引導學生在數學學習中浸潤數學基本思想

對于小學數學教學而言，如何高屋建瓴而又能以適合兒童的方式讓數學學習浸潤數學基本思想，讓兒童感悟數學思想的力量，值得我們每一位數學老師在實踐中探索，在反思中前行。下面以《搭配的規律》一課的教學為例，談談筆者的探索與思考。

一、逐級抽象

小學生在日常生活中經常會遇到一些簡單的搭配問題，但隱含其中的規律并不被學生所關注。本課教學著力于幫助學生由具體到抽象、由無序到有序，逐步感知搭配中所隱含的規律，經歷和感悟“數學化”的過程。

課始，教師創設小芳選配上衣和褲子的情境。讓學生從2件上衣和3條褲子中任意選配一套服裝，并在電腦上操作。學生在操作中出現無序、重復等情況后，產生疑問：怎樣操作才不會重復？一共有多少種搭配方法？學生有的猜測5種，有的猜測6種，還有的猜測8種。教師不置可否。

隨后，學生再次有意識地嘗試將上衣和褲子圖片有序搭配，教師引導學生講述搭配的方法。由此，開始了逐級的抽象。

生1：黃衣服配白褲子；黃衣服配紅褲子；黃衣服配藍褲子……

師：這位同學先選定黃衣服，再和各種褲子搭配，有序、清楚地表達了所有搭配方法。

生2：我覺得這樣寫起來太麻煩，可以簡化一下。黃衣——白褲，黃衣——紅褲……

生3：我覺得還可以更簡單些。衣服和褲子的顏色不一樣，可以把上面的“衣”、“褲”都去掉，黃——白，黃——紅……也不影響意思的表達。

生4：他們的想法其實就是分成兩類，一類是黃衣服和3種褲子搭配，還有一類是花衣服和3種褲子搭配（如下圖）。

師：能不能再簡化一下？白、紅、藍還是寫了兩遍。

生5：可以只寫一遍。讓黃、花分別和白、紅、藍連線（如圖）。

師：這幅圖如果從下往上看，表達了什么意思？

生6：先選定褲子，白、紅、藍褲子可以分別和2件上衣搭配。一共也是6種搭配方法。太好了！這樣畫能表達兩種不同的想法。

師：如果只想知道一共有多少種搭配的方法，還能不能再簡化？

生7：能！我分別用○和△代表上衣和褲子。

生8：我用1、2代表上衣，用a、b、c代表褲子。

師：如果增加1條褲子，又會有多少種搭配方法呢？能聯系圖想想嗎？如果增加1件上衣呢？

……

起初，學生能夠有意識地將搭配問題簡單化和條理化，并力求清晰地表達。這里的抽象沒有離開物理背景，比較具體、直觀，屬于直觀描述的層次，但學生已經逐步把握搭配的序列本質，呈現出結構化的特點，這是抽象的第一階段，即簡約階段。接著，教師引導學生去掉包括上衣、褲子、顏色等非數學的屬性，只保留了兩種事物的數量這一搭配的必備要素，利用兩種符號表達已經簡約化了的兩類事物，并通過連線進行關系表述。這已經進入到抽象的符號階段。事實上，最后兩幅連線圖已經擺脫了物理背景，抽象為兩類事物搭配的一種模型了，這一步的抽象已經初步呈現了新知識，具備了一定的應用性。最后，通過增加1條褲子或1件上衣，使一個自變量不變、另一自變量變化來引起因變量的變化，促使學生離開實物操作，借助相對抽象的連線圖去發現數量之間的關系。學生很快將這種關系與乘法模型建立聯系，將搭配種數的變化抽象為“增加1個2”、“增加1個3”。在此基礎上，進一步將搭配種數概括為“幾個2”或“幾個3”。這種數量關系的抽象為后續規律的進一步明晰積累了重要的數學基本活動經驗。當然，在這個過程中，教師也有意識地引導學生在思考“再增加1條褲子”、“增加1件上衣”的過程中借助直觀，蘊含了演繹推理和歸納推理的成分。

