初中數學“陷阱”題實例分析

中考題中，經常出現精心設計，讓學生不易察覺的“陷阱” . 隨著課改的深入，在數學題設計中，就出現了陷阱題這樣一種新題型. 陷阱題的出現，更多的是用來培養學生的審題能力. 初中學生由于學習能力的限制，抽象概括能力差，基礎知識理解不牢固，顧此失彼、思考不周、審題不嚴等現象時有發生 ．筆者對中考試題中常見的“陷阱”題列舉如下：

一、利用同類二次根式解題時被開方數大于零和是否是最簡二次根式而設陷阱

例１ 若最簡根式與是同類二次根式，則ｍ ＝ .

誤解 ｍ２ － ３ ＝ ５ｍ ＋ ３，解得ｍ ＝ ６或 ｍ ＝ －１.

正解 ｍ２ － ３ ＝ ５ｍ ＋ ３，解得ｍ ＝ ６ 或ｍ ＝ －１. 當ｍ ＝ ６時， ５ｍ ＋ ３ ＝ ３３ ＞ ０，是最簡二次根式，當ｍ ＝ －１時， ５ｍ ＋ ３ ＝ －２ ＜ ０，所以ｍ ＝ ６.

又如：最簡二次根式是同類二次根式，則ａ ＝ .

由于ａ２ ＋ ａ ＝ ａ ＋ ９，解得ａ ＝ ±３.當ａ ＝ ３ 時，，不是最簡二次根式，所以ａ ＝ －３.

二、利用一元二次方程有實根的前提條件是ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０而設陷阱

例２ 已知ｘ為實數，且（ｘ２ ＋ ４ｘ）２ ＋ ５（ｘ２ ＋ ４ｘ） － ２４ ＝ ０， 則ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ .

誤解 解（ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ４ｘ － ３） ＝ ０，則ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ －８或ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ ３.

正解 由于ｘ為實數，所以在ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ －８或ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ ３ 這兩種情況下，應有ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０，前者ｂ２ － ４ａｃ ≤ ０，所以ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ －８要舍去，本題答案為ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ ３.

三、利用分母不為零而設陷阱

例３ 若關于ｘ的方程= 1的解為負數，則ｍ的取值范圍 .

誤解 ２ｘ －ｍ ＝ ｘ ＋ ３，則ｘ ＝ ｍ ＋ ３. ∵方程的解為負數，

∴ ｘ ＜ ０，即ｍ ＋ ３ ＜ ０，∴ ｍ ＜ －３.

正解 分式方程轉化為整式方程時，隱含了分母不為零，所以此題有ｘ ≠ －３這個條件，即ｍ ＋ ３ ≠ －３，ｍ ≠ －６，此題答案應為ｍ ＜ －３且ｍ ≠ －６.

四、利用零指數冪底數不為零而設陷阱

例４ 若ｘ２ － ２ｘ － ２ ＝ （ｘ２ － ４ｘ ＋ ３）０，則x的值為 .

誤解 ∵（ｘ２ － ４ｘ ＋ ３）０ ＝ １，∴ ｘ２ － ２ｘ － ２ ＝ １，∴ ｘ ＝ ３，ｘ ＝ －１.

正解 ∵（ｘ２ － ４ｘ ＋ ３）０ ＝ １，∴ ｘ２ － ２ｘ － ２ ＝ １，且ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ≠ ０.

∴ ｘ ＝ ３，ｘ ＝ －１，ｘ ≠ ３，ｘ ≠ １. ∴ ｘ ＝ －１.

五、利用二次函數、二次方程中的二次項系數不為零而設陷阱

例５ 若０是一元二次方程（ｍ ＋ ２）ｘ２ ＋ （２ｍ ＋ ５）ｘ ＋ ｍ２ － ４ ＝ ０ 的根，則ｍ ＝ .

誤解 ∵ ０是一元二次方程（ｍ ＋ ２）ｘ２ ＋ （２ｍ ＋ ５）ｘ ＋ ｍ２ － ４ ＝ ０的根，∴（ｍ ＋ ２） × ０２ ＋ （２ｍ ＋ ５） × ０ ＋ ｍ２ － ４ ＝ ０.

∴ ｍ２ － ４ ＝ ０，∴ ｍ ＝ ±２.

