追溯規律本源 滲透數學思想

聽了很多老師教學蘇教版的《一一間隔排列規律》，也聽了一些老師教學人教版的《植樹問題》，感覺老師們在教學中并沒有真正把握住問題的實質。例如，好多老師在教學《一一間隔排列規律》時，把教學重點放在觀察教材情景圖上，讓學生發現“當兩端的物體相同時，兩端物體的數量比中間物體多1”上，當學生發現了這個規律并用來解決實際問題時，往往會出現規律能找到但不會運用的現象。在教學《植樹問題》時，老師基本上都把重點放在對三種情況（一端種一端不種、兩端都種、兩端都不種）的理解上，一旦離開植樹情景，學生就不知其所以然了。

細分起來，兩個物體“一一間隔排列”有三種規律，即“兩端物體相同”、“兩端物體不同”和“圍成封閉圖形的”，植樹問題也是如此。這些規律概括起來都可以抽象成兩個基本的數學模型，即“一種物體比另一種物體多1個（少1個）”和“兩種物體個數相等”。而構成這兩個模型的基本數學思想是“一一對應”，也就是學生所說的“一個對著一個”。從這個意義上說，在《一一間隔排列規律》教學中提出的“兩端物體”和“中間物體”的兩個概念似乎是不妥的，如果在兩種物體相等的情況下，哪個屬于兩端物體？哪個又屬于中間物體呢？所以，“一一間隔排列規律”和“植樹問題”看起來比較復雜，但追本溯源，無非就是兩種物體的間隔排列規律。用“一一對應”的思想去思考，就可以化繁為簡、深入淺出。基于以上的思考，筆者設計了如下的教學流程，并取得了較好的教學效果。

片段一：

（學生觀看動畫《阿里巴巴和四十大盜》的片段。）

師：話說強盜們發現原來的密碼已經泄露，就改了密碼，下面我們一起來聽一聽這個密碼。

播放錄音1：芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆。

師：密碼中，綠豆和芝麻哪個多？為什么？

生：一樣多。因為芝麻和綠豆兩個為一組，最后也是一個芝麻和一個綠豆。

師：說得真好！下面再聽一個密碼。

播放錄音2：芝麻、綠豆、芝麻、綠豆、芝麻、綠豆……芝麻、綠豆、芝麻。

師：這個密碼中綠豆多還是芝麻多？

生：芝麻多1個，因為前面芝麻和綠豆都是一個對一個，后面只有芝麻了。

生：我認為芝麻比綠豆多1個，中間也要是一個隔著一個的。

師：你說得非常有道理，芝麻和綠豆一定要一個隔一個排列。我們把這樣的排列稱為“一一間隔排列”（板書）。

這個片段的設計有三個特點：一是精心選取和組織學習材料，用學生喜歡的童話故事引入，讓學生在猜密碼的游戲中初步發現規律，感悟規律，激起學生學習規律的興趣；二是兩個密碼的設置是分層次的，密碼1物體的個數比較少，密碼2物體個數很多，這樣分層推進，有利于學生認識規律的本質；三是采用錄音播放，用聽覺來感知規律，巧妙地避免了學生用數物體個數的方法發現規律，迫使學生用“一一對應”的方法來解決問題。在這個過程中，充分運用了學生已有的生活和知識經驗，通過比較讓學生主動發現“一一間隔排列規律”的兩種情況。對規律的整體認識一氣呵成。

片段二：

師：剛才我們通過“猜密碼”發現了“一一間隔排列”的規律，那生活中有沒有這樣的規律呢？

出示情景圖：

生：小兔和蘑菇是一一間隔排列的，一只小兔對著一個蘑菇，到最后是一個蘑菇，所以小兔和蘑菇一樣多。

生：籬笆和木樁也是一一間隔排列的，一根木樁和一個籬笆對應，最后多一根木樁。

生：手帕和夾子也是一一間隔排列的，一個夾子對一塊手帕，最后多一個夾子。

師：同學們真了不起！不但能發現規律，還能把規律講清楚。請大家再仔細觀察，這幾種情況可以概括成幾個規律？

生：兩個規律。一個是一個物體比另一個多1，一個是相等。

師：真會概括，那你們能用符號把這兩個規律畫下來嗎？

學生畫圖后交流。

讓學生在解決問題的過程中初步抽象出規律，建立起數學模型。學生經歷了三個過程：一是運用規律解決比較簡單的實際問題；二是在解決問題的過程中逐步抽象出規律的數學模型；三是通過畫圖進一步明晰模型。這里的畫圖非常關鍵，比用抽象的語言來描述規律更直觀，有利于照顧到各個層次的學生對規律的理解和掌握。

