關于數學變式教學的研究

《變式》（曹才翰，章建躍，載《數學教育心理學》，北京師范大學出版社，2006年6月第2版）

變式是變更對象的非本質特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些本質的要素。一句話，變式就是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化。讓學生在變式中思維，可以使學生更好地了解哪些是事物的本質屬性，哪些是事物的非本質屬性，從而更好地掌握事物的本質和規律。

變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些具體對象本身的非本質特征帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體對象，那么與具體對象緊密相聯的那些非本質特征就消失了，本質特征就顯露出來。數學概念就是通過對變式進行比較，舍棄非本質特征并抽取出本質特征而建立起來的。

變式可以分為概念性變式和過程性變式兩類。第一類是概念性變式，它可以幫助學生獲得對概念的多角度理解。第二類是過程性變式，主要是在概念學習過程中，通過有層次地推進，使學生積累概念的認知經驗，逐步達到對概念本質的理解。

對于概念性變式而言，主要有三種呈現途徑：第一是通過直觀或具體的變式引入概念，為概括概念的本質特征提供基礎；第二是通過非標準變式，突出概念的本質屬性；第三是通過非概念變式，明確概念的外延。概念的內涵和外延是對立統一的，內涵明確則外延清晰，外延清晰則內涵明確。通過變式，可以使學生更好地認識概念的內涵，明確概念的外延。

《數學教學中變式教學的理論探索》（武巋，載《內蒙古電大學刊》2006年第8期）

變式教學的哲學基礎，是辯證唯物主義認為的任何事物都是內容和形式的矛盾統一。變式教學，變是形式，以對內容有積極的促進作用，這就要求每個教師重視內容和形式的統一，從而提高數學課堂教學效益。

變式教學的心理學依據有三點：第一是巴班斯基“教學方法最優化”理論，認為教學方法必須符合教學規律和教學原則，符合教學的目的和任務，能與教學內容的特征相適應，考慮學生學習的可能性以及教學的現有條件和所規定的教學時間。第二是維果茨基的“最近發展區”理論，認為變式教學應從學生的現有水平與潛在水平的實際差異出發，首先用不同形式的材料引導學生自己想，自己試，相互磋商，幫助學生達到新的水平，然后根據新的“最近發展區”圍繞本節教材知識線索中的本質問題，變換同類事物的非本質特征，幫助學生達到更高的潛在水平。第三是奧蘇伯爾的觀點，認為教師在教學中應該以各種變式題型去刺激學生，使他們在成功中得到滿足，產生要學習的動機。

變式教學的教育學依據，是“教為主導，學為主體”的現代教育理論，強調變式教學可以充分體現學生的主體地位。

《變式在初中數學教學中的應用研究》（祖惠泊，首都師范大學碩士論文，2004.4.1）

數學概念教學，要突出概念的本質特征，控制無關特征，幫助學生構造自己理解的概念。而變式可以突出對象的本質屬性與隱蔽的本質要素，對于學生認識事物的本質屬性特征而舍其非本質屬性起重要作用。如果缺少必要的變式，學生會被一些表面的、非本質的屬性所困惑，難以深刻地認識和把握數學概念。

在概念的引入階段，可從現實原型引入，通過對感性材料無關特征的變式，使學生析取感性材料的本質屬性；也可類比型引入，通過對比變式來認識那些從已知概念發展而來的新概念。在形成概念的過程中，可利用變式練習、變式圖形、對比變式等活動從不同角度進一步揭示概念的本質屬性。在概念的鞏固、發展和深化中，可通過變式習題應用概念解決問題去復習，也可在概念的應用中使用變式。數學概念變式教學的一般程序可以表示為“問題情境——探究新知——形成概念——變式深化——變式訓練——總結升華”六個環節。

學生在學習過程中，往往容易形成思維定勢，套用固定的解題模式，造成思維僵化。通過改變題目的條件、改變題目的情境等途徑，有助于激發學生的興趣，引導學生多角度思考問題，培養靈活轉換和積極探索的能力，提高思維的層次。在例題和習題教學中，常采用一題多解(證)、一題多變、多題一解(一法多用)和一題多用等形式的變式，其程序可以表示為“精選范例——解法變式——方法應用——題目變式——問題解決——總結升華”六個環節。

