分層建構:讓數(shù)學理解“健康緩慢地生長”

教學中，不少教師或許會有這樣的疑惑：引導學生經(jīng)歷分層建構的過程，最終只是得出一個結論，教學中真有必要讓學生花費那么多的時間進行分層建構嗎？筆者認為從以下幾方面可以回答這樣的困惑：（1）分層建構有利于更好地掌握知識與技能。對于需要深入理解的內容，組織分層建構優(yōu)勢有三：其一，分層建構知識時，以基本概念和原理為支撐，對重點進行聚焦，體系簡約，邏輯性強，使數(shù)學知識容易被學生領會；其二，分層建構后的知識是記憶的支柱，可以抗拒遺忘；其三，便于聯(lián)想，具有遷移和被運用的活力。（2）分層建構有利于培養(yǎng)學生的主動探究能力。分層建構的教學設計采用分步設置障礙的方法，讓學生面對知識向縱深推進的形成和發(fā)展過程中適度的困難，使思維得到鍛煉，可以提高學生主動探究知識的興趣和能力。（3）分層建構有利于學生形成良好的情感態(tài)度。分層建構設計讓學習材料動態(tài)展現(xiàn)，讓學習過程注重發(fā)現(xiàn)，引發(fā)碰撞生成，從而能喚起學生積極的探究精神，引導他們逐步依靠自己的力量來發(fā)現(xiàn)知識、解決問題，學生就會養(yǎng)成獨立地、創(chuàng)造性地、友善地實現(xiàn)目標的態(tài)度與性格，形成鍥而不舍的意志與人格。

當然，我們并不能對分層建構的價值做過多的強調，它僅僅是實現(xiàn)理解的方式之一。筆者也并不認為所有的教學內容在任何時候都需要分層建構，有些內容的學習組織分層建構既不現(xiàn)實，也不值得。本文的出發(fā)點是，如果教師希望學生更深刻理解具備“持久價值、學科中心、易混易錯”等特性的內容，那該如何組織有層次推進的教學結構？

關于這個問題，我們在實踐研究中得出：應把“完善教材的內容結構，構建知識的程序結構，優(yōu)化教學的形態(tài)結構”作為分層推進的教學結構設計的生命線。構建的順序是：教材（學）內容的個性化理解——教學（材）程序調整改造——課堂形態(tài)的預設，這是一個由外到內再由內到外的過程。在教學結構設計時，要注重應用以下策略：

一、教學內容的核心式設計

設計分層推進的教學結構首先應圍繞教學目標，從教學內容上開發(fā)，要“克服以往那種在教學中零散片段的內容和活動，聚焦于基本概念和基本結構，以少勝多，鼓勵學生在重要的概念上花更多的時間深入透徹地理解”。這就要求教師要對數(shù)學知識進行整體把握，即對知識背后的內在脈絡有清晰的理解，對數(shù)學知識中蘊涵的重要數(shù)學思想、數(shù)學本質有切實的體會，區(qū)分核心知識和非核心知識，能析出教材中的重點，突出重點中的精華，進行核心聚焦式設計。

例如，蘇教版五年級上冊《找規(guī)律》一課，教材采用了兩個一組的節(jié)日盆花情境作為首個例題呈現(xiàn)，讓學生用畫圖法、觀察奇偶數(shù)法和除法解決，體現(xiàn)算法的多樣化，然后推廣到三個一組、四個一組的周期現(xiàn)象。這樣安排雖然遵循了由易到難的原則，但是兩個一組的周期規(guī)律內部構造實在簡單，學生解答時往往采用觀察奇偶法，輕而易舉就得到了結果，注意心向根本不會聚焦到“組”與“序”層面上來。為了使目標不發(fā)生偏離，筆者對教材進行整編，從三個一組的簡單幾何圖形入手，淡化形式，凸現(xiàn)主干，從猜不出到輕松猜出，讓學生在經(jīng)歷從無序到有序的過程中感知簡單周期規(guī)律的“組”與“序”，然后推廣到四個、五個一組的周期現(xiàn)象。以幾何圖形為情境，串珠成鏈，簡約流暢，縮小了問題情境與知識本質之間的縫隙。

