感悟數學基本思想 提高問題解決能力

數學基本思想是對數學知識發生過程的高度提煉、抽象、概括和升華，是對數學規律的理性認識。在某種意義上，數學基本思想就是解決數學問題時具有隱性特征的心智活動方式。這種隱性的心智活動水平會外顯為問題解決的能力。從數學基本思想的角度來審視教學，可以更好地提高教師對數學基本思想的認識，提高學生解決問題的能力。

一、深入解讀教材，提高對數學基本思想的認識

蘇教版小學數學教材從四年級開始安排“解決問題的策略”單元，較為集中地學習“策略”。這樣的學習，實際上是在低年級教學中滲透數學基本思想來解決問題的基礎上進行的。筆者將教材內容及其蘊含的數學基本思想進行了整理（見表1）。

熟悉教材的老師都知道，各冊教材在解決問題的策略方面各有側重，但各種策略并不是單獨存在的，而是相互聯系的，數學基本思想也滲透在各個學段中。教師在解讀教材時，應深刻把握各個學段的具體教學要求和教學重點。同時，結合學生的實際，通過提供豐富的現實素材、有效的數學探究活動，引導學生經歷從實際問題到數學模型的抽象過程，讓學生掌握數學基本思想，逐步積累用數學知識解決問題的經驗，及時把知識轉化為能力。

二、優化思維活動，凸顯數學基本思想的價值

研究表明，學生思維能力的高低影響著他們掌握知識的深度和系統程度。數學教學最根本的任務是幫助學生學會思維，學會數學地思考，而數學思想對思維品質的提升舉足輕重。教師可以通過優化思維活動，凸顯數學基本思想的價值。

例如，在教學六年級《替換策略》時，我設計了四個層次的學習探索活動：

第一層次：出示準備題。小明把720毫升果汁倒入9個大小相同的杯子，正好倒滿。每個杯子的容量是多少毫升？

學生口答后，教師小結：求每個杯子的容量是多少毫升，直接用總量÷份數=每份數。

第二層次：出示例題。小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的1／3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

要求學生默讀題目，思考：（1）這道題與準備題，有什么不同？（2）大杯和小杯的容量之間有什么關系？（3）這個關系對解決問題是否有幫助？（4）能試著運用圖示來表達你的解決方法嗎？

交流反饋時，要求學生說出思考的過程：把（ ）個（ ）杯替換成（ ）個（ ）杯，相當于一共（ ）個（ ）杯裝720毫升。解答后讓學生獨立進行檢驗，掌握檢驗的方法。

第三層次：出示變式題。小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒滿。大杯的容量是小杯的4倍。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（此題把大杯替換成4個小杯，計算相對方便，提示學生要根據實際情況靈活選用替換的方法。）

繼續出示變式題：小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒滿。大杯的容量比小杯多20毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（由倍數關系的替換引導學生分析相差關系的替換，自行探索，深化策略。）

第四層次：進行比較。重點比較倍數關系和相差關系的替換有什么異同。學生在觀察比較中感悟“變與不變”中存在的內在聯系。

以上四個層次的探究活動，教師逐步引導學生分析、觀察、比較，體驗知識背后所負載的替換思想，明確為什么要替換，替換的思想對于解決問題有什么幫助，在多向的比較中，幫助學生靈活地掌握替換策略解決實際問題。

其實，在教學“列舉”策略時，也同樣需要教師創設問題情境，整合教材資源，優化思維活動，讓學生明白什么是列舉，列舉時要注意些什么，以及使用一一列舉的策略的好處。教師要以問題為導向，引導學生體會不同情境中不同的列舉形式：直接列舉，先分類再列舉，先列舉再計算，列舉、計算統計再找規律……并從中提取列舉思想的核心——有序地思考，不重復、不遺漏。

可見，學生在整理信息、操作活動、選擇策略、嘗試練習、觀察比較的過程中，經歷替換、列舉等策略的形成過程，可以獲得豐富的策略體驗。而在累積數學活動經驗的同時，也有利于學生自覺感悟數學基本思想的價值所在。

三、加強自我反思，注重數學基本思想的體悟

數學課程標準修訂之后在教學建議中明確指出：教學中，教師應引導學生經歷解決問題的過程，并通過對解題過程與方法的再認與反思，形成對方法的本質特點、價值及使用要領的主觀認識。

比如：五年級下冊“倒推策略”的練一練：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？

學生在嘗試練習時，通過摘錄條件，整理信息，列式計算后往往會出現兩種解答方法：

（25+1）×2=52（張）和（25-1）×2=48（張）

孰對孰錯？教師不要急于評價，而應啟發學生自我反思：本題講述的“故事”是如何發生的？經歷了怎樣的曲折變化？如何簡潔地整理這個變化過程？經過深思，學生就排出“原來的畫片張數、送出一半、再送出一張、最后剩下”的次序。這里的反思重在幫助學生再次體驗事情的變化是有次序的。順著變化一步一步地推，是從開始推向結果；逆著變化一步一步地推，是從結果推向起始，讓學生感悟到有條理地思考的重要性。

當然，在問題解決的過程中，學生除了用文字摘錄信息外，還可能會自覺結合以前學過的畫圖、符號、表格等呈現方式。通過對不同素材的學習、比較、發現，學生就能不斷積累經驗，逐步深化體會，對數學基本思想的感悟就會更加深刻。

總之，教學蘇教版“解決問題的策略”，教師要著力從三個方面引導學生進行反思：即在追問中進行反思（用了什么策略？為什么用？怎么用？）；在比較中進行反思（策略運用后有什么好處？）；在嘗試后進行反思（甄別、優選策略）。

在解決問題的活動中，引領學生加強自我反思，注重數學基本思想的感悟和體驗，可以讓學生體會到“策略思想”的重要性，逐步提高領悟水平，加深他們對于數學基本思想的理解，從而形成優秀的精神品格，提升學習品質。

（作者單位：江蘇省張家港市教育局教學研究室）