在“求同”和“求異”中培養數學思維能力

隨著課程改革的深入，中學數學教學取得了可喜的成績. 但有許多教師在日常教學中過分重視知識技能目標的達成，而忽視學生對數學的感受和體驗；還有許多教師過于強調對定義、公式、法則、定理的灌輸與記憶，忽視了數學知識的發生與發展，應用過程的揭示與解釋，沒有將知識中蘊含的豐富思想方法進行抽象和概括，更沒有將這一過程中豐富的思維訓練因素挖掘出來. 雖然教師有時強調對問題一招一式、一題一解、一法一題思維方法的討論，但也只停留于個別問題的解決和定式套路的總結，輕視思路分析，忽視解題的思維過程，不能將具體的知識和個別的數學方法上升到揭示方法的實質、培養學生思維能力的高度.我們必須改變現狀，為培養學生的思維能力而教，為學生智慧的生成而教. 可以根據每節課、每個教學環節內容的不同，選擇恰當的教學方法，在教學生學習基礎知識和掌握基本技能的同時，通過看、想、說、做等環節，讓學生體驗數學的思維方式和方法，培養學生的思維能力，形成良好的思維品質. 運用比較、分類等方法，進行“求同”和“求異”教學，對培養學生的數學思維能力，提高數學教學質量，是十分有效的.

一 、在概念法則的形成過程中，通過“求同”和“求異”培養學生的數學思維能力

在學習數學新概念、研究新對象的過程中，可以應用比較的方法，引導學生在溫習舊知識的過程中探索新知識. 在一定階段學習后，還可在比較的基礎上對已學的某一部分知識做分類梳理，在比較和分類中，使學生的數學思維能力得到培養.

學生學習每個概念的標準形式時，引導他們發現每個概念擁有的相同點，即都有條件的限制. 如一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０中一定要有ａ ≠ ０這個條件，若沒有就要考慮分類討論了，正比例函數ｙ ＝ ｋｘ中一定要有ｋ ≠ ０等. 這里學生最容易出錯，如果學生掌握了用類比的方法找出其異同，就會對這個條件有深刻的印象.

在研究正、反比例函數性質時，學生通過自己找出增減性的不同，區別它們的異同，自然對“在每個象限內”這句話的含義理解深刻. 再比如，在學習一元二次方程和二次函數的配方法時，通過類比方法讓學生找出異同，進而對一元二次方程和二次函數有較好的掌握.

學生通過對對象的相同點和異同點的比較，識別對象之間的異同后進行分類，根據共同點將研究對象歸為較大的類，根據差異點，將研究對象分為較小的類（反比例函數性質中要注意在每個象限內，配方法的異同等），從而將事物區分為具有一定從屬關系的不同等級系統，進而達到培養學生思維能力的目的.

二、在數學語言的錘煉中，通過“求同”和“求異”培養學生的數學思維能力

漢語言博大精深，數學語言也豐富多彩. 《上海市中小學數學課程標準》中就明確了培養學生運用數學語言能力的目標：“感受、體驗文字語言、符號語言和圖形語言的轉譯過程，具有基本的數學語言素養；能運用數學語言和普通語言，條理分明地、闡述自己的思想和觀點，與他人進行交流和溝通”. 如何通過數學語言表達能力的提高，促進學生思維能力的發展呢？我在教學中充分利用不同的數學語言去表達相同的意思，用類似的表述但意義不同. 這種“同中求變”的思維訓練方式不僅培養了學生數學語言的表達能力，還幫助他們明晰了概念，更促進了創新能力的提高. 下面是我在這方面進行實踐的一些例子.

如在函數教學進行了一段時間以后，讓學生思考“過某一點”的不同的數學語言表述，可以提升和豐富學生的數學語言理解能力. 通過調動學生思維，在集思廣益的課堂中共同總結出以下幾種表達方式：（１）函數過點（ａ，ｂ）. （２）函數當ｘ ＝ ａ時 ，ｙ ＝ ｂ.（３）點（ａ，ｂ）在函數的圖像上.（４）兩個函數交于點（ａ，ｂ）.（5）某點到ｘ軸距離為ｂ，到ｙ軸距離為ａ，則過點（±ａ，±ｂ）. 還可以通過面積，平行，與ｘ軸ｙ軸交點等來表述函數過某點等. 雖然文字表達不同，但都表示某函數過點（ａ，ｂ），意思都是在表達式中把ｘ換成ａ，ｙ換成ｂ后得到一個方程或等式.