二、運行結構的序列化設計

學生的認知結構主要是從課堂中知識的運行結構轉化而來的，課堂教學運行的結構是由教材內容的邏輯順序（主要是知識邏輯）與學生的心理順序相互作用決定的，教學時應思考如何將知識點按合理的序列進行安排。

1.由“粗”到“精”，逐步完善。

所謂由粗到精，其實是由上位概念發(fā)展成下位概念的過程。即根據(jù)相關的先驗知識確定知識的大致范圍，進而通過匹配得到比較完善的知識。這一序列用數(shù)學的邏輯鏈來支持教師的教與學生的學，從而使學生在真實經(jīng)歷和體驗知識創(chuàng)生與發(fā)展的過程中，充分感受和體悟前人發(fā)現(xiàn)的方法與思維策略。這樣不僅能讓學生掌握數(shù)學知識，而且還能讓其知道數(shù)學知識的“根基”，實現(xiàn)從“獲得答案”過渡到“對理解和意義的追求”。

如《角的度量》一課，傳統(tǒng)的教學一般是按照認識量角器——揭示量角方法——進行量角練習的順序安排的。一節(jié)課下來，有學生還不知道怎么擺放量角器，即使能正確擺放又常常會把內圈和外圈刻度相互混淆。為此，在教學中我們一反常規(guī)套路，讓學生回到知識的原點，把學生的角色從“量角器的使用者”轉換為“量角器的制作者”。通過5個層級，引導學生對量角器進行再創(chuàng)造：①由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小；②由單位小角的使用不便引出要把單位小角合并為半圓工具；③由這種半圓工具度量不準確引出要把單位小角分得更細些；④由細分后的半圓工具讀數(shù)不便引出加一圈刻度；⑤由使用的不便最終引出兩圈刻度。學生在追蹤量角器設計者的思考軌跡中，由“粗”到“精”，不斷重組新的常識或經(jīng)驗，在探索和創(chuàng)造中完成了對量角工具制作，把握了量角器的原理，較好地掌握了量角的方法。

2.由“點”到“面”，逐步類化。

許多重要的概念知識往往不能一步到位，我們慣有的做法是從總概念中分解出一個個小的知識點，從某個點切入，進行逐個突破，最終實現(xiàn)由點狀生成到整體生成的轉變。由點到面的分層嵌套式序列，讓學生在解決認知上一次又一次的矛盾沖突的同時，自主建構，反思升華，不斷精煉思維。《三角形的認識》的教學，為了讓學生思維實現(xiàn)由散點狀向嚴密型的發(fā)展和提升，我們沒有采用“任意搭配”和“二配一”的方式，而是根據(jù)教材編寫的序、學生認知的序，確定“一配二”的教學序列。我們給3條邊涂上3種不同的顏色，配上相應的數(shù)據(jù)，數(shù)形結合，便于學生思考和表述。三角形三邊關系的教學設計成環(huán)環(huán)相扣的5個層次展開：①紅、黃兩邊長度的和大于藍邊；②紅、藍兩邊的長度和大于黃邊；③黃、藍兩邊的長度和大于紅邊；④三角形中任意兩條邊的長度和大于第三邊；⑤兩條短邊的長度和大于長邊。在由點到面的知識網(wǎng)絡的構建中，讓學生的數(shù)學理解不斷向縱深推進。

3.由“表”及“里”，逐步深入。

數(shù)學知識是顯性的，而數(shù)學思想方法卻是隱性的，它潛藏在數(shù)學知識之中，教師必須吃透教材，由表及里，帶領學生感悟數(shù)學知識背后的思想方法。四年級（上冊）《找規(guī)律》一課所涉及的一一間隔規(guī)律本質上體現(xiàn)了一一對應的思想。教學中我們按下述序列展開：①直接觀察：在兩組物體的求同中初步感知一一間隔現(xiàn)象；②學具操作：用一個對著一個的方法來尋找規(guī)律；③符號操作：借助一一對應畫弧線的方法研究兩種物體個數(shù)之間的關系；④言語表征：根據(jù)首尾物體的異同，確定兩個物體的個數(shù)關系。由表及里、層層深入的教學，讓課堂呈現(xiàn)高效。

