關于數(shù)學變式教學的研究

《變式》（曹才翰，章建躍，載《數(shù)學教育心理學》，北京師范大學出版社，2006年6月第2版）

變式是變更對象的非本質特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些本質的要素。一句話，變式就是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化。讓學生在變式中思維，可以使學生更好地了解哪些是事物的本質屬性，哪些是事物的非本質屬性，從而更好地掌握事物的本質和規(guī)律。

變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些具體對象本身的非本質特征帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體對象，那么與具體對象緊密相聯(lián)的那些非本質特征就消失了，本質特征就顯露出來。數(shù)學概念就是通過對變式進行比較，舍棄非本質特征并抽取出本質特征而建立起來的。

變式可以分為概念性變式和過程性變式兩類。第一類是概念性變式，它可以幫助學生獲得對概念的多角度理解。第二類是過程性變式，主要是在概念學習過程中，通過有層次地推進，使學生積累概念的認知經(jīng)驗，逐步達到對概念本質的理解。

對于概念性變式而言，主要有三種呈現(xiàn)途徑：第一是通過直觀或具體的變式引入概念，為概括概念的本質特征提供基礎；第二是通過非標準變式，突出概念的本質屬性；第三是通過非概念變式，明確概念的外延。概念的內(nèi)涵和外延是對立統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確則外延清晰，外延清晰則內(nèi)涵明確。通過變式，可以使學生更好地認識概念的內(nèi)涵，明確概念的外延。

《數(shù)學教學中變式教學的理論探索》（武巋，載《內(nèi)蒙古電大學刊》2006年第8期）

變式教學的哲學基礎，是辯證唯物主義認為的任何事物都是內(nèi)容和形式的矛盾統(tǒng)一。變式教學，變是形式，以對內(nèi)容有積極的促進作用，這就要求每個教師重視內(nèi)容和形式的統(tǒng)一，從而提高數(shù)學課堂教學效益。

變式教學的心理學依據(jù)有三點：第一是巴班斯基“教學方法最優(yōu)化”理論，認為教學方法必須符合教學規(guī)律和教學原則，符合教學的目的和任務，能與教學內(nèi)容的特征相適應，考慮學生學習的可能性以及教學的現(xiàn)有條件和所規(guī)定的教學時間。第二是維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，認為變式教學應從學生的現(xiàn)有水平與潛在水平的實際差異出發(fā)，首先用不同形式的材料引導學生自己想，自己試，相互磋商，幫助學生達到新的水平，然后根據(jù)新的“最近發(fā)展區(qū)”圍繞本節(jié)教材知識線索中的本質問題，變換同類事物的非本質特征，幫助學生達到更高的潛在水平。第三是奧蘇伯爾的觀點，認為教師在教學中應該以各種變式題型去刺激學生，使他們在成功中得到滿足，產(chǎn)生要學習的動機。

變式教學的教育學依據(jù)，是“教為主導，學為主體”的現(xiàn)代教育理論，強調變式教學可以充分體現(xiàn)學生的主體地位。

《變式在初中數(shù)學教學中的應用研究》（祖惠泊，首都師范大學碩士論文，2004.4.1）

數(shù)學概念教學，要突出概念的本質特征，控制無關特征，幫助學生構造自己理解的概念。而變式可以突出對象的本質屬性與隱蔽的本質要素，對于學生認識事物的本質屬性特征而舍其非本質屬性起重要作用。如果缺少必要的變式，學生會被一些表面的、非本質的屬性所困惑，難以深刻地認識和把握數(shù)學概念。

在概念的引入階段，可從現(xiàn)實原型引入，通過對感性材料無關特征的變式，使學生析取感性材料的本質屬性；也可類比型引入，通過對比變式來認識那些從已知概念發(fā)展而來的新概念。在形成概念的過程中，可利用變式練習、變式圖形、對比變式等活動從不同角度進一步揭示概念的本質屬性。在概念的鞏固、發(fā)展和深化中，可通過變式習題應用概念解決問題去復習，也可在概念的應用中使用變式。數(shù)學概念變式教學的一般程序可以表示為“問題情境——探究新知——形成概念——變式深化——變式訓練——總結升華”六個環(huán)節(jié)。

學生在學習過程中，往往容易形成思維定勢，套用固定的解題模式，造成思維僵化。通過改變題目的條件、改變題目的情境等途徑，有助于激發(fā)學生的興趣，引導學生多角度思考問題，培養(yǎng)靈活轉換和積極探索的能力，提高思維的層次。在例題和習題教學中，常采用一題多解(證)、一題多變、多題一解(一法多用)和一題多用等形式的變式，其程序可以表示為“精選范例——解法變式——方法應用——題目變式——問題解決——總結升華”六個環(huán)節(jié)。

