)是什么的倍數(shù)特征時，是關(guān)系到數(shù)的組成，與每一位上的數(shù)字都息息相關(guān)，為后續(xù)學(xué)習是３，９或其他數(shù)倍數(shù)特征奠定良好的思維基礎(chǔ)，避免在教學(xué)中造成不必要的麻煩和失誤.

4. 謀求特例說明一般

至此，或許大家還惦記著關(guān)于“商不變性質(zhì)”的教學(xué)問題. 下面，我們就嘗試在原來教學(xué)設(shè)計的第三個環(huán)節(jié)后補充這樣的過程：

師：觀察算式為什么被除數(shù)和除數(shù)變了，而商不會變呢？

生：總數(shù)縮小或擴大了，份數(shù)也相應(yīng)的縮小或擴大，所以不會變.

師：我們把這個算式寫下來看一看：１２ ÷ ４ ＝ （１２ ÷ ２） ÷ （４ ÷ ２） ＝ １２ ÷ ２……接下去應(yīng)該怎么寫？為什么？

生１： ＝ １２ ÷ ２ ÷ ４ × ２，因為被除數(shù)縮小了２倍，最后要還原擴大２.

生２： ＝ １２ ÷ ２ ÷ ４ × ２，因為除號后去括號，除以一個數(shù)就要變成乘一個數(shù).

師：其他算式也可以這樣寫嗎？

生：１２ ÷ ４ ＝ （１２ ÷ ４） ÷ （４ ÷ ４） ＝ １２ ÷ ４ ÷ ４ × ４，１２ ÷ ４ ＝ （１２ × ２） ÷ （４ × ２） ＝ １２ × ２ ÷ ４ ÷ ２，１２ ÷ ４＝（１２ × ３） ÷ （４ × ３） ＝ １２ × ３ ÷ ４ ÷ ３，……

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：實際上，那個去乘或去除的那個數(shù)最終是消去的.

生：去乘和去除的什么數(shù)都可以，因為它們最終都是抵消. （板書：１２ ÷ ４ ＝ （１２ ÷ ａ） ÷ （４ ÷ ａ） ＝ １２ ÷ ａ ÷ ４ × ａ，１２ ÷ ４ ＝ （１２ × ｂ） ÷ （４ × ｂ） ＝ １２ × ｂ ÷ ４ ÷ ｂ.

師：那么，其他的除法算式被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)，商會不會變呢？為什么？

生：不會，因為去乘和去除的數(shù)是相互抵消的，不會影響原來被除數(shù)和除數(shù).

……

上面環(huán)節(jié)就是對“１２ ÷ ４”這個例子進行充分和特別的展開，讓學(xué)生明白乘或除以同一個數(shù)，這個數(shù)無論什么數(shù)（０除外）都可以，增強學(xué)生對“商不變規(guī)律”的信任度. 同時，也更有利于這個規(guī)律的類比和推廣，因為去乘或去除的這個數(shù)終究是要“抵消”的，不會影響商的計算結(jié)果，那么其他的除法算式的商也一定不會受到影響，從而說明“商不變”規(guī)律的可靠性和一般性.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文