除了上述幾種教學序列外，還有由“次”到“主”、由“簡”到“繁”、由“誤”到“正”等序列，各種序列往往重疊交叉，有時在一個課例中同時涉及幾種類型。在安排教學序列時要防止梯度太大或太小，導致學生思維的惰性化，我們所應注目的是，探明各個層級知識內容的最佳結構以及這些結構之間呈現(xiàn)合適梯度的最佳序列。

三、教學形態(tài)的悟感式設計

教學形態(tài)是根據(jù)“活動本質觀”而設計的學生活動形式。不難得出，教學的內容、程序、形態(tài)是渾然一體的。悟感式設計的關鍵是讓知識的學習在體驗感悟中進行，并與學生的個體精神世界達成一種相互開放的對話關系。教學形態(tài)的悟感式設計對于激發(fā)學生學習的內驅力，確立學生在學習過程中的主體地位有很大的作用。

1.層層設疑。

組織分層建構可從完善已有知識結構網(wǎng)絡的角度進行設計，通過層層設疑，讓學生不斷遭遇一個又一個問題，使學生形成知識缺口或空位。面對情境學生會產生一種類似本能的反應，不由自主地“跳”出填補空位的內在需要，形成有意義的學習心向。六年級上冊《確定位置》一課，描述一個物體所在的位置涉及3個要素：觀測中心點、方向（角度）和距離。具體分解落實為環(huán)環(huán)緊扣的3個層次制造矛盾沖突：①無法用正北方向來描述怎么辦？——引出北偏東（西），南偏東（西）4個方向；②兩個點都在北偏東20千米處，位置不同如何精確區(qū)分？——引出看其偏過的角度；③同一個位置，方向和角度的描述卻不相同，這是什么原因？——引出中心點在確定位置中的重要性。學生在“同化”和“順應”作用下，通過外部新知的刺激及其與前知的認知沖突，進而完成了自主建構知識的過程。

2.比較對照。

比較、對照是發(fā)展數(shù)學理解不可或缺的步驟。在新概念形成、新知識學習后，將相近、相似、易混、易錯和一些形式上相似、實質不同、容易混淆的內容進行比較，讓學生在比較中鑒別隱含在不同問題背后的實質性數(shù)學內涵。這樣做，一方面可以評判學生是否對數(shù)學知識的本質達到了較為深刻的理解，同時也可以在問題解決的過程中深化對數(shù)學本質的認識。《認識周長》的教學中，教師創(chuàng)設了螞蟻和蝸牛在“運動場”（葉片）上跑步的情境。借助媒體操作演示兩只昆蟲沿著邊線跑步，一只從起點出發(fā)，跑了一圈又回到了起點，另一只沒有回到起點。教師讓學生比較兩只昆蟲走法的異同。在求同中強調了“邊線”，在求異中突出了“一周”的概念，通過辨析比較，強化了對周長本質的認識。

3.邊學邊練。

學生的外部行為（包括語言）活動可以內化為內部的心理活動，兩者不僅具有發(fā)生學上的同源關系，而且相對同構、同步發(fā)展。換句話說，我們必須重視學習者的親身感受、動手操作和動口交流等行為在教學過程中的作用。學習是獲得知識經(jīng)驗的“學”與進行行為實踐的“習”相結合的活動范疇。邊學邊練，及時獲得教學效果的信息，隨時調節(jié)教學進程，可以促成行為結構與心理結構迅速互化，是組織分層建構的重要一環(huán)。

不可否認，對于分層建構式教學還有許多問題有待我們研究，如究竟怎樣的結構才算最佳結構，給學生預留的探究空間的大小怎么把握，如何平衡“學生主動建構”與“接受學習”的關系，在關注分層建構層次性和遞進性的同時，如何兼顧不同的維度，等等。

（作者單位：江蘇省江陰市教育局教研室，江陰市花園實驗小學）