數學學習背景的三態演繹

在執教《圓的認識》一課前老師讓學生買好了嶄新的圓規。“圓規”這一新鮮的物品帶給學生很強的感官刺激，學生急于想用圓規來畫一畫圓。手握新“圓規”，從而想學會如何用它畫圓這一急切的愿望是學生這堂課的一個學習背景，課堂上教師問出了“同學們會畫圓嗎？”“用什么畫呢？”這樣的問題正好迎合了學生的學習需要，老師及時引導學生正確地認識用“圓規畫圓”就是把握了學習的最佳時機。

影響學生學習的背景因素很多，比如教師的教學能力和教學設計，比如學生的知識基礎、學習習慣、生活經驗和班級的學習氛圍等，我們都可以稱之為數學學習背景，這些學習背景在課堂內外都影響和支撐著學生的數學學習。本文中，筆者就數學知識本身和學生的數學學習背景及其應用進行一些粗淺的分析。

一、數學學習背景的三態歸結

眾所周知，物質在一定條件下處于相對穩定的狀態。而這樣相對穩定的狀態主要有三種，即：固態、液態、氣態。拋開數學學習背景一般所依賴的、教師實際引用或依據生活現實再創造的情境，單就學習背景所包含的內容與形式，我們不妨也把它劃分為三種狀態：固態學習背景、液態學習背景和氣態學習背景。

1.固態學習背景。

固態的物質有一定的體積，形狀不隨容器的變化而變化。固態的數學學習背景從其表面看也具有這樣不變的形態，有時是一個概念，有時是一個標識性記憶，有時是一個人物。這樣的學習背景有的可能已經是數學的，有的可能還是非數學的，但它給人的第一感覺都是凝固的。

2.液態學習背景。

液態的物質有一定的體積，形狀隨容器的變化而變化。液態的數學學習背景指的就是那些具有可變性或操作性的數學史料、數學關系、數學過程、數學思維策略，雖然對這些背景的敘述可能也是一句定義或一串符號或一段歷史，但這樣的背景卻可以裝載于不同的情境中發揮其數學價值。它具有最明顯的數學的動態美。

3.氣態學習背景。

氣態物質沒有一定的形狀，可以充滿任何形狀的容器，形狀隨容器的變化而變化。氣態的數學學習背景指的就是那些并不強調具體的數學內容，而體現的是數學所特有的智慧品質和精神品質，這些智慧品質和精神品質充盈于整個學習背景中，它帶給學生的不僅是數學的個性化魅力，而且是整個人生的價值取向。

二、活用三態學習背景

數學學習的背景不是一束插在情境花瓶中的鮮花，只是讓人去欣賞它的美，它應該是數學活動的載體。我們要以這些學習背景為基礎實現學生與數學、數學與現實生活、數學與個體經驗以及數學與個體實踐的溝通。

1.讓固態學習背景更形象、更數學。

固態的物質，單看其表面只能知其形，而不能知其質，必須運用各種感官和手段對它進行剖析，我們才能了解其本質特征，這是由表及里的探索規律。

（1）形象化。

固態學習背景的表象是凝固的、簡單抽象的，在呈現它們的同時我們要使其與具體的事、物、形相結合，通過數學的方法讓它們更形象地展現在學生面前，這樣才能讓學生感悟其中的數學本質。

例如，在“圓”的教學中，讓學生看電腦演示某學生沿著圓形的花壇跑步的情形，讓學生把對“周長”概念的認知從之前主要的線段之和過渡到曲線總長，進一步形成更為完整的圖形周長的概念。在介紹祖沖之和他的圓周率近似值時，展現祖沖之是如何利用正多邊形來推算圓周率的，從中可以體現數學的窮極思維方法和靈巧轉化的智慧操作。

（2）數學化。

受學生生活環境的約束，學生在生活經驗中獲得的固態學習背景雖然有一定的數學因子存在卻與真正的數學知識還有一定的距離，不能體現真正的數學內涵。這就需要我們在呈現這些學習背景的同時對它們進行數學的操作、提煉、概括和抽象加工，使其具有完整意義的數學內涵。這就是對固態學習背景的“數學化”加工。

在“圓”的教學初期，學生對“圓”的概念的認識是模糊的，只能用非數學的“均勻”、“滾動”等字眼來描述，這離數學的本質還很遠。這時，教師通過觀察車輪的滾動提取出圓的半徑，讓學生觀察半徑的特點——所有的半徑都相等，這一概念雖然還不規范，但學生已經對“圓”的概念有了數學化的認識。