片段三：

師：同學們剛才把發現的規律用圖畫出來了。這樣發現的規律就更清楚了。現在讓我們用這個規律來解決更有挑戰性的問題吧。

課件出示：生活情景圖。（由五個內容組成：鐘聲、植樹、隊列、樓梯和鋸木。）

師：我們先來解決鐘聲問題。剛才鐘聲響了3下，你發現規律了嗎？

生：鐘聲響1下，停1下，共響了3次，停了2下。

師：對！鐘聲問題和前面的形式不一樣，但規律是一樣的。接下來我們看看植樹中有沒有規律？

生：一棵樹后面對一個空檔，最后是樹，所以樹有8棵，空檔有7個。

師：假如每個空檔都是20米，這條路共長多少米？

生：140米。

師：樹還能怎么種？小組里討論討論。

生：可以樹、空檔，最后是空檔，這樣樹和空檔一樣多。

師：這相當于路的一端種樹，一端不種樹。

生：還可以空檔、樹，最后還是空檔，這樣空檔比樹多1個。

師：這相當于兩端都不種樹。剛才討論了植樹中的三種情況，概括一下，有幾個規律？

生：還是兩個規律。

師：是的，只要真正懂得了規律，我們就可以解決各種形式的問題。

師：假如我們學校有一條100米長的路，每隔10米種1棵樹，需要準備多少棵樹苗？請把你的想法畫一畫。

生畫圖并交流。

師：接下來還有三個問題，請每個同學選一個思考一下，也可以畫畫圖。

“迷時師渡，悟時自渡”。當學生對規律還沒有理解和內化時，就要引導他們去發現、去建構；當學生已經比較熟練掌握并內化了規律時，就要盡量放手讓他們應用規律去解決各種問題，以達到對規律的更深層次的理解。教學設計中選擇的問題有以下幾個特點：一是變式性。無論是鐘聲問題，還是植樹問題，都是前面“一一間隔”問題的變式；二是綜合性。植樹問題的三種情況，需要學生系統地應用兩個規律去思考和解決，而不是單純地用其中的某一個規律；三是學習材料的典型性。

本課的教學有以下兩個主要特點：

1.整體把握規律。

“一一間隔排列規律”的兩種情況是一個整體。一般的教法都是先讓學生發現一種規律，再逐步引導其發現另外一種規律，這樣就像盲人摸象。鄭毓信教授在《“植樹問題”教學之我見》一文中提到：就“植樹問題”這一內容的教學而言，事實上涉及了兩種不同的數學活動：其一，以“植樹問題”為（現實）原型引出普遍性的數學模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實際問題，如路燈問題、排隊問題、鋸樹問題、爬樓問題等；其二，對于上面所提到的每一個問題，我們又都可區分出三種不同的情況，就“植樹問題”而言，這也就是所謂的“兩端都種”、“只種一端”和“兩端都不種”。本課的教學思路就是按照鄭教授提到的第一種情況，以現實問題引入，抽象出規律的一般數學模型，再去解決各種問題。實踐證明，這是可行的。

2.“一一對應”，統領全局。

在教學中，無論是開始“猜密碼”還是理解“植樹問題”的三種情況，當學生真正會用“一個對著一個”的想法去解決問題時，規律本身已經不那么重要了。學生只要依據基本模式并通過適當的變化就能解決具體問題。事實也是如此，當學生在猜密碼的過程中初步感悟到“一一對應”的思想后，就會很順利地用這個方法來解決森林樂園中的間隔排列問題了，還有后面的“鐘聲問題”、“植樹問題”、“隊列問題”和“樓梯問題”等，學生都顯得游刃有余。由此可以看到，在數學教學中，數學的思想方法比規律本身更重要。

（作者單位：江蘇省張家港市教育局教研室）