《開展變式教學常用的五種方法》（韓林，載《教育教學論壇》2011.10.5）

除了將原題圖形的位置、形狀、大小等變化，以及語言符號的互譯等常見變式方法外，變式教學通常還采用以下五種方法。

第一是逆向轉化，也就是嘗試將原命題的條件與結論互換，從而轉化為判斷原命題的逆命題是否成立。第二是條件一般化，也就是將原題中特殊條件改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性。第三是條件特殊化，也就是將原題中具有一般性的條件或結論，改為具體對象的條件或結論，使題目具有針對性。第四是背景實際化，也就是在某些條件不變的情況下，改變另一些條件的形式，使問題具有實際意義，從而提高學生的數(shù)學建模及應用能力。第五是結論開放化，也就是將原題的確定性結論改變?yōu)椴淮_定性結論，使問題具有開放性。

《數(shù)學變式教學的探索性研究》（聶必凱，華東師范大學博士論文，2004.5.1）

張奠宙等專家認為，中國數(shù)學教學的特色之一是“變式訓練”。概念性變式教學的課堂實施形式包括基本概念的變式、數(shù)學命題的變式、數(shù)學語義的變式、解題的變式、圖形的變式。教師需要有針對性地進行變式，構建相應的變異空間，促進學生的數(shù)學理解。

第一是基于運動與構造的基本圖形的變式，它揭示了知識的發(fā)生過程以及知識之間的本質聯(lián)系。學生對基本圖形的變形操作過程，是基本圖形的一個動態(tài)變化過程，盡管這個過程不可能像幾何畫板那樣直觀、連續(xù)地展現(xiàn)，但學生對這一過程的心理操作應該是連續(xù)、動態(tài)的。利用適當?shù)倪^程性變式，可以幫助學生體驗新知識是如何從已有的知識逐漸演變和發(fā)展而來的。

第二是導入情境的變式，它有準現(xiàn)實情境、準數(shù)學化情境和數(shù)學化情境三個層次。不同層次的情境，指引不同層次的學生有差異地活動。這就要求教師設置一定的梯度，化解問題解決中的適當難度，使學生的思維得以步步深入。實施情境變式要注意關注情境的層次性、情境的有序性和情境的發(fā)散性。

第三是教學示例的變式，示例的選取與數(shù)量的確定應盡量涵蓋各變異維度的所有取值，而變式示例的難度應在不影響教學重點把握的情況下，選取難度相對較大的示例。同時，只有把握了變式示例的共性與個性，才能更有效地促進知識之間的類比和遷移。

第四是數(shù)學活動的變式，它的變異空間具有操作材料、操作活動與理論應用三個維度。其中，操作活動的地位不亞于邏輯證明，學生在“做”的過程中可以達到對過程知識的獲得。數(shù)學活動變式應注意以下幾點：一是經(jīng)驗材料的變式應該促進學生體驗多種數(shù)學活動；二是操作活動的變式取決于經(jīng)驗材料的變式；三是理論的應用應兼顧橫向與縱向的關聯(lián)性問題，使得課堂教學保持了較大的信息容量。

第五是關于概念和問題的外部表征的變式，它的變式是分階段進行且相互關聯(lián)的。概念表征的變式與相互轉化是促進學生概念理解的有效手段。在問題解決過程中，如果問題表征轉化的次數(shù)越多，則該問題越是不容易解決。在課堂教學中，應探討通過問題外部表征的變式，促進學生個體表征的轉化。

《變式教學現(xiàn)狀的調查研究》（謝景力，載《湖南科技學院學報》2006.11.1）

教師認為，“變式教學”是一種教學手段，或是一種教學思想，或是一種教學模式，很少有教師從多角度來看數(shù)學變式教學。

絕大多數(shù)教師認為數(shù)學教學中的“變式”主要表現(xiàn)為“一題多變”，其次是“一題多解”?？梢娫诙鄶?shù)教師看來，變式練習是變式教學的主要形式。教齡較長的教師更關注“教法和學法的變式”，更看重變式在教學中的作用，更多地認為只要時間允許，反復操練的量越大越好，熟能生巧。多數(shù)教師認為，針對同一水平的數(shù)學問題的反復操練，有助于記憶，又能促進理解。

多數(shù)的教師在教學中總是或經(jīng)常用到“一題多解”“一題多變”“一法多用”“圖形變式”以及“挖掘、變化和引申某一教學內(nèi)容”等方法，教齡較長的教師則用得更多，而使用“一題多解”的教師又是最多的，說明教師最關注解題方法的變式，追求解題方法的多樣性。

多數(shù)情況下，教師對變式的使用并不是無意識的，而是課前有設計的。較多的教師將變式用于“鞏固反思”階段和“探究新課”階段。教齡較短的教師更有可能將變式用于課堂教學的中心環(huán)節(jié)，即“創(chuàng)設情境”和“探究新課”環(huán)節(jié)；而教齡較長的教師更有可能將變式用于課堂教學的外圍，即“復習思考”“鞏固反思”和“小結練習”這三個環(huán)節(jié)。