追溯規(guī)律本源 滲透數(shù)學(xué)思想

聽了很多老師教學(xué)蘇教版的《一一間隔排列規(guī)律》，也聽了一些老師教學(xué)人教版的《植樹問題》，感覺老師們在教學(xué)中并沒有真正把握住問題的實質(zhì)。例如，好多老師在教學(xué)《一一間隔排列規(guī)律》時，把教學(xué)重點放在觀察教材情景圖上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“當(dāng)兩端的物體相同時，兩端物體的數(shù)量比中間物體多1”上，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律并用來解決實際問題時，往往會出現(xiàn)規(guī)律能找到但不會運用的現(xiàn)象。在教學(xué)《植樹問題》時，老師基本上都把重點放在對三種情況（一端種一端不種、兩端都種、兩端都不種）的理解上，一旦離開植樹情景，學(xué)生就不知其所以然了。

細分起來，兩個物體“一一間隔排列”有三種規(guī)律，即“兩端物體相同”、“兩端物體不同”和“圍成封閉圖形的”，植樹問題也是如此。這些規(guī)律概括起來都可以抽象成兩個基本的數(shù)學(xué)模型，即“一種物體比另一種物體多1個（少1個）”和“兩種物體個數(shù)相等”。而構(gòu)成這兩個模型的基本數(shù)學(xué)思想是“一一對應(yīng)”，也就是學(xué)生所說的“一個對著一個”。從這個意義上說，在《一一間隔排列規(guī)律》教學(xué)中提出的“兩端物體”和“中間物體”的兩個概念似乎是不妥的，如果在兩種物體相等的情況下，哪個屬于兩端物體？哪個又屬于中間物體呢？所以，“一一間隔排列規(guī)律”和“植樹問題”看起來比較復(fù)雜，但追本溯源，無非就是兩種物體的間隔排列規(guī)律。用“一一對應(yīng)”的思想去思考，就可以化繁為簡、深入淺出?；谝陨系乃伎?，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)流程，并取得了較好的教學(xué)效果。

片段一：

（學(xué)生觀看動畫《阿里巴巴和四十大盜》的片段。）

師：話說強盜們發(fā)現(xiàn)原來的密碼已經(jīng)泄露，就改了密碼，下面我們一起來聽一聽這個密碼。

播放錄音1：芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆。

師：密碼中，綠豆和芝麻哪個多？為什么？

生：一樣多。因為芝麻和綠豆兩個為一組，最后也是一個芝麻和一個綠豆。

師：說得真好！下面再聽一個密碼。

播放錄音2：芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆……芝麻、綠豆、芝麻。

師：這個密碼中綠豆多還是芝麻多？

生：芝麻多1個，因為前面芝麻和綠豆都是一個對一個，后面只有芝麻了。

生：我認(rèn)為芝麻比綠豆多1個，中間也要是一個隔著一個的。

師：你說得非常有道理，芝麻和綠豆一定要一個隔一個排列。我們把這樣的排列稱為“一一間隔排列”（板書）。

這個片段的設(shè)計有三個特點：一是精心選取和組織學(xué)習(xí)材料，用學(xué)生喜歡的童話故事引入，讓學(xué)生在猜密碼的游戲中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感悟規(guī)律，激起學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的興趣；二是兩個密碼的設(shè)置是分層次的，密碼1物體的個數(shù)比較少，密碼2物體個數(shù)很多，這樣分層推進，有利于學(xué)生認(rèn)識規(guī)律的本質(zhì)；三是采用錄音播放，用聽覺來感知規(guī)律，巧妙地避免了學(xué)生用數(shù)物體個數(shù)的方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，迫使學(xué)生用“一一對應(yīng)”的方法來解決問題。在這個過程中，充分運用了學(xué)生已有的生活和知識經(jīng)驗，通過比較讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)“一一間隔排列規(guī)律”的兩種情況。對規(guī)律的整體認(rèn)識一氣呵成。

片段二：

師：剛才我們通過“猜密碼”發(fā)現(xiàn)了“一一間隔排列”的規(guī)律，那生活中有沒有這樣的規(guī)律呢？

出示情景圖：

生：小兔和蘑菇是一一間隔排列的，一只小兔對著一個蘑菇，到最后是一個蘑菇，所以小兔和蘑菇一樣多。

生：籬笆和木樁也是一一間隔排列的，一根木樁和一個籬笆對應(yīng)，最后多一根木樁。

生：手帕和夾子也是一一間隔排列的，一個夾子對一塊手帕，最后多一個夾子。

師：同學(xué)們真了不起！不但能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還能把規(guī)律講清楚。請大家再仔細觀察，這幾種情況可以概括成幾個規(guī)律？

