利用定勢思維解幾何題

所謂定勢思維，就是學生的學習活動在過去知識、經驗影響下，心理上處于一種準備狀態，解決當前問題時常有一定的傾向性。

定勢的作用可以是積極的，也可以是消極的。本文試圖探究由幾何圖形產生的定勢對學生學習的影響。先看兩個例子。

例1：在學習了“三角形的高”的定義并畫出銳角三角形的三條高（圖1）后，要學生畫出像圖2那樣放置的鈍角三角形的高。大多數學生能畫出BC邊上的高AD，但能畫出其它兩邊上的高的學生則廖廖無幾。若要學生畫出像圖3那樣放置的鈍角三角形的高，能畫出AC邊上的高BE的比畫出圖2中AD的明顯減少，但能畫出AD、CF的卻比能畫出圖2中BE、CF的多些。

例2：在學習了矩形面積等于“底×高”后，為了得到平行四邊形的面積公式，畫出圖4那樣的平行四邊形，由△ADE面積與△BCF面積相等，很容易得到平行四邊形ABCD的面積=矩形ABFE的面積，從而得到平行四邊形的面積=底×高。

經過輔導后，再通過測試，確知全部學生都掌握此法后，將平行四邊形畫成圖5的樣子，再讓學生推證公式。結果經過一段時間思考，一部分學生終于畫出如圖6的輔助線使問題得到解決（其中有些學生作輔助線時，將紙旋轉）；僅有少數學生能作出如圖7的輔助線并解決問題；半數左右的學生一籌莫展，望圖興嘆。

從上面兩個例子可以看出：

第一，幾何圖形的不同樣式，對解決問題的難易是有很大差別的。因此：（1）初學時，應盡可能用“較易”的圖形，以便于學生能夠接受。（2）每人可按自己最習慣的樣式畫圖，以發揮定勢思維的積極作用，避免消極作用，提高解題效率。

第二，一個幾何問題只有對一切可能的圖形都解決時，才能算完全掌握。因此，應該在學生可以接受的情況下，有意識地經常改變圖形樣式。

定勢積極作用的利用，有助于迅速地添出適當的輔助線而使幾何問題容易解決。例如若幫助學生建立“有關比例的問題常用添平行線的辦法來解決”的定勢思維，那么當遇到下面問題時就不會感到束手無策了。

例3：在△ABC 中AM為BC邊上中線，AP＝AQ，求證：PN∶NQ＝AC∶AB( 圖8)。

略證：過M作PQ的平行線與AB交于D，與AC延長線交于E，過C作AB的平行線與DE交于F，過E作BA的平行線交于G。則：PN∶NQ＝DM∶ME＝MF∶ME＝FC∶EC＝CE∶CG＝AC∶AB 。

但如果這種定勢太強，認為非添平行線不可，否則就別無出路，那就會使思維僵化。如果能引導學生進行設想、聯系，就可以從定勢的消極影響下跳出來，創造更新穎簡捷的證法。

對本題可作如下啟發：

1. 怎樣把 PN∶NQ 轉化成面積比（用同高三角形）。

2. 中線AM把三角形分成兩部分面積有什么關系（S△ABM=S△ACM）。

3. 怎樣把面積比化成AC∶AB。

一般說來，利用定勢思維的積極作用有助于得到問題的常規解法，而突破定勢的束縛則往往能得到巧妙的解法。

下面再舉一例說明在教學中怎樣避免定勢的消極作用。

例4：⊙o1與⊙o2相交，過一交點P任作一直線交兩圓于點A、B，點A在⊙o1上，點B在⊙o2上，分別過O1與O2作O1⊥AB，點C、D為垂足。求證： CD ＝■AB。

這道題并不太難，大多數學生往往證明如下：

作出圖形如圖9。

則有O1C⊥ABO2D⊥AB?圯AC=CPPD=DB?圯CD=CP+PD=■（AP+PB）=■AB。

然而，上面的證明是不完善的。因受定勢思維影響，學生畫圖時以為點P總在AB之間。事實上，若點P不是介于點A、B之間，那么證明方法與上述證法就不盡相同，應作補充證明。

如圖10，點A介于點P、B 之間，則有

O1C⊥ABO2D⊥AB?圯AC=CPPD=DB?圯CD=PD-PC=■（PB-PA）=■AB。

若點B介于P、A 之間（圖11）證明方法同上。

在布置學生解此題時，若附題附圖，則應畫三個圖，不能只畫其中之一。若不附圖，可提示學生，“有三種情況”，若不提示，則往往僅有少數學生會全面考慮。教師在事后應詳細分析，糾正錯誤。在教學中經常這樣做，才能培養學生細致周密地思考問題的習慣。

學生在學習活動中的心理指向不是一剎那組織起來的，而是在學習活動開始以前就為它作了心理上的準備，從而使學習活動有一定的方向性。幾何圖形樣式的選擇對學生學習的影響很大。在教學時畫不畫圖，畫什么樣式的圖，要根據學生程度、學習階段、學習要求等精心設計。在教學中，應有意識地提醒學生在對某一問題“解決”以后，要討論圖形的一切可能性，以求完整。這樣才能最大限度地發揮定勢思維的積極作用，避免消極作用，以提高學習效率，使學生的求異思維能力得到發展。

責任編輯 羅峰