協同思維與數學教學

摘 要：在數學教學中，我們不能再片面強調某一種思維的單項訓練，而忽視各種思維有機結合的整體功能。這也就是說，通過教學，使學生既善于整理思維又善于發現思維，既善于形象思維又善于抽象思維，并讓這些思維彼此聯合和協同作用，促使學生的大腦兩半球得到充分、全面與和諧的發展，成為思維協同的現代人。

關鍵詞：協同 思維 數學 教學

1971年德國科學家哈肯提出了統一的系統協同學思想，認為自然界和人類社會的各種事物普遍存在有序、無序的現象，在一定的條件下，有序和無序之間會相互轉化，無序就是混沌，有序就是協同，這是一個普遍規律。什么是協同思維？ 考慮事物的相生或相輔相成，或相得益彰，或交互作用，或協同并存，這是事物協同，這樣的思維就稱為協同思維。協同思維和思維協同是同一思維的兩面，人們培養和提高了協同思維能力，就能思維協同。數學教學中的思維研究越來越受到人們的重視，這是國際數學教育的發展趨勢。在教學中，根據學生的學情，對數學思維的各個要素的本質及其聯系進行研究，強調各種思維的協調和同步作用，加強協同思維的訓練，其意義是不可低估的。

一、整理性思維和發現性思維相互作用的理論是協同思維的產物

在中學數學的教學中，大量地需要整理性思維，同時也需要發現性思維，在許多情況下，兩者是互相滲透、互為作用的。整理性思維以演繹論證為主，發現性思維以直覺、猜想、歸納、類比為主，數學教育不能光強調單項訓練，或偏重于某一方面，更重要的是它們的有機結合和協同互補。對此，很多數學家和數學教育家都有過論述。斯托利亞爾指出：“如果我們想在數學教學中在某種程度上反映出數學的創造過程，就必須不僅教學生證明，而且教學生猜測。”波利亞也十分強調在數學教學中必須既教證明又教猜想，既教論證推理又教合情推理，他在《數學與猜想》一書的序言中指出：“論證推理和合情推理在我看來它們互相之間并不矛盾，相反地，它們是互相補充的。”徐利治教授提出的在數學教學改革中貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則也體現了這種思想。下面就以此為例作些詳細的說明。

事實上，我們在數學教學過程中，以至在思維發展過程中，總是既用歸納又用演繹，盡管兩者有各自不同的特點，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷，要靠歸納推理提供出來；為了提高歸納推理的可靠性，無論以一般原理作指導或者對歸納推理的前提進行分析，都要用演繹推理。歸納與演繹在思維運行過程中的這種辯證統一正體現了兩者之間是協同互補的。以演繹推理中的三段論為例（中學數學教材中出現的多是第一格的結構），可以得到證明。

M—P（大前提：集合M的所有元素具有或不具有性質P），

S—M（小前提：集合S？奐M），

S—P （結論：集合S的所有元素具有或不具有性質P）。

例 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖形，

正弦函數y=sinx（x？綴R）是奇函數，

正弦曲線關于原點成中心對稱圖形。

這個演繹推理的大前提“奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖形”可由歸納推理提供，在這個歸納推理中，每一個前提可由演繹推理來論證。

“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯系著的，不應當犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個都用到該用的地方，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯系、它們的相互補充。”（《馬克思恩格斯選集》第三卷P548）正確地認識和處理好歸納和演繹的關系，在教學中貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則體現了思維的協同性。

我們再從在校青少年歸納推理和演繹推理發展的相關來看（根據朱智賢、林崇德的研究，相關系數r=0.56359），中學生掌握這兩種推理的水平雖有差異，但其發展趨勢是一致的。所以貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則也符合青少年思維發展的規律。

根據前面的論述，對于整理性思維與發現性思維交互為用的更一般的思想，我們就有了更清楚的認識。

二、在數學教學中貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統一的原則展現了思維的協同性

中學生的辯證邏輯思維的發展是與他們的形式邏輯思維的發展相輔相成的，這兩種思維是一個人抽象思維整體的兩個不可分割的部分，是互相促進、協同互補的，在發展學生形式邏輯思維的同時發展他們的辯證邏輯思維，可以使青少年的思維發展更加完整、更具有整體性，所以我認為新課標中的“邏輯思維能力”必須理解為包括形式邏輯思維與辯證邏輯思維在內的兩種思維能力。

在以往的教學中，對于加強形式邏輯思維方面的訓練我們已經有了充分的認識，有關數學教育的刊物及著作也論述得比較多，這顯然是必要的，而且應當是主要的。但是對于數學思維所具有的辯證法特征卻研究甚少，基本上是用靜止和孤立的觀點學習和研究數學問題，直就是直，曲就是曲，有限和無限除了對立就不存在相互轉化的那種聯系了。事實上，在中學數學中充滿了辯證法，如概念和關系的變動性、兩重性、矛盾性、同一性、相互聯系和相互制約性，“數” 和“形”的對立統一，代數、幾何、三角各學科之間的聯系和轉化，有理數運算中的性質符號和運算符號既是不同的又是可以統一的，在二元二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 （*）

的討論中，一個方程就包羅了點、相交線、平行線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等各種方程，它們不過是方程（*）中各個系數取某些數值時的一種特殊狀態而已，均統一在一個方程中；數學方法中的歸納與演繹、分析與綜合、特殊與一般等，總之，從數學內容到數學方法到處充滿了辯證法思想。

