關于數學基本思想的若干認識與思考

長期以來，“雙基”（基礎知識、基本技能）一直是我國數學課程的首要目標。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011）》）取得的重大進展之一，就是把數學課程的總目標從“雙基”發展為“四基”，即“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。這是在數學課程目標完善方面邁出的重要一步，是我國數學課程改革取得階段性進展的重要標志。

把思想、活動經驗這些能力性目標推上前臺、把人們通常認為是“軟任務”的思想、經驗提升為與“雙基”同等重要的“硬指標”，勢必在觀念轉變、經驗積累、教學方式更新、資源開發等方面，對教師理解和貫徹課程標準提出新的要求，對改革產生新的、有力度的推動。為此，本文將以基本思想為例，談談如何理解和把握這一新變化。

一、數學基本思想在《課標（2011）》中的體現

過去，關于數學課程總體目標的提法經常是“口號”式的，聽起來很響亮，但與具體的內容目標之間往往存在脫節現象。新一輪課程改革以來，《課標（實驗稿）》和《課標（2011）》都在努力克服這種脫節現象。《課標（2011）》不僅在總體目標中把數學“基本思想”表述得很明確，同時也比較注意把“基本思想”融于課程內容的具體目標之中，注重“基本思想”在基本理念、總體目標中的體現以及與具體內容標準之間的相互呼應與協調，為“基本思想”成為實實在在的目標奠定了較好的課程基礎。主要表現在以下三個方面：

其一，數學基本思想是“課程基本理念”的重要組成部分。

《課標（2011）》在基本理念中提出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。”這里，不僅把“數學思想”作為課程理念提出，還強調了數學思想是和數學結果的形成過程聯系在一起的事實，揭示了如何幫助學生積淀數學思想的基本思路與實踐路徑。

其二，數學基本思想是“課程目標”中具有支撐作用的目標。

《課標（2011）》課程總目標的第一條就是“四基”，這一條是整個數學課程目標體系中具有支撐作用的目標。早在《課標（實驗稿）》總體目標關于知識與技能目標的具體闡述中，就已經把“經歷將一些實際問題抽象為……問題的過程”定位為“雙基”的具體目標，把“過程與結果”作為一個整體納入“雙基”目標之內。這個表述是對傳統“雙基”目標的重大改變，它意味著《課標（實驗稿）》已經開始把“基本思想”視為“雙基”的一部分了。不過從實際情況看，這種“納入”的效果并未盡如人意。在很多人的腦海里，“雙基”是效率與準確性的代名詞，一提到“雙基”，首先想到的就是完成教學任務的多寡、學生成績的優劣等。例如，當人們發現學生的計算速度沒那么快了、錯誤率有點高的時候，常常會把原因歸結為“雙基”弱了、“雙基”抓得不夠。這里的“雙基”顯然不包含過程，與思想和經驗無關。總之，把知識性目標和能力性目標融為一體的想法很好，但在固有的傳統面前，事實上反而弱化了后者。

伴隨著《課標（2011）》的深入貫徹實施，中國數學課程的歷史有可能因“四基”目標的最終確立而改變。

其三，數學基本思想在具體的“課程內容”中幾乎無處不在。

如果“基本思想”只是出現在課程標準的理念里、總體目標中，然后就看不見了，那難免不會再成為一句空話。事實上，在《課標（2011）》具體課程內容的表述中，“思想”一詞確實難以再見到，但對于基本思想的要求則幾乎無處不在，覆蓋面很廣，滲透得也比較深。這主要是通過描述過程目標的行為動詞“經歷、體驗、探索”來反映的。