正解 本題上面的解法中遺漏了二次項系數不為零這個條件. 應該這樣解：∵ ０是一元二次方程（ｍ ＋ ２）ｘ２ ＋ （２ｍ ＋ ５）ｘ ＋ ｍ２ － ４ ＝ ０的根，∴（ｍ ＋ ２） × ０２ ＋ （２ｍ ＋ ５） × ０ ＋ ｍ２ － ４ ＝ ０，

∴ ｍ２ － ４ ＝ ０，∴ ｍ ＝ ±２. ∵ ｍ ＋ ２ ≠ ０，∴ ｍ ≠ －２，∴ ｍ ＝ ２.

六、利用任意數平方的非負性而設陷阱

例６ 若（x2 + y2）（ｘ２ － １ ＋ ｙ２） － １２ ＝ ０，則ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ．

誤解 ∵ （ｘ２ ＋ ｙ２）（ｘ２ － １ ＋ ｙ２） － １２ ＝ ０，∴（ｘ２ ＋ ｙ２）２ － （ｘ２ ＋ ｙ２） － １２ ＝ ０，∴（ｘ２ ＋ ｙ２ － ４）（ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ３） ＝ ０.

∴ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４，ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ －３.

正解 本題的ｘ２ ＋ ｙ２ ≥ ０，容易遺漏這個條件，本題應該這樣解：∵（ｘ２ ＋ ｙ２）（ｘ２ － １ ＋ ｙ２） － １２ ＝ ０，∴（ｘ２ ＋ ｙ２）２ － （ｘ２ ＋ ｙ２） － １２ ＝ ０，∴（ｘ２ ＋ ｙ２ － ４）（ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ３） ＝ ０，∴ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４，ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ －３，∵ ｘ２ ＋ ｙ２ ≥ ０，∴ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４，本題答案應為ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４.

七、利用根與系數關系的前提條件是ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０而設陷阱

例７ 已知ｘ１，ｘ２是方程ｘ２ － ２ｍｘ ＋ ３ｍ ＝ ０的兩根，且滿足（ｘ１ ＋ ２）（ｘ２ ＋ ２） ＝ ２２ － ｍ２，則ｍ ＝ .

誤解 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２ｍ，ｘ１ｘ２ ＝ ３ｍ，則ｘ１ｘ２ ＋ ２ｘ１ ＋ ２ｘ２ ＋ ４ ＝ ２２ － ｍ２，將ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２ｍ，ｘ１ｘ２ ＝ ３ｍ代入，得ｍ２ ＋ ７ｍ － １８ ＝ ０，解得ｍ ＝ －９，ｍ ＝ ２.

正解 本題的前提條件是ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０，所以應驗證當ｍ ＝ －９，ｍ ＝ ２時是否滿足ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０.當ｍ ＝ ２時，ｂ２ － ４ａｃ ≤ ０，所以本題答案是ｍ ＝ －９.

八、利用一次函數和反比例函數的ｋ ≠ ０而設陷阱

例８ 已知一次函數ｙ ＝ ｋｘ － ２和ｙ ＝ 有交點，則ｋ的取值范圍是 .

誤解 ∵一次函數ｙ ＝ ｋｘ － ２和ｙ ＝ 有交點，∴ ｋｘ － ２ ＝ ，且方程有解，即方程ｋｘ２ － ２ｘ － ３ ＝ ０有解，也就是根的判別式有解，∴ ４ ＋ １２ｋ ≥ ０，ｋ ≥ .

正解 因為是一次函數，故隱含了ｋ ≠ ０這個條件. ∵一次函數ｙ ＝ ｋｘ － ２和ｙ ＝ 有交點，∴ｋｘ － ２ ＝ 有解，且ｋ ≠ ０，即方程ｋｘ２ － ２ｘ － ３ ＝ ０有解，也就是根的判別式有解，

∴ ４ ＋ １２ｋ ≥ ０，ｋ ≥ －.

∴ ｋ ≥ －且 ｋ ≠ ０.

九、利用等腰三角形一腰上的高可在三角形內部，也可在三角形的外部而設陷阱

例９ 若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為４０°，則它的頂角為 .

誤解 畫圖不難求出頂角為５０°.

正解 由于等腰三角形一腰上的高可在三角形內部也可在三角形外部（當頂角為銳角時，一腰上的高在三角形內部；當頂角為鈍角時，一腰上的高在三角形外部），故畫圖不難求出頂角為５０°或１３０°.