《開展變式教學常用的五種方法》（韓林，載《教育教學論壇》2011.10.5）

除了將原題圖形的位置、形狀、大小等變化，以及語言符號的互譯等常見變式方法外，變式教學通常還采用以下五種方法。

第一是逆向轉化，也就是嘗試將原命題的條件與結論互換，從而轉化為判斷原命題的逆命題是否成立。第二是條件一般化，也就是將原題中特殊條件改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性。第三是條件特殊化，也就是將原題中具有一般性的條件或結論，改為具體對象的條件或結論，使題目具有針對性。第四是背景實際化，也就是在某些條件不變的情況下，改變另一些條件的形式，使問題具有實際意義，從而提高學生的數學建模及應用能力。第五是結論開放化，也就是將原題的確定性結論改變為不確定性結論，使問題具有開放性。

《數學變式教學的探索性研究》（聶必凱，華東師范大學博士論文，2004.5.1）

張奠宙等專家認為，中國數學教學的特色之一是“變式訓練”。概念性變式教學的課堂實施形式包括基本概念的變式、數學命題的變式、數學語義的變式、解題的變式、圖形的變式。教師需要有針對性地進行變式，構建相應的變異空間，促進學生的數學理解。

第一是基于運動與構造的基本圖形的變式，它揭示了知識的發生過程以及知識之間的本質聯系。學生對基本圖形的變形操作過程，是基本圖形的一個動態變化過程，盡管這個過程不可能像幾何畫板那樣直觀、連續地展現，但學生對這一過程的心理操作應該是連續、動態的。利用適當的過程性變式，可以幫助學生體驗新知識是如何從已有的知識逐漸演變和發展而來的。

第二是導入情境的變式，它有準現實情境、準數學化情境和數學化情境三個層次。不同層次的情境，指引不同層次的學生有差異地活動。這就要求教師設置一定的梯度，化解問題解決中的適當難度，使學生的思維得以步步深入。實施情境變式要注意關注情境的層次性、情境的有序性和情境的發散性。

第三是教學示例的變式，示例的選取與數量的確定應盡量涵蓋各變異維度的所有取值，而變式示例的難度應在不影響教學重點把握的情況下，選取難度相對較大的示例。同時，只有把握了變式示例的共性與個性，才能更有效地促進知識之間的類比和遷移。

第四是數學活動的變式，它的變異空間具有操作材料、操作活動與理論應用三個維度。其中，操作活動的地位不亞于邏輯證明，學生在“做”的過程中可以達到對過程知識的獲得。數學活動變式應注意以下幾點：一是經驗材料的變式應該促進學生體驗多種數學活動；二是操作活動的變式取決于經驗材料的變式；三是理論的應用應兼顧橫向與縱向的關聯性問題，使得課堂教學保持了較大的信息容量。

第五是關于概念和問題的外部表征的變式，它的變式是分階段進行且相互關聯的。概念表征的變式與相互轉化是促進學生概念理解的有效手段。在問題解決過程中，如果問題表征轉化的次數越多，則該問題越是不容易解決。在課堂教學中，應探討通過問題外部表征的變式，促進學生個體表征的轉化。

《變式教學現狀的調查研究》（謝景力，載《湖南科技學院學報》2006.11.1）

教師認為，“變式教學”是一種教學手段，或是一種教學思想，或是一種教學模式，很少有教師從多角度來看數學變式教學。

絕大多數教師認為數學教學中的“變式”主要表現為“一題多變”，其次是“一題多解”。可見在多數教師看來，變式練習是變式教學的主要形式。教齡較長的教師更關注“教法和學法的變式”，更看重變式在教學中的作用，更多地認為只要時間允許，反復操練的量越大越好，熟能生巧。多數教師認為，針對同一水平的數學問題的反復操練，有助于記憶，又能促進理解。

多數的教師在教學中總是或經常用到“一題多解”“一題多變”“一法多用”“圖形變式”以及“挖掘、變化和引申某一教學內容”等方法，教齡較長的教師則用得更多，而使用“一題多解”的教師又是最多的，說明教師最關注解題方法的變式，追求解題方法的多樣性。

多數情況下，教師對變式的使用并不是無意識的，而是課前有設計的。較多的教師將變式用于“鞏固反思”階段和“探究新課”階段。教齡較短的教師更有可能將變式用于課堂教學的中心環節，即“創設情境”和“探究新課”環節；而教齡較長的教師更有可能將變式用于課堂教學的外圍，即“復習思考”“鞏固反思”和“小結練習”這三個環節。