淺談高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

方程與函數(shù)是高中教學(xué)中兩個重要的概念，方程與函數(shù)的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，使用方程與函數(shù)的思想能夠使高中數(shù)學(xué)中的許多問題得到轉(zhuǎn)化，能夠使很多復(fù)雜的問題簡單化．因此高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要重視方程與函數(shù)的思想方法．

函數(shù)思想 方程思想 數(shù)學(xué)問題

方程與函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，考試中常運用方程與函數(shù)的思想去處理不等式、數(shù)列、幾何中的一些問題，從而使問題得到轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能夠輕松解決問題．

方程與函數(shù)的思想在高中試題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：（1）借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解答有關(guān)求值、證明不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值問題；(2)在研究問題中，通過建立方程與函數(shù)的關(guān)系式或構(gòu)造中間的函數(shù)，把所解答的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，從而達到簡化問題的目的．

一、注重概念

1.方程與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，在日常教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有很多方程的問題需要用函數(shù)的知識去解決，也有很多的函數(shù)問題是要方程的知識去解答，方程與函數(shù)之間的對立與辯證關(guān)系，形成了方程與函數(shù)的思想.因此，方程與函數(shù)思想就是用方程與函數(shù)的觀點和方法來處理數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系，一種思維方式，在高中數(shù)學(xué)中是一種很重要的數(shù)學(xué)思想．其實函數(shù)思想，就是用變化的觀點、對應(yīng)的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的一些數(shù)量關(guān)系，通過他們彼此之間的關(guān)系來建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，并運用所熟知的函數(shù)圖像或性質(zhì)去研究問題、轉(zhuǎn)化問題，從而獲得解決問題的思想.應(yīng)用函數(shù)思想解答問題時，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系式是一個關(guān)鍵過程，大體可分為以下情況：根據(jù)所解決的問題建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把所研究的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；根據(jù)所解決問題的需要構(gòu)造好函數(shù)，并應(yīng)用學(xué)生所熟知函數(shù)的相關(guān)知識去解決問題．

例1：設(shè)函數(shù)的圖象的交點為（x0，y0），則x0所在的區(qū)間是（）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

解析：由題意可知，（x0，y0）同時要滿足即x0是方程x3-22-x=0的一個根，即函數(shù)g（x）=x3-22-x的零點，因此，可以通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3-22-x進行求解.

正解：令g（x）=x3-22-x，求得：g（0）=-4<0，g（1）=-1<0，

g（2）=7>0，g（3）=2612>0，g（4）>0，由g（1）?g（2）=-7<0可知函數(shù)g（x）的零點所在區(qū)間為（1，2），因此答案選B.

注意：由于方程x30-22-x0=0是一個超越方程，用高中數(shù)學(xué)所學(xué)知識我們是無法求解的，由題意可知本題只求x0所在的區(qū)間，并不求x0具體的值.因此，本題在求解時可以把一個解方程的問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點的問題，最后通過構(gòu)造函數(shù)進行求解.

2．方程的思想是指在解決問題時，用事先設(shè)定的未知數(shù)與問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程（組），求出未知數(shù)及各量的值數(shù)學(xué)過程，從而使問題得以解決.在解題過程中方程起到了橋梁的作用，事實上，方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即函數(shù)y=f（x）的零點；函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通過方程進行研究.方程思想是動中求靜，研究運動中的數(shù)量的等量關(guān)系．用方程的思想方法解題，就是要用方程的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量及其關(guān)系，把對立的已知與未知通過相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，最后能守求解方程得以解決.

例2設(shè)P（3，1）為二次函數(shù)f（x）=ax2-2ax+b（x≥1）的圖象與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖象的一個交點，則（）

解析：由于點P（3，1）是函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的交點，因此點（3，1）和（1，3）都在函數(shù)f（x）=ax2-2ax+b（x≥1）的圖象上，由此可通過列方程組的方法來求解.

正解由于P（3，1）是二次函數(shù)f（x）= ax2-2ax+b（x≥1）上的點，可得1=9a-6a+b，①

又P（3，1）是其反函數(shù)上的點，所以點（1，3）在原函數(shù)上，

故3=a-2a+b，②

聯(lián)立①、②，可解得a=-12，b=52，因此答案選C.

注意：本題其實與上面的例題實質(zhì)是相同的，但解法不同，一個是通過構(gòu)造函數(shù)，一個是通過構(gòu)造方程組最后使問題得以解決，在學(xué)習(xí)中同學(xué)們要加以體會.

二、注重學(xué)法

方程與函數(shù)的思想方法，在高中數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域都有涉及，在解題過程中有著廣泛應(yīng)用.因此同學(xué)們在復(fù)習(xí)中必須有意識地培養(yǎng)和形成這種解題思想，在復(fù)習(xí)中應(yīng)切實做好如下幾點：

1.要深刻理解一般函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握一、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特征是應(yīng)用方程與函數(shù)思想的基礎(chǔ)，要學(xué)會通過題設(shè)巧妙、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，只有構(gòu)造出正確的函數(shù)才能方便解題．

2.在解答非函數(shù)問題時，要注意對題設(shè)中的隱含條件進行仔細(xì)分析，結(jié)合所學(xué)知識，構(gòu)造出正確的函數(shù)模型，從而使問題得到解決．

3.根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造方程，再通過對方程的研究，進而解決問題．

4.注意要學(xué)會方程與函數(shù)轉(zhuǎn)化的思想．

在許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參變量，這些參變量中必有一個處于突出的、主導(dǎo)的地位，我們稱之為主元，于是就可構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質(zhì)就是分離參變量．

縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱，就帶動起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目”．熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ)．善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵．作為數(shù)學(xué)教師，我們在日常教學(xué)中要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。只有通過對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

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