在實踐活動中感受數學思想方法的魅力

【設計理念】

數學學習的過程其實就是一個不斷解決數學問題的過程。但是學生面對的問題有可能是一個簡單的問題，也有可能是一個復雜的問題，表面積的變化就是一個復雜的問題——引起表面積變化的因素很多。遇到復雜的問題應該怎么辦？我希望通過這節課的學習能給學生帶來有益的啟發。著名數學家波利亞曾經說過：“如果你不能解決所提出的問題，環視一下四周，找一個適宜的有關問題，輔助問題可能提供方法論的幫助。它可能提示解的方法、解的輪廓，或是提示我們應從哪一個方向著手工作。”在這節實踐活動中，學生開場即遇到一個困難的題目，通過自主互助，相互啟發，感受到這樣的復雜問題可以合理轉化為一個簡單的問題，由此開始了實踐探究，之后得到了解決問題的規律或者方法，再運用到解決復雜的問題過程中，最后攻克難關，解決難題。這其中滲透了重要的數學思想方法——轉化，也運用到科學研究的方法——不完全歸納，在學習過程中學生接受了一次數學思想的洗禮。如果知識的學習是一個載體，那么方法的習得則為其提供了無窮的動力，可以讓小小的數學之舟航行得更遠。

圍繞著“表面積的變化”這一主題，學生通過三次主題操作（拼正方體——拼長方體——拼火柴盒），找出了影響表面積變化的因素，每次操作活動有明確的指向性，重在解決一個問題。在新課程標準的修訂稿中，將“雙基”變為了“四基”，增加了基本數學思想和基本活動經驗，在本次實踐活動中，特別關注到學生的科學研究方法的指導，讓學生感受到遇到一個復雜問題，循著

這一基本方法來解決問題，讓學生感受到科學研究方法的魅力，積累解決復雜問題的經驗。

【教學目標】

【教學過程與意圖】

一、明確概念，創設困境，激發問題意識

1.出示1個棱長是1的小正方體，思考：表面積和體積分別是多少？

2.出示10個這樣的正方體排成一排，思考：這個長方體和原來的10個小正方體相比，什么沒變？什么變了？

3.思考：如果20個、30個……小正方體排成一排，體積和原來相比是否改變？表面積是否改變？

4.揭示課題：表面積的變化。

【數學問題解決具有明確的目標指向性，目標是問題解決者主觀經驗的知覺，它既是問題解決的出發點，也是問題解決的歸宿。在本次實踐活動中，目標是研究表面積的變化，但是在學生初次接觸正方體拼搭問題時，同樣也會關注到體積的問題。上課伊始，就將表面積和體積同時提出，并明確研究的問題——表面積的變化，有利于學生開展有目標的學習活動，避免其他因素的干擾。】

二、化繁為簡，找出規律，化解疑難問題

1.確定方法：研究10個小正方體拼成一排，表面積的變化情況，這個問題感覺怎么樣？遇到這么復雜的問題怎么辦呢？

小結：可以先研究幾個小正方體排成一排的情況，之后找出其中的規律，然后用這個規律解決復雜的問題。

2.思考：減少的面積和什么有關呢？

3.出示合作學習要求：

（1）先將2個、3個、4個小正方體排成一排。

（2）觀察表面積的減少情況，并把觀察到的情況記錄在表格中。

（3）仔細觀察，把找到的規律寫下來。

4.展示學生的發現。

發現規律：n個小正方體排成一排，減少（n-1）×2個面。

引導：

（1）減少的面在哪里？

（2）怎么知道重合處有多少個呢？

（3）重合處的個數和正方體的個數有什么關系？

（4）“×2”是什么意思？

（5）誰來舉個不同的例子，驗證一下？

5.思考：回到先前這個復雜的問題，10個小正方體排成一排，表面積怎么變化？20個呢？

6.小結：要想知道減少的面數，只要知道重合處有幾個，之后用重合處的個數×2就可以了。

7.判斷：現在同樣的6個小正方體拼成兩種長方體，表面積相同嗎？哪個表面積大？為什么？

8.小結：同學們真是非常聰明，一起解決了這么多復雜的問題。那你以后遇到復雜的問題，知道怎么辦了嗎？

【學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”當學生遇到一個復雜的數學問題，由以往的學習經驗他們知道，應當將其轉化為一個簡單的數學問題加以研究，得到規律再解決這個復雜的問題。教師充分發揮了學生的主體能動性，讓學生主動研究，精心設計，并對得到的結果進行驗證，讓學生經歷了完整、科學的探究過程。】

三、拓展思路，完善思考，解決不同類型的問題

1.思考：剛才我們重點研究了正方體的拼搭，表面積的變化，那么用長方體來拼搭，表面積怎樣變化呢？請你自己動手擺一擺，看一看，注意，為了簡便起見，拼搭的時候我們都是用相同的面重合。

2.學生展示，課件展示。

3.小結：表面積怎么變化的？減少的面積和什么有關？

4.計算：告訴你長寬高，計算減少的面積。

【著名的數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個。”所以，教學中應當讓學生多方體驗，在變式中思維，更好地掌握事物的本質和規律。當學生了解了正方體拼搭后表面積的變化情況，趁熱打鐵，研究長方體拼搭表面積的變化，可以讓學生更加明確引起表面積變化的因素，完善認識。】

四、聯系生活，合理設計，感受數學對生活的指導意義

1.出示：把10個長方體形狀的火柴盒拼成一個大長方體，并用包裝紙包成一包，怎樣包裝最節省包裝紙？

2.思考：你是怎么理解最節省包裝紙的？怎樣才能做到拼成的長方體表面積最小？

3.出示合作要求：

（1）先獨立思考：怎樣拼才能使拼成的長方體的表面積最小？并在小組內交流。

（2）選取小組中最好的方法拼一拼。

（3）想一想：為什么這種拼法最節約包裝紙？

4.展示學生的不同拼法，說一說為什么這樣的方法拼成的長方體表面積最小。

5.交流：在實際生活中，人們也經常將物體合理拼搭，進行整體包裝，說一說。

6.小結：其實數學知識無處不在，只要我們多觀察、多思考，就能用數學知識解釋和解決生活中的更多問題。

【數學來源于生活，也服務于生活。學生能夠認識到數學存在于現實生活中，并被廣泛應用于現實世界，才能切實體會到數學的應用價值。生活中的問題與數學問題相比，有聯系也有區別，擯棄過于繁瑣的生活特征，凸顯強烈的數學特征，有利于學生去偽存真，解決問題。在教學的最后環節，讓學生把10個長方體形狀的火柴盒拼成一個大長方體，并用包裝紙包成一包，學生利用手中的材料進行拼搭和觀察，找出最節省包裝紙的方法，在這里并沒有讓學生實際動手包裝，而是通過操作和有序的數學思考，利用所學習的知識，找出節約包裝紙的方法，讓生活中的數學問題充滿了數學味兒。】

（作者單位：南京市游府西街小學）