感悟數(shù)學(xué)基本思想 提高問題解決能力

數(shù)學(xué)基本思想是對數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程的高度提煉、抽象、概括和升華，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。在某種意義上，數(shù)學(xué)基本思想就是解決數(shù)學(xué)問題時具有隱性特征的心智活動方式。這種隱性的心智活動水平會外顯為問題解決的能力。從數(shù)學(xué)基本思想的角度來審視教學(xué)，可以更好地提高教師對數(shù)學(xué)基本思想的認(rèn)識，提高學(xué)生解決問題的能力。

一、深入解讀教材，提高對數(shù)學(xué)基本思想的認(rèn)識

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從四年級開始安排“解決問題的策略”單元，較為集中地學(xué)習(xí)“策略”。這樣的學(xué)習(xí)，實際上是在低年級教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想來解決問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。筆者將教材內(nèi)容及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想進(jìn)行了整理（見表1）。

熟悉教材的老師都知道，各冊教材在解決問題的策略方面各有側(cè)重，但各種策略并不是單獨(dú)存在的，而是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)基本思想也滲透在各個學(xué)段中。教師在解讀教材時，應(yīng)深刻把握各個學(xué)段的具體教學(xué)要求和教學(xué)重點(diǎn)。同時，結(jié)合學(xué)生的實際，通過提供豐富的現(xiàn)實素材、有效的數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實際問題到數(shù)學(xué)模型的抽象過程，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本思想，逐步積累用數(shù)學(xué)知識解決問題的經(jīng)驗，及時把知識轉(zhuǎn)化為能力。

二、優(yōu)化思維活動，凸顯數(shù)學(xué)基本思想的價值

研究表明，學(xué)生思維能力的高低影響著他們掌握知識的深度和系統(tǒng)程度。數(shù)學(xué)教學(xué)最根本的任務(wù)是幫助學(xué)生學(xué)會思維，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，而數(shù)學(xué)思想對思維品質(zhì)的提升舉足輕重。教師可以通過優(yōu)化思維活動，凸顯數(shù)學(xué)基本思想的價值。

例如，在教學(xué)六年級《替換策略》時，我設(shè)計了四個層次的學(xué)習(xí)探索活動：

第一層次：出示準(zhǔn)備題。小明把720毫升果汁倒入9個大小相同的杯子，正好倒?jié)M。每個杯子的容量是多少毫升？

學(xué)生口答后，教師小結(jié)：求每個杯子的容量是多少毫升，直接用總量÷份數(shù)=每份數(shù)。

第二層次：出示例題。小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的1／3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

要求學(xué)生默讀題目，思考：（1）這道題與準(zhǔn)備題，有什么不同？（2）大杯和小杯的容量之間有什么關(guān)系？（3）這個關(guān)系對解決問題是否有幫助？（4）能試著運(yùn)用圖示來表達(dá)你的解決方法嗎？

交流反饋時，要求學(xué)生說出思考的過程：把（ ）個（ ）杯替換成（ ）個（ ）杯，相當(dāng)于一共（ ）個（ ）杯裝720毫升。解答后讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行檢驗，掌握檢驗的方法。

第三層次：出示變式題。小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。大杯的容量是小杯的4倍。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（此題把大杯替換成4個小杯，計算相對方便，提示學(xué)生要根據(jù)實際情況靈活選用替換的方法。）

繼續(xù)出示變式題：小明把720毫升果汁倒入6個大小相同的小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。大杯的容量比小杯多20毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（由倍數(shù)關(guān)系的替換引導(dǎo)學(xué)生分析相差關(guān)系的替換，自行探索，深化策略。）

第四層次：進(jìn)行比較。重點(diǎn)比較倍數(shù)關(guān)系和相差關(guān)系的替換有什么異同。學(xué)生在觀察比較中感悟“變與不變”中存在的內(nèi)在聯(lián)系。

以上四個層次的探究活動，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察、比較，體驗知識背后所負(fù)載的替換思想，明確為什么要替換，替換的思想對于解決問題有什么幫助，在多向的比較中，幫助學(xué)生靈活地掌握替換策略解決實際問題。

其實，在教學(xué)“列舉”策略時，也同樣需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，整合教材資源，優(yōu)化思維活動，讓學(xué)生明白什么是列舉，列舉時要注意些什么，以及使用一一列舉的策略的好處。教師要以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生體會不同情境中不同的列舉形式：直接列舉，先分類再列舉，先列舉再計算，列舉、計算統(tǒng)計再找規(guī)律……并從中提取列舉思想的核心——有序地思考，不重復(fù)、不遺漏。

可見，學(xué)生在整理信息、操作活動、選擇策略、嘗試練習(xí)、觀察比較的過程中，經(jīng)歷替換、列舉等策略的形成過程，可以獲得豐富的策略體驗。而在累積數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的同時，也有利于學(xué)生自覺感悟數(shù)學(xué)基本思想的價值所在。

三、加強(qiáng)自我反思，注重數(shù)學(xué)基本思想的體悟

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂之后在教學(xué)建議中明確指出：教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，并通過對解題過程與方法的再認(rèn)與反思，形成對方法的本質(zhì)特點(diǎn)、價值及使用要領(lǐng)的主觀認(rèn)識。

比如：五年級下冊“倒推策略”的練一練：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張，小軍原來有多少張畫片？

學(xué)生在嘗試練習(xí)時，通過摘錄條件，整理信息，列式計算后往往會出現(xiàn)兩種解答方法：

（25+1）×2=52（張）和（25-1）×2=48（張）

孰對孰錯？教師不要急于評價，而應(yīng)啟發(fā)學(xué)生自我反思：本題講述的“故事”是如何發(fā)生的？經(jīng)歷了怎樣的曲折變化？如何簡潔地整理這個變化過程？經(jīng)過深思，學(xué)生就排出“原來的畫片張數(shù)、送出一半、再送出一張、最后剩下”的次序。這里的反思重在幫助學(xué)生再次體驗事情的變化是有次序的。順著變化一步一步地推，是從開始推向結(jié)果；逆著變化一步一步地推，是從結(jié)果推向起始，讓學(xué)生感悟到有條理地思考的重要性。

當(dāng)然，在問題解決的過程中，學(xué)生除了用文字摘錄信息外，還可能會自覺結(jié)合以前學(xué)過的畫圖、符號、表格等呈現(xiàn)方式。通過對不同素材的學(xué)習(xí)、比較、發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就能不斷積累經(jīng)驗，逐步深化體會，對數(shù)學(xué)基本思想的感悟就會更加深刻。

總之，教學(xué)蘇教版“解決問題的策略”，教師要著力從三個方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：即在追問中進(jìn)行反思（用了什么策略？為什么用？怎么用？）；在比較中進(jìn)行反思（策略運(yùn)用后有什么好處？）；在嘗試后進(jìn)行反思（甄別、優(yōu)選策略）。

在解決問題的活動中，引領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)自我反思，注重數(shù)學(xué)基本思想的感悟和體驗，可以讓學(xué)生體會到“策略思想”的重要性，逐步提高領(lǐng)悟水平，加深他們對于數(shù)學(xué)基本思想的理解，從而形成優(yōu)秀的精神品格，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。

（作者單位：江蘇省張家港市教育局教學(xué)研究室）