抽象函數(shù)類題目解法研究

抽象函數(shù)在教材中并沒有專項內(nèi)容，但給出的抽象函數(shù)的性質(zhì)和圖像都是我們非常熟悉的，如單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性，它考查了考生靈活運用函數(shù)的性質(zhì)的能力，所以越來越得到了高考命題者的青睞．那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢？我們可以利用特殊模型法、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法等多種方法從多角度、多層面去分析研究抽象函數(shù)問題．

一、用整體法解決定義域問題

這類問題只要緊緊抓住：將函數(shù)f[g（x）]中的g（x）看作一個整體，相當于f（x）中的x這一特性，問題就會迎刃而解．

例1： y=f（x）函數(shù)的定義域為（-∞，１]，則函數(shù)y=f[log2（ｘ２-２）]的定義域是 .

分析： 因為log2（ｘ２-２）相當于

f（x）中的x，所以log2（ｘ２-２）≤1，解得■

例2：若函數(shù)h（x），g（x）均為奇函數(shù)，f（x）=ah（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值5，求f（x）在（-∞，0）上的最小值．

分析：由于h（x），g（x）均為奇函數(shù)，故ah（x）+bg（x）也是奇函數(shù)，令

F（x）=ah（x）+bg（x），則f（x）=F（x）+2．由

f（x）在（0，+∞）上有最大值5，可知F（x）在（0，+∞）上有最大值為3．又F（x）因是奇函數(shù)，故F（x）在（-∞，0）上有最小值－3．從而f（x）在（-∞，0）上有最小值－1．

評注：本題運用整體思想，將ah（x）+bg（x）看成函數(shù)F（x），根據(jù)F（x）是奇函數(shù)，使問題得以解決．

二、用賦值法求某些特殊值

緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解．

例3：設x≠0，函數(shù)f（x）滿足

2f（x）+f（■）=10x，求f（x）函數(shù)的解析式．

解：由題意知2f（x）+f（■）=10x

用x換■代入上式得：2f（■）+

f（x）=10■

則①×2－②得：3f（x）=2·10x-10■

所以f（x）=■·10x-■·10■

例4：已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f（2+x）[1-f（x）]=1+f（x），

f（1）=1997，求f（2011）的值．

分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f（x）是周期函數(shù)，顯然f（x）≠1，于是f（x+2）=■，f（x+4）=■=■=-■，所以 f（x+8）=-■=f（x），∴f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，從而f（2011）=f（8×250+1）=f（1）=1997.

本題可以推廣到若對常數(shù)m（m≠0）和實數(shù)x∈R，等式f（x+m）=■恒成立，則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且周期為4?襔m?襔.

三、用數(shù)形結(jié)合法求單調(diào)區(qū)間或解抽象不等式

根據(jù)題目中給出的抽象函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等）可作出它的大致圖像，通過圖像來求單調(diào)區(qū)間或解抽象不等式．

例5：已知偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，問f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

分析：如圖所示，易知f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，證明如下：任取x1-x2>0，因為f（ x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以f（-x1）

例6：若奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（-3）=0，解不等式:xf（x）<0．

解：由

f（x）題意得到的大致圖像如圖所示，奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，且

f（-3）=0，可知當x∈（-3，0）∪（3，+∞）時，f（x）>0；當x∈（-3，0）∪（3，+∞）時，f（x）<0．故不等式xf（x）<0的解集為x∈（-3，0）∪（0，3）．

四、借助模型函數(shù)解抽象不等式

有些抽象函數(shù)是由某些具體函數(shù)抽象得出的結(jié)果，所以借助它的模型函數(shù)，往往可以幫我們把開思路之門，上表是幾種常見的函數(shù)關系式對應的模型函數(shù).

例7：設y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對一切x>0，y>0都滿足f（■）=f（x）-f（y）；（1）求f（1）的值；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（■）<2.

分析：函數(shù)關系式f（■）=f（x）-f（y）對應的模型函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，設之為y=logax（a>0且a≠0），由f（2）=1得a=2，解log2x=2得x=4，所以可用賦值法求出f（4）=2，所以不等式f（x+3）-f（■）<2，可化為

f（x2+3x）0■>0x2■+3x<4，解之得0

責任編輯 羅峰