與《課標（實驗稿）》相比，《課標（2011）》明確提出了在課程標準體系內使用的七個基本行為動詞：了解、理解、掌握、運用、經歷、體驗、探索，并通過它們對具體課程內容的實施提出了要求，從而使具體課程內容的把握尺度更為規范和清晰了。一般說來，“了解、理解、掌握、運用”主要用于對結果性目標或知識性目標的要求，而“經歷、體驗、探索”則主要用于對過程性目標或能力性目標的要求。于是，凡是和“經歷、體驗、探索”有關的條目，講的內容就都與“基本思想”有關了。例如：“經歷從日常生活中抽象出數的過程”、“體驗數據中蘊涵著信息”、“探索一些圖形的形狀、大小和位置關系”（見《課標（2011）》第10和12頁）等。這里列舉出的只是《課標（2011）》兩頁當中與“基本思想”有關的內容，從中可以看出基本思想的覆蓋面及與課程內容之間聯系的緊密程度。簡言之，有過程的地方就有思想，有經歷、體驗、探索空間的地方就有思想。《課標（2011）》中的“基本思想”與方法、經驗、知識、技能等交織在一起，無處不在，清晰可辨，為在教學過程中實現基本思想這一目標提供了較為豐富的課程資源。

二、數學基本思想的涵義及特征

數學基本思想主要有兩個方面的涵義：其一，是指推動和支撐數學科學產生與發展的思維活動及其結果。在數學從無到有、從小到大，以至發展成為今天社會生活和科技進步不可或缺的動力的過程中，起著推進和支撐作用的思維活動結果及由此形成的觀念就是數學基本思想。這個思想在作為教育內容的數學課程中的體現，就是《課標（2011）》總體目標中的“基本思想”的涵義。具體說來，數學基本思想的第二個方面是指學生在數學學習過程中能夠習得的數學思想，即學生在數學學習過程中“再發現”的數學思想。

其實，這兩個方面的“思想”是同一個思想，只是所處領域不同。第一方面是就數學的學科領域而言，第二方面是就數學的教育領域而言，兩方面的涵義相通。但由于領域不同，二者又呈現出了不一樣的功能和目的。第一方面的思想維系著數學的存在與發展，第二方面的思想維系著數學教育的根基與活力。作為教育內容的數學都是現成的結果，這里的“現成”是指在數學學科領域內已經被發現的，是對成人而言的。而對兒童、學習者來說，這些結果一點都不現成，每一個都值得探索，每一個都是一塊值得挖掘、孕育著發現的土壤。在這樣的探索、挖掘和發現的過程中產生的思維活動，就是推動和支撐數學發展的思想的再現。數學新課程一而再，再而三地強調過程，就是要解決思想從哪里來的問題。沒有過程而僅把現成的結果直接端出來就沒有思想，都是“又對、又快、又準”，缺少必要的“慢”和“笨”大概也難說有什么思想。

了解了基本思想的涵義，并不意味著已經能把握基本思想了。作為教育內容的數學“基本思想”具體指什么，應當是廣大教師最為關心的。由于思想是思維活動的結果，所以不大可能處理得條塊清晰、表述得天衣無縫。這是由思想自身的特征決定的：第一，思想本身就其內容而言，屬隱性知識或緘默知識，一定是“所知比能言多”，所以無論如何努力勾勒描畫，思想必定比任何華麗的辭藻都要豐富不知多少；第二，思想的載體完全是非技術性的，它與人的大腦、周邊的環境、整體氛圍密切相關。因此，思想的流通會比較困難，灌輸完全不起作用，只有通過親身的經歷、體驗、探索、領悟、傳遞、轉化來逐步實現。日常生活中的思想工作特別難做的原因也就在這里。

了解思想的這兩個特征，有助于我們在走進具體的“思想”之前澄清幾個認識：

1.真正的思想一定是樸實、自然，提法不那么“刁鉆”和華麗的。就像鄧小平說的“讓一部分人先富起來”，可能用幾十本書去論述，仍會覺得意猶未盡。但即便一本書都沒讀的普通老百姓也知道這個思想是什么意思。正因為有了這一思想，才有了深圳、珠海等經濟特區的建設，才有了中國經濟長達三十多年的持續發展。這個思想樸實、自然，貫徹起來效果立竿見影，雖然不是數學基本思想，但對我們理解數學的基本思想有借鑒意義。

2.思想的形成需要氛圍，對思想的追求不能太過刻意，要注意營造有助于思想生長的情景和環境。特別是要給過程以特別的關注，使之融入日常教學活動，同時注重過程中的“四基”一體，引導學生在過程中發現、認識和理解數學。這樣，數學基本思想才會在不知不覺中生成。

