分層建構(gòu):讓數(shù)學(xué)理解“健康緩慢地生長(zhǎng)”

教學(xué)中，不少教師或許會(huì)有這樣的疑惑：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分層建構(gòu)的過(guò)程，最終只是得出一個(gè)結(jié)論，教學(xué)中真有必要讓學(xué)生花費(fèi)那么多的時(shí)間進(jìn)行分層建構(gòu)嗎？筆者認(rèn)為從以下幾方面可以回答這樣的困惑：（1）分層建構(gòu)有利于更好地掌握知識(shí)與技能。對(duì)于需要深入理解的內(nèi)容，組織分層建構(gòu)優(yōu)勢(shì)有三：其一，分層建構(gòu)知識(shí)時(shí)，以基本概念和原理為支撐，對(duì)重點(diǎn)進(jìn)行聚焦，體系簡(jiǎn)約，邏輯性強(qiáng)，使數(shù)學(xué)知識(shí)容易被學(xué)生領(lǐng)會(huì)；其二，分層建構(gòu)后的知識(shí)是記憶的支柱，可以抗拒遺忘；其三，便于聯(lián)想，具有遷移和被運(yùn)用的活力。（2）分層建構(gòu)有利于培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探究能力。分層建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)采用分步設(shè)置障礙的方法，讓學(xué)生面對(duì)知識(shí)向縱深推進(jìn)的形成和發(fā)展過(guò)程中適度的困難，使思維得到鍛煉，可以提高學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的興趣和能力。（3）分層建構(gòu)有利于學(xué)生形成良好的情感態(tài)度。分層建構(gòu)設(shè)計(jì)讓學(xué)習(xí)材料動(dòng)態(tài)展現(xiàn)，讓學(xué)習(xí)過(guò)程注重發(fā)現(xiàn)，引發(fā)碰撞生成，從而能喚起學(xué)生積極的探究精神，引導(dǎo)他們逐步依靠自己的力量來(lái)發(fā)現(xiàn)知識(shí)、解決問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成獨(dú)立地、創(chuàng)造性地、友善地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的態(tài)度與性格，形成鍥而不舍的意志與人格。

當(dāng)然，我們并不能對(duì)分層建構(gòu)的價(jià)值做過(guò)多的強(qiáng)調(diào)，它僅僅是實(shí)現(xiàn)理解的方式之一。筆者也并不認(rèn)為所有的教學(xué)內(nèi)容在任何時(shí)候都需要分層建構(gòu)，有些內(nèi)容的學(xué)習(xí)組織分層建構(gòu)既不現(xiàn)實(shí)，也不值得。本文的出發(fā)點(diǎn)是，如果教師希望學(xué)生更深刻理解具備“持久價(jià)值、學(xué)科中心、易混易錯(cuò)”等特性的內(nèi)容，那該如何組織有層次推進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)？

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)趯?shí)踐研究中得出：應(yīng)把“完善教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，構(gòu)建知識(shí)的程序結(jié)構(gòu)，優(yōu)化教學(xué)的形態(tài)結(jié)構(gòu)”作為分層推進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的生命線(xiàn)。構(gòu)建的順序是：教材（學(xué)）內(nèi)容的個(gè)性化理解——教學(xué)（材）程序調(diào)整改造——課堂形態(tài)的預(yù)設(shè)，這是一個(gè)由外到內(nèi)再由內(nèi)到外的過(guò)程。在教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，要注重應(yīng)用以下策略：

一、教學(xué)內(nèi)容的核心式設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)分層推進(jìn)的教學(xué)結(jié)構(gòu)首先應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)，從教學(xué)內(nèi)容上開(kāi)發(fā)，要“克服以往那種在教學(xué)中零散片段的內(nèi)容和活動(dòng)，聚焦于基本概念和基本結(jié)構(gòu)，以少勝多，鼓勵(lì)學(xué)生在重要的概念上花更多的時(shí)間深入透徹地理解”。這就要求教師要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體把握，即對(duì)知識(shí)背后的內(nèi)在脈絡(luò)有清晰的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的重要數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)有切實(shí)的體會(huì)，區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí)，能析出教材中的重點(diǎn)，突出重點(diǎn)中的精華，進(jìn)行核心聚焦式設(shè)計(jì)。