在“求異”中教學，讓學生進行積極有效的互評. 通過互評，使學生產生一種強烈的求變、求異、與眾不同的欲望，促進了學生數學思維能力的發展.

三、在解題過程的探究中，通過“求同”和“求異”培養學生的數學思維能力

解數學題不能只為解題而解題，應通過解題達到鞏固知識、掌握技能、學會方法去積累體驗的目的，然而這只是解題的初級目標，應提出更高的目標，升華知識，豐富技能，拓展能力，精深理念. 教學過程先是對圖形的識別、判斷、直覺，從圖形分解、組合中進行類比、聯想，建立解題思路，接著對解題思路的每一步進行嚴密的論證. 因此，必須強調課后思考，問題引申，這樣才能從根本上走出“解題不少，吸收不好，長進不了”的怪圈.

解題中“求同”與“求異”的主要方式有：一題多解，一題多問，一題多變，多題一法等.

１． 一題多解

一題多解是發展學生智能，培養創新意識、創新能力的好方法，我們可以從多種角度、用多種知識、多種技能、多種思維，去探求解題途徑.

例如：在△ＡＢＣ中，已知Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ ∶ ＤＣ ＝ １ ∶ ２，Ｅ為ＡＤ中點，延長ＢＥ交ＡＣ于Ｆ，求：ＡＦ ∶ ＦＣ的值.

這是在學習平行線截線段成比例定理時的一類典型題目，可以作為基本圖形在其他題目中應用，但學生對于變式的題目又一時難以入手. 通過研究發現，我們可以引導學生：一是發現圖中沒有平行線，需要作平行線，二是思考平行線作好以后要滿足什么條件，三是考慮什么樣的點作平行線更簡單. 第一次教學的第一課時，課堂上只解決了八種做法，課后作為作業，要求學生過每一點都要至少作兩種平行線. 第二課時，在師生共同努力下終于找到了一定的規律：六個點中有三個比較簡單，這三個點是已知兩個線段比的公共點（Ｄ），已知線段比與未知線段比的公共點（Ａ和Ｃ）. 二是做好平行線以后至少要構造出兩個基本圖形. 三是作好平行線后要會轉移比，并發現類似圖形是有四條線段的比，只要知道兩個比，其他線上的兩個比就可求了. 那么，容易作平行線的三個點叫什么呢？同學風趣地說叫“好點”，另外三個點呢？學生說：“當然是不好點啰！”

本題有二十幾種方法，通過進一步學習，學生在教師引導下發現還有面積法和用其他定理等多種解法. 可見，一題多解對不同層次的同學均有啟發，可促進基礎知識、基本技能的融會貫通，可提升解題思路和提高想象能力，只要思想充分開放，對題意思考得愈廣泛. 愈深刻，獲得的思路就會愈廣闊、愈清晰，相應的解法也就愈多. 學生通過對比分析，找出了問題的本質特征，并總結出了相應的思路和方法，從而培養了學生的創新意識和創新能力.

２． 一題多問

法國作家巴爾扎克說：打開一切科學的鑰匙都毫無疑問的是問號，我們大部分的偉大發現都應歸功于“如何”，而生活的智慧大概就在于逢事都問個“為什么”. 一題多問有多種形式，一是就本題的條件和要求要多問幾個為什么，什么情況可能出現，什么情況不可能發生，對它們之間要發問，對條件與結果之間的聯系也要發問，通過發問，對數學問題進行由此及彼，由表及里的思考和想象，有益于培養學生的思維能力，達到創新的目的. 二是一種題目，多出幾個問題要求來解答，通過多個問題的解答，總結出此類問題的本質特征.

例如：如圖銳角三角形ＡＢＣ，以ＡＢ，ＡＣ為邊向外作正方形ＡＢＧＦ和正方形ＡＣＤＥ，連接ＥＦ.

（１）求證：Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＥＦ.

（２）若ＡＩ⊥ＢＣ于Ｉ，延長ＩＡ交ＥＦ于Ｈ，求證：ＦＨ＝ＨＥ.

（３）Ｏ是ＢＣ中點，ＯＡ延長后交ＥＦ于Ｐ，求證：ＡＰ⊥ＥＦ.

（４）求證：ＥＦ ＝ ２ＯＡ.

（５）若Ｈ是ＥＦ中點，求證：ＡＩ⊥ＢＣ.