二、歸納推理

在對“上衣件數”、“褲子條數”、“搭配種數”之間的數量關系已經有了初步的直觀經驗的基礎上，教師引導學生進一步探索。

師：如果有3件上衣，4條褲子，一共有幾種搭配的方法？先猜想，再驗證。

學生活動后匯報。

生1：我猜是12種。我用1、2、3代表上衣，a、b、c、d代表褲子，連線后發現確實是12種搭配方法。

生2：我是在腦子里畫圖驗證的。每件上衣都可以和4條褲子搭配，3件上衣和4條褲子搭配的種數就是3個4。

生3：也可以這樣想：每條褲子都可以和3件上衣搭配，4條褲子和3件上衣搭配的種數就是4個3。

師：由此，你們有什么發現嗎？

生5：上衣件數×褲子條數＝搭配種數。

師：同桌互相舉幾個例子（不一定是上衣和褲子喲），驗證一下，并注意說清楚理由。

……

師：如果將第一類事物m種和第二類事物n種進行搭配，一共有多少種搭配的方法呢？

生6：那就應該是（m×n）種。

師：能作出解釋嗎？

生7：如果從第一類事物中選定1種，和第二類事物就有n種搭配。而第一類事物有m種，所以一共就有m個n種搭配，也就是（m×n）種。

要讓推理思想逐步根植于學生的意識領域并非易事。首先教師要有這種意識，還要將這種意識逐步轉化為學生的意識。教師不僅要引導學生猜想結果，更應注意讓學生進行不同層次的驗證。有相對直觀的連線驗證，有建立于直觀經驗基礎上的相對抽象的算理解釋，教師的作用在于讓學生不停留于直觀經驗，適時地讓他們認識到直觀驗證的局限性，推動其抽象思維的發展。對小學生而言，歸納的思想不僅是可行的，而且是必要的。因此，教師并不滿足于學生對“上衣件數”、“褲子條數”、“搭配種數”關系的一般歸納，而是引導學生在多樣化特例的基礎上，舍棄了非本質屬性，推而廣之，歸納出了更為一般化的“乘法原理”，并用字母表示，進入到抽象的普適階段。這一步的抽象合理地表達了新知識，使得應用的廣泛性成為可能。

三、模型應用

原始的上衣和褲子的搭配只能看作一種普通的生活現象，但通過抽象和推理形成一般化的“乘法原理”，便成為一種可以廣泛應用的數學模型。而要真正成為學生意識中可以自由、靈活應用的模型還需要對模型的應用條件、范圍和方向等作進一步的研究。

課件出示，解決問題：

1.從杭州到上海，有2條直達的鐵路和3條直達的公路。一共有多少種不同的路線可走？

2.小芳有2件上衣、3條褲子和4雙皮鞋，從中選擇1件上衣、1條褲子，再配上1雙皮鞋，一共有多少種搭配方法？

3.學校要從一些選手中選1名男生和1名女生主持兒童節的文藝演出，一共有12種不同的搭配方法?？赡苡袔酌猩蛶酌鷧⒓舆x拔？

建立模型初期，研究的例子只是囿于應用條件的單一的搭配現象。由于缺少“變式”，導致了許多“搭配的規律”的教學中，學生不管見到什么問題，就將其中的兩個數相乘。上述問題解決中，學生對“乘法原理”和“加法原理”這兩個相關又容易混淆的數學模型進行了辨析比較，厘清了“幾個幾”、“幾和幾”這兩個原理的本質屬性，明晰了兩者的應用條件，并相機進行了乘法原理的推廣。在這一過程中，教師不失時機地引導學生“回頭看”——回首最初的“圖示直觀”，體會其局限性；凝望探索規律過程中的成長階梯，感悟模型建立的必要性和應用的簡潔性。最后，規律的反向應用既是模型的價值和作用的體現，也更能促進學生對模型的數學本質的進一步認同。再次強化有序思考和分類列舉，促進了學生數學思維的發展，也讓學生體會到數學模型的嚴謹性與應用的廣泛性。

當然，數學基本思想抽象、推理、模型本身的發展是相互聯系和滲透的，只有整體地認識、把握和挖掘小學數學內容中的數學基本思想，并以教師自身不斷提升的數學思想素養指導其課堂教學，才能使學生沐浴著數學基本思想的光輝茁壯成長。

（作者單位：江蘇省如皋師范學校附屬小學）