例如，蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《找規(guī)律》一課，教材采用了兩個(gè)一組的節(jié)日盆花情境作為首個(gè)例題呈現(xiàn)，讓學(xué)生用畫(huà)圖法、觀(guān)察奇偶數(shù)法和除法解決，體現(xiàn)算法的多樣化，然后推廣到三個(gè)一組、四個(gè)一組的周期現(xiàn)象。這樣安排雖然遵循了由易到難的原則，但是兩個(gè)一組的周期規(guī)律內(nèi)部構(gòu)造實(shí)在簡(jiǎn)單，學(xué)生解答時(shí)往往采用觀(guān)察奇偶法，輕而易舉就得到了結(jié)果，注意心向根本不會(huì)聚焦到“組”與“序”層面上來(lái)。為了使目標(biāo)不發(fā)生偏離，筆者對(duì)教材進(jìn)行整編，從三個(gè)一組的簡(jiǎn)單幾何圖形入手，淡化形式，凸現(xiàn)主干，從猜不出到輕松猜出，讓學(xué)生在經(jīng)歷從無(wú)序到有序的過(guò)程中感知簡(jiǎn)單周期規(guī)律的“組”與“序”，然后推廣到四個(gè)、五個(gè)一組的周期現(xiàn)象。以幾何圖形為情境，串珠成鏈，簡(jiǎn)約流暢，縮小了問(wèn)題情境與知識(shí)本質(zhì)之間的縫隙。

二、運(yùn)行結(jié)構(gòu)的序列化設(shè)計(jì)

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是從課堂中知識(shí)的運(yùn)行結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來(lái)的，課堂教學(xué)運(yùn)行的結(jié)構(gòu)是由教材內(nèi)容的邏輯順序（主要是知識(shí)邏輯）與學(xué)生的心理順序相互作用決定的，教學(xué)時(shí)應(yīng)思考如何將知識(shí)點(diǎn)按合理的序列進(jìn)行安排。

1.由“粗”到“精”，逐步完善。

所謂由粗到精，其實(shí)是由上位概念發(fā)展成下位概念的過(guò)程。即根據(jù)相關(guān)的先驗(yàn)知識(shí)確定知識(shí)的大致范圍，進(jìn)而通過(guò)匹配得到比較完善的知識(shí)。這一序列用數(shù)學(xué)的邏輯鏈來(lái)支持教師的教與學(xué)生的學(xué)，從而使學(xué)生在真實(shí)經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)創(chuàng)生與發(fā)展的過(guò)程中，充分感受和體悟前人發(fā)現(xiàn)的方法與思維策略。這樣不僅能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還能讓其知道數(shù)學(xué)知識(shí)的“根基”，實(shí)現(xiàn)從“獲得答案”過(guò)渡到“對(duì)理解和意義的追求”。

如《角的度量》一課，傳統(tǒng)的教學(xué)一般是按照認(rèn)識(shí)量角器——揭示量角方法——進(jìn)行量角練習(xí)的順序安排的。一節(jié)課下來(lái)，有學(xué)生還不知道怎么擺放量角器，即使能正確擺放又常常會(huì)把內(nèi)圈和外圈刻度相互混淆。為此，在教學(xué)中我們一反常規(guī)套路，讓學(xué)生回到知識(shí)的原點(diǎn)，把學(xué)生的角色從“量角器的使用者”轉(zhuǎn)換為“量角器的制作者”。通過(guò)5個(gè)層級(jí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)量角器進(jìn)行再創(chuàng)造：①由角的大小的意義引出可以用單位角來(lái)度量角的大小；②由單位小角的使用不便引出要把單位小角合并為半圓工具；③由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位小角分得更細(xì)些；④由細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便引出加一圈刻度；⑤由使用的不便最終引出兩圈刻度。學(xué)生在追蹤量角器設(shè)計(jì)者的思考軌跡中，由“粗”到“精”，不斷重組新的常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，在探索和創(chuàng)造中完成了對(duì)量角工具制作，把握了量角器的原理，較好地掌握了量角的方法。

