淺談高中數學思想方法教學

方程與函數是高中教學中兩個重要的概念，方程與函數的思想是高中數學的重要思想，使用方程與函數的思想能夠使高中數學中的許多問題得到轉化，能夠使很多復雜的問題簡單化．因此高中數學教師在教學中要重視方程與函數的思想方法．

函數思想 方程思想 數學問題

方程與函數思想是高中數學的重要思想，考試中常運用方程與函數的思想去處理不等式、數列、幾何中的一些問題，從而使問題得到轉化，使學生能夠輕松解決問題．

方程與函數的思想在高中試題中的應用主要表現在兩個方面：（1）借助有關初等函數的性質，解答有關求值、證明不等式、解方程以及討論參數的取值問題；(2)在研究問題中，通過建立方程與函數的關系式或構造中間的函數，把所解答的問題轉化為討論函數的有關性質，從而達到簡化問題的目的．

一、注重概念

1.方程與函數有著密切的聯系，在日常教學中，筆者發現有很多方程的問題需要用函數的知識去解決，也有很多的函數問題是要方程的知識去解答，方程與函數之間的對立與辯證關系，形成了方程與函數的思想.因此，方程與函數思想就是用方程與函數的觀點和方法來處理數學量之間的關系，一種思維方式，在高中數學中是一種很重要的數學思想．其實函數思想，就是用變化的觀點、對應的思想去分析和研究數學問題中的一些數量關系，通過他們彼此之間的關系來建立函數關系或構造函數，并運用所熟知的函數圖像或性質去研究問題、轉化問題，從而獲得解決問題的思想.應用函數思想解答問題時，確立變量之間的函數關系式是一個關鍵過程，大體可分為以下情況：根據所解決的問題建立變量之間的函數關系式，把所研究的數學問題轉化為相應的函數問題；根據所解決問題的需要構造好函數，并應用學生所熟知函數的相關知識去解決問題．

例1：設函數的圖象的交點為（x0，y0），則x0所在的區間是（）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

解析：由題意可知，（x0，y0）同時要滿足即x0是方程x3-22-x=0的一個根，即函數g（x）=x3-22-x的零點，因此，可以通過構造函數g（x）=x3-22-x進行求解.

正解：令g（x）=x3-22-x，求得：g（0）=-4<0，g（1）=-1<0，

g（2）=7>0，g（3）=2612>0，g（4）>0，由g（1）?g（2）=-7<0可知函數g（x）的零點所在區間為（1，2），因此答案選B.

注意：由于方程x30-22-x0=0是一個超越方程，用高中數學所學知識我們是無法求解的，由題意可知本題只求x0所在的區間，并不求x0具體的值.因此，本題在求解時可以把一個解方程的問題轉化為研究函數零點的問題，最后通過構造函數進行求解.

2．方程的思想是指在解決問題時，用事先設定的未知數與問題中的數量關系，列出方程（組），求出未知數及各量的值數學過程，從而使問題得以解決.在解題過程中方程起到了橋梁的作用，事實上，方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標，即函數y=f（x）的零點；函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通過方程進行研究.方程思想是動中求靜，研究運動中的數量的等量關系．用方程的思想方法解題，就是要用方程的觀點，分析和研究具體問題中的數量及其關系，把對立的已知與未知通過相等關系統一在方程中，把數學問題轉化為方程問題，最后能守求解方程得以解決.

例2設P（3，1）為二次函數f（x）=ax2-2ax+b（x≥1）的圖象與其反函數y=f-1（x）的圖象的一個交點，則（）

解析：由于點P（3，1）是函數y=f（x）與其反函數y=f-1（x）的交點，因此點（3，1）和（1，3）都在函數f（x）=ax2-2ax+b（x≥1）的圖象上，由此可通過列方程組的方法來求解.

正解由于P（3，1）是二次函數f（x）= ax2-2ax+b（x≥1）上的點，可得1=9a-6a+b，①

又P（3，1）是其反函數上的點，所以點（1，3）在原函數上，

故3=a-2a+b，②

聯立①、②，可解得a=-12，b=52，因此答案選C.

注意：本題其實與上面的例題實質是相同的，但解法不同，一個是通過構造函數，一個是通過構造方程組最后使問題得以解決，在學習中同學們要加以體會.

二、注重學法

方程與函數的思想方法，在高中數學的各個領域都有涉及，在解題過程中有著廣泛應用.因此同學們在復習中必須有意識地培養和形成這種解題思想，在復習中應切實做好如下幾點：

1.要深刻理解一般函數的圖像與性質，熟練掌握一、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特征是應用方程與函數思想的基礎，要學會通過題設巧妙、恰當地構造函數，只有構造出正確的函數才能方便解題．

2.在解答非函數問題時，要注意對題設中的隱含條件進行仔細分析，結合所學知識，構造出正確的函數模型，從而使問題得到解決．

3.根據題設條件構造方程，再通過對方程的研究，進而解決問題．

4.注意要學會方程與函數轉化的思想．

在許多數學問題中，一般都含有常量、變量或參變量，這些參變量中必有一個處于突出的、主導的地位，我們稱之為主元，于是就可構造出關于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質就是分離參變量．

縱觀中學數學，可謂是以函數為中心，以函數為綱，就帶動起了中學數學的“目”．熟練掌握基本初等函數的圖像和性質，是應用函數與方程思想解題的基礎．善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵．作為數學教師，我們在日常教學中要注重對學生數學思想的培養。只有通過對學生數學思想的培養，學生的數學能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。

參考文獻：

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