由于在中學數學中大量存在著相對穩定的狀態，所以我們能用形式邏輯思維的方法進行分析和研究。但也存在著顯著的變動狀態（如前所述），故我們能用辯證邏輯思維的方法認識數學中概念和關系的變動性。例如，按照形式邏輯思維規律，對于每一個數學概念的認識要前后一致（同一律）而且不容許存在不相容的認識（矛盾律，如果存在兩個互相排斥的認識，那么其中必有一真一假（排中律），概念教學必須遵循上述邏輯規則進行，但同時也應指出，用運動的和聯系的辯證觀點來思考，數學概念也是隨著學生學習的數學知識結構的發展而發展的。許多對立的概念可以統一起來（比如實數和虛數同處于復數中，—元二次方程和一元二次不等式同處于二次函數中等）；一個概念在不同的場合或者不同的條件下可能有不同的認識（比如冪的概念，最初學習的是正整數指數冪，被理解為幾個相同因素相乘的結果，以后發展到零指數冪——兩個不等于零的相同的數相除所得的商等于1；正分數指數冪——正實數的若干次方根；負數指數冪——正數指數冪的倒數）；很多概念也反映了事物的運動是相互聯系相互影響的這一規律（如函數概念中的x和f（x），x的值對應著一個或幾個f（x）的值，x變f（x）就變，f（x）的變化依賴于x的變化而變此）。顯然，這些思維方式已經不是孤立地、靜止地看待各個數學概念了，這是辯證邏輯思維在中學數學中的生動體現，與形式邏輯思維相比更高一級。因此，在中學數學教學中，必須既重視形式邏輯思維的訓練又重視辯證邏輯思維的訓練，讓兩種思維在學生的數學學習中協同作用、相互補充，從而發展學生完整的數學思維能力。

三、 重視形象思維和抽象思維的結合是思維協同的表現

我們把人的思維分為三種，即形象思維、抽象思維和靈感思維，并且認為，每一個人的思維活動，往往是兩種甚至三種先后交錯在一起作用。事實上，腦科學的研究成果也表明，人的大腦左右兩半球，既分工又協同活動，雖然左半球的功能主要在于抽象思維，右半球的功能主要在于形象思維，但任何一個思維產物都是左右腦密切配合協同活動的結果，每一個人的思維過程明顯地存在著邏輯思維與非邏輯思維的互補運動。長期以來，人們總是認為左半球是大腦中占支配、統治地位的優勢半球，而右半球則被認為是缺乏高級認識功能、處于從屬地位的劣勢半球，沒有認識到大腦左右兩半球的和諧發展和協同活動是思維發展的物質基礎，加上數學本身的抽象性、嚴謹性，因而在學校的數學教學中“重左輕右”的現象就比較普遍，即只重視抽象邏輯思維（尤其是形式邏輯思維）的訓練，而忽視數學教學中的形象思維的研究。例如，研究位置關系時，忽視其數量關系，記憶各種數量關系的結論時，不會求助于“形” ，離開圖像死記硬背各種函數的性質。實際上這是數學教學中的思維非協同現象，說嚴重一點是忽視了半個大腦的作用，因此，我認為數學思維研究不僅要深入探討抽象思維中的問題，更迫切地是要在形象思維方面打開缺口，開創新路子。同時我更主張，把形象思維和兩種抽象思維有機地結合起來，使學生的數學思維能力和諧發展、協同并進。為此，我提三點教學建議：

1.在數和形的對立或差異中看到和諧與統一。在數學教材中，從數和形兩個方面描述概念或課題的例子很多，如實數的順序性和數軸上點的位置，復數a+bi及各種運算與復平面上的向量的相應變化，各種函數與它們的圖像，解析幾何中各類方程與其所對應的各類曲線，等等。在教學中由數思形、由形想數，不失時機地抓住兩者的相互結合和轉化，沖破數和形之間那種固有的差異，更多地強調二者的和諧統一。

2.在形象思維和抽象思維達到某種臨界質量時，促使“自行突變”適時、有效地發生。所謂“自行突變”是指靈感發生時的那種非邏輯質變狀態，它標志著靈感的蘊育成熟，剎那間就要光臨。這種“自行突變”的發生就是靈感（頓悟）思維的結果，也可以認為是形象思維和抽象思維融為一體、協同作用的產物。盡管靈感是一個沒有解開的謎，但它的存在是可信無疑的了，從大量的有關資料表明，無論是社會科學家，還是自然科學家，他們在創造過程中的許多新思想、新觀念的涌現，新思路的產生，新形象的形成，都與靈感密切相關，如阿基米德的頓悟，笛卡兒建立坐標系的靈感都是很好的例證。如何促使“自行突變”的盡快發生和靈感的及早到來呢？有效的辦法就是創設問題情境，運用顯意識去調動潛意識，使形象思維和抽象思維協同作用于研究對象，以達到一觸即發的境界。

3.在數學美的感受與鑒賞中，發展直覺洞察力。青少年的思維發展，雖然以抽象思維占優勢地位，但情感和形象材料的支持仍然起著很重要的作用，而美的特點就在于情感的形象，在于情景交融的形象，又由于數學中的美確是大量存在的，所以在數學中進行數學審美教育，讓學生感受美、鑒賞美，既是數學教育任務的充實，又易為中學生所接受。特別是，教學實踐已經證明，每當認識主體的這種美感鑒賞力發揮作用時，也常常是思維力、想象力活躍的時刻，同時也往往是導致直覺產生的前奏。由此可見，美感鑒賞力和直覺洞察力，數學美感和數學思維是密切相關的。因此，讓學生獲得對數學美的鑒賞力，對于激發學生的對數學的興趣，增長直覺能力，開發右腦功能，發展創造思維都會有深遠的影響，從而使形象思維和抽象思維協同作用和有機結合就不會成為一句空話。◆（作者單位：江西教育期刊社）

□責任編輯：周瑜芽