2.讓液態學習背景在運用過程中活化。

液態的水裝在容器中透明如無物，當它流動于江、河、湖、溪時我們才能體會到它的美與力量。液態的學習背景同樣只有在它的流動（運用）中，才能體現出它的數學的美和力量。

（1）還原其本源。

學生已有的數學知識類的液態學習背景，比如解決問題的策略、數學的思維方法等，往往處于相對模糊或不完善階段，因此首要的運用方向是還原其生成的過程，提煉運用它的技巧與本質，再讓它與生活實際問題相結合加以鞏固性運用，使學生有效形成穩定的數學思維習慣與方法。

教學《圓的面積》一課時，其實學生在之前的平面圖形面積學習中已經多次接觸和運用過轉化的策略，只是沒有進行系統性的研究。為此，老師在教學中先還原了學生以前經歷過的運用轉化策略來探索平行四邊形面積的片段。讓學生體會到轉化的本質是從未知到已知，把所探求的數量進行等量的轉化。再讓學生經歷分割拼接圓形的過程，這時學生對轉化的理解才是有效的。這是對液態學習背景進行先期還原的作用。

（2）創建其模型。

來源于學生生活經驗的液態學習背景，往往具有隨意性和繁瑣性，與其真正的數學動態內涵相差還遠。因此，我們首先要把這些背景運用于數學化的模型中，從而抽象、概括、簡化出其本質的數學思想與方法，然后再運用這些數學思想與方法來解決實際生活問題，這樣才能體現其價值所在。

在《圓的周長》教學中，學生在以前的周長計算探索學習中已經初步產生了量與量的關系意識，只是這種意識還比較淡薄。這時教師出示長方形、正方形的圖形和周長公式，讓學生說一說它們的周長與什么有關，讓學生重新建立起周長與其他有關量的關系模型，這時學生才會主動運用這種關系意識，去探索圓周長與半徑或直徑的可能性關系。

（3）運用其價值。

液態學習背景之于數學的長久學習是至關重要的。無論是數學的關系和策略，還是數學的思想方法，只有在運用中其價值才能真正得以提升，以促進個人對數學的長久學習。只有當自主地運用液態學習背景成為一種習慣時，學生的數學學習之門才算真正打開。

3.讓氣態學習背景在呈現中被熱情點燃。

氣態物質最主要的特性就是它的隱秘性與充盈性。氣態的數學學習背景就像氣態物質一樣隱藏于數學知識背后，它所代表的數學智慧、數學精神是激勵人類進步與發展的重要力量。在數學教學中，如果我們就像看待空氣一樣對他們視而不見，那么我們的數學課堂是無法真正走向光明的。

我們要運用多種手段去豐富這樣的背景資料，用學生喜歡的形式形象地展現出來，讓學生在視覺、聽覺等感官的刺激下去感悟內在的精神財富。同時，教師還要用飽滿的熱情來引導學生，使學生在數學精神世界產生強烈的共鳴。有了共鳴，那些看不見的數學精神才會像氣體一樣充盈于整個課堂。

例如，在“圓”的教學中，古代數學家祖沖之所具有的探索精神是蘊含在對他的“圓周率”的介紹之中的，它不是一個簡單的數據的呈現，而是一個不斷挑戰自我的過程。教師可以選擇更為形象化的材料來幫助學生了解祖沖之在研究過程中所體現的可貴精神。

這樣的學習背景舉不勝舉，我們要不斷為學生的數學學習激活它們，這樣才能真正讓學生充滿學習數學的激情與動力。

4.三態的循環。

物質的三態是在相對穩定的條件下存在的，隨著溫度與能量的變化，三態也會產生變化。同樣，數學的三態學習背景也會隨著被激活、被運用產生三態的循環，從固態的數學知識點升華為液態的數學思維、從液態的數學思維升華為氣態的數學精神，這種形態的升華也是數學學習本質的升華，是數學教學最具價值的過程形式。

比如祖沖之和他的圓周率是一個古人的名字和一串數字符號的固態學習背景，當教師完整地去呈現它時，它又是代表窮極思想與轉化思想的液態學習背景，同時還是表達不懈探索精神的氣態學習背景。無疑，這種背景的激活升華對開發學生的數學學習技巧和點化其數學學習的態度是非常有價值的。

學習背景活用的過程其實就是三態演化的過程，也是讓數學課堂煥發生命活力的過程。

（作者單位：江蘇省吳江市盛澤實驗小學）