進與退:優化思維“半成品”的藝術

教學中，我們經常能夠覺察到學生在思考問題時，其思維處于一種“半醒半醉”的“混沌”狀態，此時，學生因受已有認知水平或思維定勢等方面的影響，思考問題通常難以繼續下去，無法得出最終的結果，或者雖然得出了結果，但是結果的正確性未經檢驗，得到的答案或結論暫時還只能算是“半成品”，尚需要進一步推敲或延伸。作為教師，我們應該充分認識這些“半成品”的價值和意義，并通過必要的引導，幫助學生將其優化成“合格品”，甚至可能加工成“精品”。

一、“進一步”：跨越思維的“隘口”，優化思維“半成品”

受自身認知水平和知識經驗的制約，無論是學習新知，還是綜合運用知識解決問題，學生都會隨時面臨一些挑戰。他們常常是已經有了初步的思考，甚至已經接近最終的答案，只是一時無法跨越思維的“隘口”，思維難以為繼，出現“混沌”的狀態，沒轍只得被迫中斷。此時，我們應該果斷地“前進”一步，給學生必要的引導、指導和幫助，使學生拾級而上，突破思維的瓶頸，跨過思維的“隘口”。

以蘇教版三年級（上）第13頁第7題的教學為例。觀察下圖后，筆者讓學生獨立分析解答。

交流中，大多數學生這樣解決問題：先算出一共有多少人，34+38=72（人）；再算出可以分成幾組，72÷6=12（組）。同時，我也發現幾個同學的“半成品”：先算出一班可以分成幾組，34÷6=5（組）……4（人）；再算出二班可以分成幾組，38÷6=6（組）……2（人）。

討論完第一種方法，我呈現出“半成品”的兩道算式。沉默了瞬間，反對意見便出現了。

生1：這是錯的。（附和的學生很多）

師：你們認為錯在哪里？

生1：這個問題要求“一共可以分多少組”，不是求“一班分成多少組”和“二班分成多少組”。

生2：用這個方法不好算出“一共可以分多少組”。（也有人小聲附和）

師：你說得有道理（指著生1）。但是，這種方法真的不能算出“一共可以分多少組”嗎？

學生又一陣沉默，有了零星但是猶豫的聲音。

生3：應該可以把兩個班分的組數加起來。

師：說下去。

生3：一班分成5組，余4人，就應該分成6組；二班分成6組，余2人，就應該分成7組。但是6組加7組等于13組，不等于12組。

師：你是個愛動腦筋的孩子，根據余數來判斷分組情況是有道理的。看看這兩個余數，這種方法真的不能算出“一共可以分多少組”嗎？（第二次提出這個問題）同桌討論一下。

短暫的討論以后，有學生發表自己的見解。

生4：一班余下4人，不到6人，不該單獨分成一組；二班余下2人，也不該單獨分成一組。

生3：一班余下4人，二班余下2人，加起來是6人，可以再分成一組。5+6+1=12（組）。

師：真的等于12組嗎？一班、二班分組以后還有剩余，怎么辦？

生4：把余數加起來再分。（有學生附和）

師：了不起?？磥?，解決問題需要結合具體情況進行分析。

……

分析這則片段，我們可以清晰地看出，采用先將一班、二班分別分組的方法解決問題，學生遭遇到跨不過去的“坎兒”。這個“坎兒”，就是學生在學習“有余數的除法”時，在大腦中建立起來的通過對余數的分析來解決實際問題的思維定勢。根據先前的經驗，學生只能聯系生活實際針對單一余數的情況進行分析，現在面臨需要對兩個余數進行分析的新情況，無法跨越這一思維“隘口”應該在情理之中。課后，我了解到的另一個情況也有力地說明了這個問題：不少學生原先采用兩種方法解決問題，后來有些學生發現兩種方法得出的結果不同，有些學生無法對余數進行分析，于是便放棄了“將一班、二班分別分組”的方法。

可以想象，遭遇思維“隘口”而感到力不能及的學生是需要得到幫助的，哪怕只是一句指引思維方向的問話，一個調整思維路徑的手勢，一個尋找思維突破的操作。對此，我們需要引導學生“借力”，借同伴、借教師的力量成功跨越思維的“隘口”，讓我們的思維與學生的思維“并軌”，及時觸及學生思維的“隘口”，適時引導學生的思維“前進”一步，從知識和思維的發展趨勢中發現新的思路、新的方法、新的路徑，享受到“柳暗花明又一村”的喜悅。

二、“退一步”：追溯問題的源頭，優化思維“半成品”

當下，數學教學十分關注學生先前的知識經驗，引導學生基于已有知識經驗進行知識建構已得到多數老師的高度重視。這樣教學，由于是借助了學生的已有知識經驗，從學生思維的“最近發展區”出發，學生就會在不經意間就從舊知遷移到新知，從而輕而易舉地解決問題。但也容易出現思維的“半成品”，對此，我們應該睿智地“退”一步，能夠及時地“撤”下來，教會學生主動反思、回眸和追溯，尋找知識生長的節點甚至是知識形成的源頭。

以蘇教版三年級（上）第72頁“三位數乘一位數”例題的教學為例。

師：要求小華家離體育場有多少米，就是求什么？怎樣列式？

生1：就是求4個112米是多少，算式是112×4，還可以是112+112+112+112。

師：有道理。估計一下，112×4的積大約是幾百？

生：大約是400。

師：你是怎樣估計的？乘積比400多還是比400少？

生：100×4=400。112大于100，所以112×4比400多。

師：你能計算出112×4的乘積是多少嗎？

接下來的嘗試練習中，幾乎所有的學生都列豎式計算出正確的結果448。

師：112×4是等于448嗎？用你學過的方法證明一下。

不少學生有些遲疑。

師：（指著算式）112×4是什么意思？可以轉化成我們原來學過的哪個算式？

學生一下子明白了其中的道理，通過連加計算證明112×4的乘積的確是448。

師：聯系連加豎式想一想，112×4怎樣算？說給自己聽一聽。

……

對于例題，我作了一點調整，將原題中“152米”調整為“112米”，降低了計算難度，以便學生更好地探索、理解和掌握三位數乘一位數的計算方法。事實也證明，用豎式計算“4×112”的得數這個環節教學比較順當。這似乎沒有什么可以值得懷疑的地方，因為在學習新知之前，學生已經有了筆算“兩位數乘兩位數”、口算“整百數乘一位數”的基礎，從布魯納“遷移”學說的角度看，大多數學生根據先前的經驗，依葫蘆畫瓢一般計算出“4×112”的結果應該是在情理之中的。毋庸置疑，此時的學生已經“會算”三位數乘一位數，但是他們并不清楚這樣算的理由，也不能完全確定結果的正確性，他們僅僅是憑借思維的慣性和直覺，將兩位數乘一位數的算法遷移到三位數乘一位數的計算中來了而已，對按位數乘一位數算理的模糊了解是本課的“半成品”。因此，需要我們退一步，回過頭來，聯系前面的所學知識，來理解新問題，這樣，學生對問題形成了比較全面的認知，掌握了知識的來龍去脈。

數學家華羅庚先生曾經說過：善于退，退到最原始的而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。教學中，在合適的情況下，教師可以停下腳步，引導學生“后退”一步乃至幾步去思考問題，從知識的形成過程中去尋找、感受、領悟知識生長的節點、知識生發的源頭，學會透過結論看到“過去”，進而打通新舊知識之間的聯系，使新知在舊知上得以“固著”和生長，并以此為生長點建立數學知識的結構體系。

（作者單位：南京市中華中學附屬小學）