生：兩個規(guī)律。一個是一個物體比另一個多1，一個是相等。

師：真會概括，那你們能用符號把這兩個規(guī)律畫下來嗎？

學(xué)生畫圖后交流。

讓學(xué)生在解決問題的過程中初步抽象出規(guī)律，建立起數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了三個過程：一是運用規(guī)律解決比較簡單的實際問題；二是在解決問題的過程中逐步抽象出規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；三是通過畫圖進一步明晰模型。這里的畫圖非常關(guān)鍵，比用抽象的語言來描述規(guī)律更直觀，有利于照顧到各個層次的學(xué)生對規(guī)律的理解和掌握。

片段三：

師：同學(xué)們剛才把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用圖畫出來了。這樣發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就更清楚了。現(xiàn)在讓我們用這個規(guī)律來解決更有挑戰(zhàn)性的問題吧。

課件出示：生活情景圖。（由五個內(nèi)容組成：鐘聲、植樹、隊列、樓梯和鋸木。）

師：我們先來解決鐘聲問題。剛才鐘聲響了3下，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

生：鐘聲響1下，停1下，共響了3次，停了2下。

師：對！鐘聲問題和前面的形式不一樣，但規(guī)律是一樣的。接下來我們看看植樹中有沒有規(guī)律？

生：一棵樹后面對一個空檔，最后是樹，所以樹有8棵，空檔有7個。

師：假如每個空檔都是20米，這條路共長多少米？

生：140米。

師：樹還能怎么種？小組里討論討論。

生：可以樹、空檔，最后是空檔，這樣樹和空檔一樣多。

師：這相當(dāng)于路的一端種樹，一端不種樹。

生：還可以空檔、樹，最后還是空檔，這樣空檔比樹多1個。

師：這相當(dāng)于兩端都不種樹。剛才討論了植樹中的三種情況，概括一下，有幾個規(guī)律？

生：還是兩個規(guī)律。

師：是的，只要真正懂得了規(guī)律，我們就可以解決各種形式的問題。

師：假如我們學(xué)校有一條100米長的路，每隔10米種1棵樹，需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？請把你的想法畫一畫。

生畫圖并交流。

師：接下來還有三個問題，請每個同學(xué)選一個思考一下，也可以畫畫圖。

“迷時師渡，悟時自渡”。當(dāng)學(xué)生對規(guī)律還沒有理解和內(nèi)化時，就要引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去建構(gòu)；當(dāng)學(xué)生已經(jīng)比較熟練掌握并內(nèi)化了規(guī)律時，就要盡量放手讓他們應(yīng)用規(guī)律去解決各種問題，以達到對規(guī)律的更深層次的理解。教學(xué)設(shè)計中選擇的問題有以下幾個特點：一是變式性。無論是鐘聲問題，還是植樹問題，都是前面“一一間隔”問題的變式；二是綜合性。植樹問題的三種情況，需要學(xué)生系統(tǒng)地應(yīng)用兩個規(guī)律去思考和解決，而不是單純地用其中的某一個規(guī)律；三是學(xué)習(xí)材料的典型性。

本課的教學(xué)有以下兩個主要特點：

1.整體把握規(guī)律。

“一一間隔排列規(guī)律”的兩種情況是一個整體。一般的教法都是先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一種規(guī)律，再逐步引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)另外一種規(guī)律，這樣就像盲人摸象。鄭毓信教授在《“植樹問題”教學(xué)之我見》一文中提到：就“植樹問題”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，事實上涉及了兩種不同的數(shù)學(xué)活動：其一，以“植樹問題”為（現(xiàn)實）原型引出普遍性的數(shù)學(xué)模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實際問題，如路燈問題、排隊問題、鋸樹問題、爬樓問題等；其二，對于上面所提到的每一個問題，我們又都可區(qū)分出三種不同的情況，就“植樹問題”而言，這也就是所謂的“兩端都種”、“只種一端”和“兩端都不種”。本課的教學(xué)思路就是按照鄭教授提到的第一種情況，以現(xiàn)實問題引入，抽象出規(guī)律的一般數(shù)學(xué)模型，再去解決各種問題。實踐證明，這是可行的。

2.“一一對應(yīng)”，統(tǒng)領(lǐng)全局。

在教學(xué)中，無論是開始“猜密碼”還是理解“植樹問題”的三種情況，當(dāng)學(xué)生真正會用“一個對著一個”的想法去解決問題時，規(guī)律本身已經(jīng)不那么重要了。學(xué)生只要依據(jù)基本模式并通過適當(dāng)?shù)淖兓湍芙鉀Q具體問題。事實也是如此，當(dāng)學(xué)生在猜密碼的過程中初步感悟到“一一對應(yīng)”的思想后，就會很順利地用這個方法來解決森林樂園中的間隔排列問題了，還有后面的“鐘聲問題”、“植樹問題”、“隊列問題”和“樓梯問題”等，學(xué)生都顯得游刃有余。由此可以看到，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)的思想方法比規(guī)律本身更重要。

（作者單位：江蘇省張家港市教育局教研室）