進(jìn)與退:優(yōu)化思維“半成品”的藝術(shù)

教學(xué)中，我們經(jīng)常能夠覺察到學(xué)生在思考問題時，其思維處于一種“半醒半醉”的“混沌”狀態(tài)，此時，學(xué)生因受已有認(rèn)知水平或思維定勢等方面的影響，思考問題通常難以繼續(xù)下去，無法得出最終的結(jié)果，或者雖然得出了結(jié)果，但是結(jié)果的正確性未經(jīng)檢驗(yàn)，得到的答案或結(jié)論暫時還只能算是“半成品”，尚需要進(jìn)一步推敲或延伸。作為教師，我們應(yīng)該充分認(rèn)識這些“半成品”的價值和意義，并通過必要的引導(dǎo)，幫助學(xué)生將其優(yōu)化成“合格品”，甚至可能加工成“精品”。

一、“進(jìn)一步”：跨越思維的“隘口”，優(yōu)化思維“半成品”

受自身認(rèn)知水平和知識經(jīng)驗(yàn)的制約，無論是學(xué)習(xí)新知，還是綜合運(yùn)用知識解決問題，學(xué)生都會隨時面臨一些挑戰(zhàn)。他們常常是已經(jīng)有了初步的思考，甚至已經(jīng)接近最終的答案，只是一時無法跨越思維的“隘口”，思維難以為繼，出現(xiàn)“混沌”的狀態(tài)，沒轍只得被迫中斷。此時，我們應(yīng)該果斷地“前進(jìn)”一步，給學(xué)生必要的引導(dǎo)、指導(dǎo)和幫助，使學(xué)生拾級而上，突破思維的瓶頸，跨過思維的“隘口”。

以蘇教版三年級（上）第13頁第7題的教學(xué)為例。觀察下圖后，筆者讓學(xué)生獨(dú)立分析解答。

交流中，大多數(shù)學(xué)生這樣解決問題：先算出一共有多少人，34+38=72（人）；再算出可以分成幾組，72÷6=12（組）。同時，我也發(fā)現(xiàn)幾個同學(xué)的“半成品”：先算出一班可以分成幾組，34÷6=5（組）……4（人）；再算出二班可以分成幾組，38÷6=6（組）……2（人）。

討論完第一種方法，我呈現(xiàn)出“半成品”的兩道算式。沉默了瞬間，反對意見便出現(xiàn)了。

生1：這是錯的。（附和的學(xué)生很多）

師：你們認(rèn)為錯在哪里？

生1：這個問題要求“一共可以分多少組”，不是求“一班分成多少組”和“二班分成多少組”。

生2：用這個方法不好算出“一共可以分多少組”。（也有人小聲附和）

師：你說得有道理（指著生1）。但是，這種方法真的不能算出“一共可以分多少組”嗎？

學(xué)生又一陣沉默，有了零星但是猶豫的聲音。

生3：應(yīng)該可以把兩個班分的組數(shù)加起來。

師：說下去。

生3：一班分成5組，余4人，就應(yīng)該分成6組；二班分成6組，余2人，就應(yīng)該分成7組。但是6組加7組等于13組，不等于12組。

師：你是個愛動腦筋的孩子，根據(jù)余數(shù)來判斷分組情況是有道理的。看看這兩個余數(shù)，這種方法真的不能算出“一共可以分多少組”嗎？（第二次提出這個問題）同桌討論一下。

短暫的討論以后，有學(xué)生發(fā)表自己的見解。

生4：一班余下4人，不到6人，不該單獨(dú)分成一組；二班余下2人，也不該單獨(dú)分成一組。

生3：一班余下4人，二班余下2人，加起來是6人，可以再分成一組。5+6+1=12（組）。

師：真的等于12組嗎？一班、二班分組以后還有剩余，怎么辦？

生4：把余數(shù)加起來再分。（有學(xué)生附和）

師：了不起。看來，解決問題需要結(jié)合具體情況進(jìn)行分析。

……

分析這則片段，我們可以清晰地看出，采用先將一班、二班分別分組的方法解決問題，學(xué)生遭遇到跨不過去的“坎兒”。這個“坎兒”，就是學(xué)生在學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”時，在大腦中建立起來的通過對余數(shù)的分析來解決實(shí)際問題的思維定勢。根據(jù)先前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只能聯(lián)系生活實(shí)際針對單一余數(shù)的情況進(jìn)行分析，現(xiàn)在面臨需要對兩個余數(shù)進(jìn)行分析的新情況，無法跨越這一思維“隘口”應(yīng)該在情理之中。課后，我了解到的另一個情況也有力地說明了這個問題：不少學(xué)生原先采用兩種方法解決問題，后來有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法得出的結(jié)果不同，有些學(xué)生無法對余數(shù)進(jìn)行分析，于是便放棄了“將一班、二班分別分組”的方法。