（６）若ＡＰ⊥ＥＦ，判斷：Ｏ一定是ＢＣ的中點嗎？

通過一個圖形的多個問題的解答，讓學生充分領會圖形的本質特征，把握兩個正方形與相應線段所構成的圖形的規律，并對其他的基本圖形、基本關系有進一步了解，從而使學生養成從不同問題中找出其共性，從而掌握本質的思維習慣. 這非常有助于學生養成良好的思維素養，學會分析和綜合思考問題.

３． 一題多變

由一個基本問題出發，運用類比、聯想、特殊比、一般化的思維方法，探討問題的發展變化，發現問題的本質，在異同中培養思維的組織性、批判性和深刻性，變中求進，進中求通，是學習平面幾何的“妙”方法.

例如：Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的邊ＡＢ上的中點，ＭＮ⊥ＤＭ與∠ＡＢＣ外角的平分線交于Ｎ，求證：ＭＤ ＝ ＭＮ.

變式 １：Ｍ是邊ＡＢ上任意一點，ＭＮ⊥ＤＭ與∠ＡＢＣ的外角平分線交于點Ｎ，求證ＤＭ ＝ ＭＮ.

變式 ２：Ｍ是邊ＡＢ延長線上一點，變式１中的結論還成立嗎？

變式 ３：Ｍ是邊ＡＢ的反向延長線上一點，上述結論還成立嗎？

變式 ４：Ｍ為正方形ＡＢ邊所在直線上的一點，ＤＭ⊥ＭＮ與∠ＡＢＣ外角的平分線交于Ｎ，求證：ＤＭ ＝ ＭＮ.

變式 ５：Ｍ是正三角形ＡＢＣ邊ＢＣ所在直線上的任意一點（Ｃ點除外），作∠ＡＭＮ ＝ ６０°，射線ＭＮ與∠ＡＣＢ外角的平分線交于Ｎ，求證ＡＭ ＝ ＭＮ.

通過一題多變，引導學生解題后反思，多問幾個為什么，這樣進行發散思維，比只解一個問題有更多的收獲. 從變式１到變式５，充分說明了這一點. 通過一題多變，研究輔助線作法的異同，使學生對添加此類輔助線有了較深刻的理解. 正如著名數學科學家伯利亞曾形象指出那樣，“好問題同某種蘑菇有些相像，他們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”，以上的問題不就是如此嗎？

４． 多題一法

由于學生自身以及學科知識的差異，不是所有的學生都能通過一、兩個題目解決所有問題，不是所有的知識通過一次訓練都能融會貫通的，有些內容可以通過多題一法的訓練，來達到最有效地讓學生逐步掌握數學知識、思想和方法的目的. 例如：

問題１． 如圖１，等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ９０°，一個４５°角的頂點與Ａ點重合，另兩邊交ＢＣ于點Ｄ，Ｅ，求證：ＤＥ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＣＥ２.

問題４：如圖４，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊中點，Ｅ在ＡＢ上，Ｆ在ＡＣ上，∠ＥＤＦ ＝ ９０°，ＢＥ２ ＋ ＦＣ２ ＝ ＥＦ２，求證：∠ＢＡＣ ＝ ９０°.

首次接觸這類題目時學生很陌生，可以用一道題的解題規律作為媒介，讓學生聯想到其他題目的解題規律. 從不同的圖形和不同的表達方式中找出共同點，是培養學生對新題型的了解、熟悉、應用的必要手段，也是培養學生歸納出問題本質的“巧”方法. 在上例中，可以逐步總結出在什么條件下利用旋轉的方法將分散的已知條件集中在一起，讓已知和未知建立聯系，并逐步總結出它們相同點：（１）旋轉前后圖像的形狀相同，大小不變. （２）對應線段相等，對應角相等. （３）對應點到旋轉中心的距離相等. （４）圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了相等的角度，這樣學生就知道了類似的題目可以用旋轉的方法解答.

數學教育的基本目標之一是在傳授知識的同時，發展和培養學生的數學能力. 衡量數學教學是否有成效，關鍵之一是看能否提高學生的數學思維能力. 中學生應當具有較高的理性思維能力，數學思維能力在其中起著獨特的作用. 也就是說，讓學生不斷地經歷歸納類比、符號表示、演繹證明、抽象概括、反思建構等思維過程，培養學生形成嚴謹的理性的思維. 學生在學習中觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，學會類比、歸納、演繹和進行推理以及會準確闡述自己的觀點，進而形成良好的思維品質，才能適應社會發展的需要.

在數學教學中，通過“求同”和“求異”來培養中學生的思維能力是非常有效的方法. 教師在特定的環境中，運用比較、分類的方法通過對教材、教法巧安排，對問題妙引導，讓學生多和創新能力的一代新人.

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