對一道磁場偏轉習題多解的探析

　　帶電粒子在有界磁場中偏轉運動時，往往出現運動軌跡多樣，因而可能存在多解，但這一點很容易被忽視.在一次模擬考試中，有這樣一道題目：
　　如圖所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強磁場，其分界線是邊長為a的正方形，內外的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B.現有一質量為m電荷量為q的帶負電微粒從P點沿邊長向左側射出，要求微粒始終做曲線運動并最終打到Q點，不計微粒的重力，外部磁場范圍足夠大.求：從P點到Q點，微粒的運動速度大小及運動時間.
　　題圖
　　原參考答案：
　　如圖1，當軌道半徑R=a時，經T打到Q點；
　　圖1
　　如圖2，當軌道半徑R=a/3時，經T打到Q點；
　　圖2
　　如圖3，當軌道半徑R=a/5時，經T打到Q點.
　　圖3
　　依次推導，可得軌道半徑表達式：
　　R=a （n=0，1，2，…）
　　∵R=
　　∴v= （n=0，1，2，…）
　　運動時間表達式：
　　t=nT+T （n為偶數）
　　t=nt+T
　　（其中T=T）
　　分析：參考答案看似簡單明了，但實際上存在疏漏.題目要求“微粒始終做曲線運動并最終打到Q點”，并沒有要求豎直打到Q點，參考答案給出的都是豎直向下達到Q點的情況.經過分析，與豎直方向成一定夾角打到Q點也是符合題意的.這樣的話，粒子運動的情形又多了幾種可能，而遠非原解那么簡單.下面試補充解答如下.
　　1.若微粒越過左邊界頂點斜向右下方打到上邊界，最終斜向右方打到Q點，如圖4，根據對稱性，上邊可以等分成三段，每一段長為Rsinθ，根據幾何關系列出以下兩個式子：
　　3Rsinθ=a
　　R+Rcosθ=a
　　聯立解得：sinθ=，R=a.
　　圖4所示的軌跡是簡單的一種，上邊還可以等分成五段、七段等奇數段，左邊也可以有多個半圓，如圖5、圖6、圖7.
　　通過分析它們之間的幾何關系，可以列出通式如下：
　　左邊邊長與軌道半徑的關系為：
　　（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　上邊邊長與軌道半徑的關系為：
　　（4m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯立解得：
　　sinθ=
　　R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　對結果進行驗證，當n≥2m時符合題意.而且可以發現這個解答包含了圖4到圖7等各種情形，還包含了原參考答案中圖1和圖3的情形.
　　2.若微粒從左邊界上某點穿過后斜向右上方打到上邊界，最終斜向右方打到Q點，如圖8，根據對稱性，上邊可以等分成三段，每一段長為，根據幾何關系列出以下兩個式子：
　　3Rsinθ=a
　　3R-Rcosθ=a
　　聯立解得：sinθ=1或sinθ=，R=a或R=a.
　　圖8所示的軌跡是簡單的一種，上邊還可以等分成五段、七段等奇數段，左邊也可以有多個半圓，如圖9、圖10.
　　通過分析它們之間的幾何關系，可以列出通式如下：
　　左邊邊長與軌道半徑的關系為：
　　（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　上邊邊長與軌道半徑的關系為：
　　（4m+3）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯立解得：
　　sinθ=
　　R= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　當n≥2m+1時符合題意.而且可以發現這個解答包含了圖8到圖10等各種情形，還包含了原參考答案中圖2的情形.
　　以上兩種情況中的結果很相似，經過對幾何關系研究，可整合得到
　　（2n+1）Rsinθ=a （n=0，1，2，…）
　　（2m+1）R±Rcosθ=a （m=0，1，2，…）
　　聯立解得：
　　sinθ=
　　R=
　　所以v= （n=0，1，2，…；m=0，1，2，…）
　　當n≥m時符合題意.
　　對于運動時間，也可用同樣的方法找規律，列通式，整合.最后得出的結果為：
　　t=（m+1）+（2n+1）T（m為偶數）
　　或t=m+（2n+1）T（m為奇數）
　　從以上解答來看，解答過程復雜，顯然已超出命題者的初衷.若將“最終打到Q點”改成“最終豎直打到Q點”，則原題參考答案正確.