可以想象，遭遇思維“隘口”而感到力不能及的學(xué)生是需要得到幫助的，哪怕只是一句指引思維方向的問話，一個調(diào)整思維路徑的手勢，一個尋找思維突破的操作。對此，我們需要引導(dǎo)學(xué)生“借力”，借同伴、借教師的力量成功跨越思維的“隘口”，讓我們的思維與學(xué)生的思維“并軌”，及時觸及學(xué)生思維的“隘口”，適時引導(dǎo)學(xué)生的思維“前進(jìn)”一步，從知識和思維的發(fā)展趨勢中發(fā)現(xiàn)新的思路、新的方法、新的路徑，享受到“柳暗花明又一村”的喜悅。

二、“退一步”：追溯問題的源頭，優(yōu)化思維“半成品”

當(dāng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)十分關(guān)注學(xué)生先前的知識經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生基于已有知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行知識建構(gòu)已得到多數(shù)老師的高度重視。這樣教學(xué)，由于是借助了學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，學(xué)生就會在不經(jīng)意間就從舊知遷移到新知，從而輕而易舉地解決問題。但也容易出現(xiàn)思維的“半成品”，對此，我們應(yīng)該睿智地“退”一步，能夠及時地“撤”下來，教會學(xué)生主動反思、回眸和追溯，尋找知識生長的節(jié)點(diǎn)甚至是知識形成的源頭。

以蘇教版三年級（上）第72頁“三位數(shù)乘一位數(shù)”例題的教學(xué)為例。

師：要求小華家離體育場有多少米，就是求什么？怎樣列式？

生1：就是求4個112米是多少，算式是112×4，還可以是112+112+112+112。

師：有道理。估計(jì)一下，112×4的積大約是幾百？

生：大約是400。

師：你是怎樣估計(jì)的？乘積比400多還是比400少？

生：100×4=400。112大于100，所以112×4比400多。

師：你能計(jì)算出112×4的乘積是多少嗎？

接下來的嘗試練習(xí)中，幾乎所有的學(xué)生都列豎式計(jì)算出正確的結(jié)果448。

師：112×4是等于448嗎？用你學(xué)過的方法證明一下。

不少學(xué)生有些遲疑。

師：（指著算式）112×4是什么意思？可以轉(zhuǎn)化成我們原來學(xué)過的哪個算式？

學(xué)生一下子明白了其中的道理，通過連加計(jì)算證明112×4的乘積的確是448。

師：聯(lián)系連加豎式想一想，112×4怎樣算？說給自己聽一聽。

……

對于例題，我作了一點(diǎn)調(diào)整，將原題中“152米”調(diào)整為“112米”，降低了計(jì)算難度，以便學(xué)生更好地探索、理解和掌握三位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法。事實(shí)也證明，用豎式計(jì)算“4×112”的得數(shù)這個環(huán)節(jié)教學(xué)比較順當(dāng)。這似乎沒有什么可以值得懷疑的地方，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)新知之前，學(xué)生已經(jīng)有了筆算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”、口算“整百數(shù)乘一位數(shù)”的基礎(chǔ)，從布魯納“遷移”學(xué)說的角度看，大多數(shù)學(xué)生根據(jù)先前的經(jīng)驗(yàn)，依葫蘆畫瓢一般計(jì)算出“4×112”的結(jié)果應(yīng)該是在情理之中的。毋庸置疑，此時的學(xué)生已經(jīng)“會算”三位數(shù)乘一位數(shù)，但是他們并不清楚這樣算的理由，也不能完全確定結(jié)果的正確性，他們僅僅是憑借思維的慣性和直覺，將兩位數(shù)乘一位數(shù)的算法遷移到三位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算中來了而已，對按位數(shù)乘一位數(shù)算理的模糊了解是本課的“半成品”。因此，需要我們退一步，回過頭來，聯(lián)系前面的所學(xué)知識，來理解新問題，這樣，學(xué)生對問題形成了比較全面的認(rèn)知，掌握了知識的來龍去脈。

數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：善于退，退到最原始的而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。教學(xué)中，在合適的情況下，教師可以停下腳步，引導(dǎo)學(xué)生“后退”一步乃至幾步去思考問題，從知識的形成過程中去尋找、感受、領(lǐng)悟知識生長的節(jié)點(diǎn)、知識生發(fā)的源頭，學(xué)會透過結(jié)論看到“過去”，進(jìn)而打通新舊知識之間的聯(lián)系，使新知在舊知上得以“固著”和生長，并以此為生長點(diǎn)建立數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系。

（作者單位：南京市中華中學(xué)附屬小學(xué)）