2.由“點(diǎn)”到“面”，逐步類(lèi)化。

許多重要的概念知識(shí)往往不能一步到位，我們慣有的做法是從總概念中分解出一個(gè)個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)，從某個(gè)點(diǎn)切入，進(jìn)行逐個(gè)突破，最終實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)狀生成到整體生成的轉(zhuǎn)變。由點(diǎn)到面的分層嵌套式序列，讓學(xué)生在解決認(rèn)知上一次又一次的矛盾沖突的同時(shí)，自主建構(gòu)，反思升華，不斷精煉思維。《三角形的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)，為了讓學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)由散點(diǎn)狀向嚴(yán)密型的發(fā)展和提升，我們沒(méi)有采用“任意搭配”和“二配一”的方式，而是根據(jù)教材編寫(xiě)的序、學(xué)生認(rèn)知的序，確定“一配二”的教學(xué)序列。我們給3條邊涂上3種不同的顏色，配上相應(yīng)的數(shù)據(jù)，數(shù)形結(jié)合，便于學(xué)生思考和表述。三角形三邊關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì)成環(huán)環(huán)相扣的5個(gè)層次展開(kāi)：①紅、黃兩邊長(zhǎng)度的和大于藍(lán)邊；②紅、藍(lán)兩邊的長(zhǎng)度和大于黃邊；③黃、藍(lán)兩邊的長(zhǎng)度和大于紅邊；④三角形中任意兩條邊的長(zhǎng)度和大于第三邊；⑤兩條短邊的長(zhǎng)度和大于長(zhǎng)邊。在由點(diǎn)到面的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷向縱深推進(jìn)。

3.由“表”及“里”，逐步深入。

數(shù)學(xué)知識(shí)是顯性的，而數(shù)學(xué)思想方法卻是隱性的，它潛藏在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，教師必須吃透教材，由表及里，帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想方法。四年級(jí)（上冊(cè)）《找規(guī)律》一課所涉及的一一間隔規(guī)律本質(zhì)上體現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)的思想。教學(xué)中我們按下述序列展開(kāi)：①直接觀(guān)察：在兩組物體的求同中初步感知一一間隔現(xiàn)象；②學(xué)具操作：用一個(gè)對(duì)著一個(gè)的方法來(lái)尋找規(guī)律；③符號(hào)操作：借助一一對(duì)應(yīng)畫(huà)弧線(xiàn)的方法研究?jī)煞N物體個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；④言語(yǔ)表征：根據(jù)首尾物體的異同，確定兩個(gè)物體的個(gè)數(shù)關(guān)系。由表及里、層層深入的教學(xué)，讓課堂呈現(xiàn)高效。

除了上述幾種教學(xué)序列外，還有由“次”到“主”、由“簡(jiǎn)”到“繁”、由“誤”到“正”等序列，各種序列往往重疊交叉，有時(shí)在一個(gè)課例中同時(shí)涉及幾種類(lèi)型。在安排教學(xué)序列時(shí)要防止梯度太大或太小，導(dǎo)致學(xué)生思維的惰性化，我們所應(yīng)注目的是，探明各個(gè)層級(jí)知識(shí)內(nèi)容的最佳結(jié)構(gòu)以及這些結(jié)構(gòu)之間呈現(xiàn)合適梯度的最佳序列。

三、教學(xué)形態(tài)的悟感式設(shè)計(jì)

教學(xué)形態(tài)是根據(jù)“活動(dòng)本質(zhì)觀(guān)”而設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)形式。不難得出，教學(xué)的內(nèi)容、程序、形態(tài)是渾然一體的。悟感式設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是讓知識(shí)的學(xué)習(xí)在體驗(yàn)感悟中進(jìn)行，并與學(xué)生的個(gè)體精神世界達(dá)成一種相互開(kāi)放的對(duì)話(huà)關(guān)系。教學(xué)形態(tài)的悟感式設(shè)計(jì)對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，確立學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位有很大的作用。

