利用定勢(shì)思維解幾何題

所謂定勢(shì)思維，就是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)在過去知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)影響下，心理上處于一種準(zhǔn)備狀態(tài)，解決當(dāng)前問題時(shí)常有一定的傾向性。

定勢(shì)的作用可以是積極的，也可以是消極的。本文試圖探究由幾何圖形產(chǎn)生的定勢(shì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響。先看兩個(gè)例子。

例1：在學(xué)習(xí)了“三角形的高”的定義并畫出銳角三角形的三條高（圖1）后，要學(xué)生畫出像圖2那樣放置的鈍角三角形的高。大多數(shù)學(xué)生能畫出BC邊上的高AD，但能畫出其它兩邊上的高的學(xué)生則廖廖無幾。若要學(xué)生畫出像圖3那樣放置的鈍角三角形的高，能畫出AC邊上的高BE的比畫出圖2中AD的明顯減少，但能畫出AD、CF的卻比能畫出圖2中BE、CF的多些。

例2：在學(xué)習(xí)了矩形面積等于“底×高”后，為了得到平行四邊形的面積公式，畫出圖4那樣的平行四邊形，由△ADE面積與△BCF面積相等，很容易得到平行四邊形ABCD的面積=矩形ABFE的面積，從而得到平行四邊形的面積=底×高。

經(jīng)過輔導(dǎo)后，再通過測試，確知全部學(xué)生都掌握此法后，將平行四邊形畫成圖5的樣子，再讓學(xué)生推證公式。結(jié)果經(jīng)過一段時(shí)間思考，一部分學(xué)生終于畫出如圖6的輔助線使問題得到解決（其中有些學(xué)生作輔助線時(shí)，將紙旋轉(zhuǎn)）；僅有少數(shù)學(xué)生能作出如圖7的輔助線并解決問題；半數(shù)左右的學(xué)生一籌莫展，望圖興嘆。

從上面兩個(gè)例子可以看出：

第一，幾何圖形的不同樣式，對(duì)解決問題的難易是有很大差別的。因此：（1）初學(xué)時(shí)，應(yīng)盡可能用“較易”的圖形，以便于學(xué)生能夠接受。（2）每人可按自己最習(xí)慣的樣式畫圖，以發(fā)揮定勢(shì)思維的積極作用，避免消極作用，提高解題效率。

第二，一個(gè)幾何問題只有對(duì)一切可能的圖形都解決時(shí)，才能算完全掌握。因此，應(yīng)該在學(xué)生可以接受的情況下，有意識(shí)地經(jīng)常改變圖形樣式。

定勢(shì)積極作用的利用，有助于迅速地添出適當(dāng)?shù)妮o助線而使幾何問題容易解決。例如若幫助學(xué)生建立“有關(guān)比例的問題常用添平行線的辦法來解決”的定勢(shì)思維，那么當(dāng)遇到下面問題時(shí)就不會(huì)感到束手無策了。

例3：在△ABC 中AM為BC邊上中線，AP＝AQ，求證：PN∶NQ＝AC∶AB( 圖8)。

略證：過M作PQ的平行線與AB交于D，與AC延長線交于E，過C作AB的平行線與DE交于F，過E作BA的平行線交于G。則：PN∶NQ＝DM∶ME＝MF∶ME＝FC∶EC＝CE∶CG＝AC∶AB 。

但如果這種定勢(shì)太強(qiáng)，認(rèn)為非添平行線不可，否則就別無出路，那就會(huì)使思維僵化。如果能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行設(shè)想、聯(lián)系，就可以從定勢(shì)的消極影響下跳出來，創(chuàng)造更新穎簡捷的證法。

對(duì)本題可作如下啟發(fā)：

1. 怎樣把 PN∶NQ 轉(zhuǎn)化成面積比（用同高三角形）。

2. 中線AM把三角形分成兩部分面積有什么關(guān)系（S△ABM=S△ACM）。

3. 怎樣把面積比化成AC∶AB。

一般說來，利用定勢(shì)思維的積極作用有助于得到問題的常規(guī)解法，而突破定勢(shì)的束縛則往往能得到巧妙的解法。

下面再舉一例說明在教學(xué)中怎樣避免定勢(shì)的消極作用。

例4：⊙o1與⊙o2相交，過一交點(diǎn)P任作一直線交兩圓于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在⊙o1上，點(diǎn)B在⊙o2上，分別過O1與O2作O1⊥AB，點(diǎn)C、D為垂足。求證： CD ＝■AB。

這道題并不太難，大多數(shù)學(xué)生往往證明如下：

作出圖形如圖9。

則有O1C⊥ABO2D⊥AB?圯AC=CPPD=DB?圯CD=CP+PD=■（AP+PB）=■AB。

然而，上面的證明是不完善的。因受定勢(shì)思維影響，學(xué)生畫圖時(shí)以為點(diǎn)P總在AB之間。事實(shí)上，若點(diǎn)P不是介于點(diǎn)A、B之間，那么證明方法與上述證法就不盡相同，應(yīng)作補(bǔ)充證明。

如圖10，點(diǎn)A介于點(diǎn)P、B 之間，則有

O1C⊥ABO2D⊥AB?圯AC=CPPD=DB?圯CD=PD-PC=■（PB-PA）=■AB。

若點(diǎn)B介于P、A 之間（圖11）證明方法同上。

在布置學(xué)生解此題時(shí)，若附題附圖，則應(yīng)畫三個(gè)圖，不能只畫其中之一。若不附圖，可提示學(xué)生，“有三種情況”，若不提示，則往往僅有少數(shù)學(xué)生會(huì)全面考慮。教師在事后應(yīng)詳細(xì)分析，糾正錯(cuò)誤。在教學(xué)中經(jīng)常這樣做，才能培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致周密地思考問題的習(xí)慣。

學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的心理指向不是一剎那組織起來的，而是在學(xué)習(xí)活動(dòng)開始以前就為它作了心理上的準(zhǔn)備，從而使學(xué)習(xí)活動(dòng)有一定的方向性。幾何圖形樣式的選擇對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響很大。在教學(xué)時(shí)畫不畫圖，畫什么樣式的圖，要根據(jù)學(xué)生程度、學(xué)習(xí)階段、學(xué)習(xí)要求等精心設(shè)計(jì)。在教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地提醒學(xué)生在對(duì)某一問題“解決”以后，要討論圖形的一切可能性，以求完整。這樣才能最大限度地發(fā)揮定勢(shì)思維的積極作用，避免消極作用，以提高學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生的求異思維能力得到發(fā)展。

責(zé)任編輯 羅峰