對(duì)一道磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)習(xí)題多解的探析

　　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡多樣，因而可能存在多解，但這一點(diǎn)很容易被忽視.在一次模擬考試中，有這樣一道題目：
　　如圖所示，直線MN下方無磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是邊長為a的正方形，內(nèi)外的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿邊長向左側(cè)射出，要求微粒始終做曲線運(yùn)動(dòng)并最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力，外部磁場(chǎng)范圍足夠大.求：從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小及運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
　　題圖
　　原參考答案：
　　如圖1，當(dāng)軌道半徑R=a時(shí)，經(jīng)T打到Q點(diǎn)；
　　圖1
　　如圖2，當(dāng)軌道半徑R=a/3時(shí)，經(jīng)T打到Q點(diǎn)；
　　圖2
　　如圖3，當(dāng)軌道半徑R=a/5時(shí)，經(jīng)T打到Q點(diǎn).
　　圖3
　　依次推導(dǎo)，可得軌道半徑表達(dá)式：
　　R=a （n=0，1，2，…）
　　∵R=
　　∴v= （n=0，1，2，…）
　　運(yùn)動(dòng)時(shí)間表達(dá)式：
　　t=nT+T （n為偶數(shù)）
　　t=nt+T
　　（其中T=T）
　　分析：參考答案看似簡單明了，但實(shí)際上存在疏漏.題目要求“微粒始終做曲線運(yùn)動(dòng)并最終打到Q點(diǎn)”，并沒有要求豎直打到Q點(diǎn)，參考答案給出的都是豎直向下達(dá)到Q點(diǎn)的情況.經(jīng)過分析，與豎直方向成一定夾角打到Q點(diǎn)也是符合題意的.這樣的話，粒子運(yùn)動(dòng)的情形又多了幾種可能，而遠(yuǎn)非原解那么簡單.下面試補(bǔ)充解答如下.
　　1.若微粒越過左邊界頂點(diǎn)斜向右下方打到上邊界，最終斜向右方打到Q點(diǎn)，如圖4，根據(jù)對(duì)稱性，上邊可以等分成三段，每一段長為Rsinθ，根據(jù)幾何關(guān)系列出以下兩個(gè)式子：
　　3Rsinθ=a
　　R+Rcosθ=a
　　聯(lián)立解得：sinθ=，R=a.
　　圖4所示的軌跡是簡單的一種，上邊還可以等分成五段、七段等奇數(shù)段，左邊也可以有多個(gè)半圓，如圖5、圖6、圖7.
　　通過分析它們之間的幾何關(guān)系，可以列出通式如下：
　　左邊邊長與軌道半徑的關(guān)系為：
　?。?n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　上邊邊長與軌道半徑的關(guān)系為：
　?。?m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯(lián)立解得：
　　sinθ=
　　R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)n≥2m時(shí)符合題意.而且可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)解答包含了圖4到圖7等各種情形，還包含了原參考答案中圖1和圖3的情形.
　　2.若微粒從左邊界上某點(diǎn)穿過后斜向右上方打到上邊界，最終斜向右方打到Q點(diǎn)，如圖8，根據(jù)對(duì)稱性，上邊可以等分成三段，每一段長為，根據(jù)幾何關(guān)系列出以下兩個(gè)式子：
　　3Rsinθ=a
　　3R-Rcosθ=a
　　聯(lián)立解得：sinθ=1或sinθ=，R=a或R=a.
　　圖8所示的軌跡是簡單的一種，上邊還可以等分成五段、七段等奇數(shù)段，左邊也可以有多個(gè)半圓，如圖9、圖10.
　　通過分析它們之間的幾何關(guān)系，可以列出通式如下：
　　左邊邊長與軌道半徑的關(guān)系為：
　　（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　上邊邊長與軌道半徑的關(guān)系為：
　?。?m+3）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯(lián)立解得：
　　sinθ=
　　R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　當(dāng)n≥2m+1時(shí)符合題意.而且可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)解答包含了圖8到圖10等各種情形，還包含了原參考答案中圖2的情形.
　　以上兩種情況中的結(jié)果很相似，經(jīng)過對(duì)幾何關(guān)系研究，可整合得到
　?。?n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　（2m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯(lián)立解得：
　　sinθ=
　　R=
　　所以v= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　當(dāng)n≥m時(shí)符合題意.
　　對(duì)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間，也可用同樣的方法找規(guī)律，列通式，整合.最后得出的結(jié)果為：
　　t=（m+1）+（2n+1）T（m為偶數(shù)）
　　或t=m+（2n+1）T（m為奇數(shù)）
　　從以上解答來看，解答過程復(fù)雜，顯然已超出命題者的初衷.若將“最終打到Q點(diǎn)”改成“最終豎直打到Q點(diǎn)”，則原題參考答案正確.