1.層層設(shè)疑。

組織分層建構(gòu)可從完善已有知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過(guò)層層設(shè)疑，讓學(xué)生不斷遭遇一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生形成知識(shí)缺口或空位。面對(duì)情境學(xué)生會(huì)產(chǎn)生一種類(lèi)似本能的反應(yīng)，不由自主地“跳”出填補(bǔ)空位的內(nèi)在需要，形成有意義的學(xué)習(xí)心向。六年級(jí)上冊(cè)《確定位置》一課，描述一個(gè)物體所在的位置涉及3個(gè)要素：觀(guān)測(cè)中心點(diǎn)、方向（角度）和距離。具體分解落實(shí)為環(huán)環(huán)緊扣的3個(gè)層次制造矛盾沖突：①無(wú)法用正北方向來(lái)描述怎么辦？——引出北偏東（西），南偏東（西）4個(gè)方向；②兩個(gè)點(diǎn)都在北偏東20千米處，位置不同如何精確區(qū)分？——引出看其偏過(guò)的角度；③同一個(gè)位置，方向和角度的描述卻不相同，這是什么原因？——引出中心點(diǎn)在確定位置中的重要性。學(xué)生在“同化”和“順應(yīng)”作用下，通過(guò)外部新知的刺激及其與前知的認(rèn)知沖突，進(jìn)而完成了自主建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。

2.比較對(duì)照。

比較、對(duì)照是發(fā)展數(shù)學(xué)理解不可或缺的步驟。在新概念形成、新知識(shí)學(xué)習(xí)后，將相近、相似、易混、易錯(cuò)和一些形式上相似、實(shí)質(zhì)不同、容易混淆的內(nèi)容進(jìn)行比較，讓學(xué)生在比較中鑒別隱含在不同問(wèn)題背后的實(shí)質(zhì)性數(shù)學(xué)內(nèi)涵。這樣做，一方面可以評(píng)判學(xué)生是否對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)達(dá)到了較為深刻的理解，同時(shí)也可以在問(wèn)題解決的過(guò)程中深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了螞蟻和蝸牛在“運(yùn)動(dòng)場(chǎng)”（葉片）上跑步的情境。借助媒體操作演示兩只昆蟲(chóng)沿著邊線(xiàn)跑步，一只從起點(diǎn)出發(fā)，跑了一圈又回到了起點(diǎn)，另一只沒(méi)有回到起點(diǎn)。教師讓學(xué)生比較兩只昆蟲(chóng)走法的異同。在求同中強(qiáng)調(diào)了“邊線(xiàn)”，在求異中突出了“一周”的概念，通過(guò)辨析比較，強(qiáng)化了對(duì)周長(zhǎng)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

3.邊學(xué)邊練。

學(xué)生的外部行為（包括語(yǔ)言）活動(dòng)可以?xún)?nèi)化為內(nèi)部的心理活動(dòng)，兩者不僅具有發(fā)生學(xué)上的同源關(guān)系，而且相對(duì)同構(gòu)、同步發(fā)展。換句話(huà)說(shuō)，我們必須重視學(xué)習(xí)者的親身感受、動(dòng)手操作和動(dòng)口交流等行為在教學(xué)過(guò)程中的作用。學(xué)習(xí)是獲得知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“學(xué)”與進(jìn)行行為實(shí)踐的“習(xí)”相結(jié)合的活動(dòng)范疇。邊學(xué)邊練，及時(shí)獲得教學(xué)效果的信息，隨時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)進(jìn)程，可以促成行為結(jié)構(gòu)與心理結(jié)構(gòu)迅速互化，是組織分層建構(gòu)的重要一環(huán)。

不可否認(rèn)，對(duì)于分層建構(gòu)式教學(xué)還有許多問(wèn)題有待我們研究，如究竟怎樣的結(jié)構(gòu)才算最佳結(jié)構(gòu)，給學(xué)生預(yù)留的探究空間的大小怎么把握，如何平衡“學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)”與“接受學(xué)習(xí)”的關(guān)系，在關(guān)注分層建構(gòu)層次性和遞進(jìn)性的同時(shí)，如何兼顧不同的維度，等等。

（作者單位：江蘇省江陰市教育局教研室，江陰市花園實(shí)驗(yàn)小學(xué)）