3.對思想做泛化的處理、搞出五花八門的思想類型，可能是無用功。把思想按類型層疊在一起，只能把人嚇跑。也不要嘗試去給思想做嚴密的定義，一旦你做到了，千萬別沾沾自喜，因為你可能是規范了一套工作程序，或界定了某種方法或技巧，總之會離《課標（2011）》中的“思想”很遠。

下面的例子給出了一種作為課程內容的數學思想的較為合理的表述方式，或者說至少在思路上是對了的方式：“……教學新的方法和原理應從實在的需要出發，先使兒童從觀察實測具體的事實和計算日常生活中的問題，明白方法的功用，然后用歸納法一步一步地進行，切忌用演繹法推求……”這個表述引自1940年時我國的《小學算數課程標準》（見課程教材研究所編寫的《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編：數學卷》，人民教育出版社2001年版），敘述樸實，娓娓道來，人人讀得懂，而且讀過之后就會知道該怎么做。雖然從中看不到“思想”一詞，但講的是實實在在的數學基本思想——歸納推理。其中“一步一步地進行”的提法，讓人有置身其中之感，而“切忌用演繹法推求”又鮮明地體現出小學的數學思想該如何呵護。這樣的寫法今天已不多見，卻是一種表述“基本思想”的恰當方式，不僅兼顧了前面提到的關于思想的特征，也將那幾點認識融入了其中，很值得今人借鑒思考。

三、數學基本思想的具體體現

目前來看，關于數學基本思想的具體所指，比較權威且有說服力的描述來自聯合國教科文組織和《數學思想概論》（史寧中，東北師大出版社，2010）一書中的提法。他們提出的基本思想簡潔、清晰、科學、合理，都把數學基本思想具體概括為：抽象、推理和模型（建模）。這三種數學思維活動形式構成了數學思想體系中最重要的部分，故為“基本思想”。下面依筆者的理解分別作些說明，一般說來：

1.抽象是一個去生活、去情境的過程，是把現實問題轉化為數學問題過程中的思維活動。抽象的結果一般是得到由數字、字母組成的符號串或平面圖、立體圖一類的直觀圖示。顯然，作為教育內容的數學，抽象無處不在，大家也比較熟悉。

2.任何推理的基本形式都是“如果……那么（則）”，即如何由前提而推及結論，或如何由已知推得未知。從前提到結論的論證過程中的思維活動結果就是推理。長期以來，“演繹”在我們這里幾乎成了推理的代名詞，其實這是一個很大的誤解。事實上，推理的核心是前提清楚、依據充分和步步有據。在這樣的前提下，推理形式遠不只是干巴巴的“三段論”，而是相當豐富多彩。只要是在前提清楚、依據充分和步步有據的前提下由已知推得未知的思維活動結果都是推理。數學里充滿了基于觀察、實驗、歸納、直觀、空間想象的推理，作為教育內容的數學，推理無處不在。

3.模型由“關系及其表示”構成，而關系的發現和表示的獲得都離不開抽象和推理，并且通常需要多重的、反復的抽象和推理才能完成。模型是數學的內部世界與外部世界之間的橋梁。數學之所以成為差不多能在解決所有現實問題中派上用場的利器，出面的都是模型。模型就是數學在解決實際問題的過程中思維活動的結果。

需要注意的是，作為思維活動的結果，抽象是從現實問題到數學問題的發展；推理是從數學問題到數學對象、結論的發展；模型是多級、多次抽象和推理的結果，是對象、結論的呈現形式。雖然前面對這抽象、推理、模型要分別介紹，但他們的出現從不是相互獨立的，通常以先后關聯、起承轉合、相互交織的方式，在一起共同發揮作用。

因為思想具有隱性的特征，所以，結合教學實例解讀數學基本思想應該是比單純的文字敘述更為合理的方式。

通過上文粗淺的分析，可以初步梳理出以下結論：

1.基本思想本身反映了數學作為“成長載體”的教育價值，以它為目標，有可能使那些可以普遍遷移的，如興趣、好奇心、洞察力、質疑能力、探究能力、反思精神、合作精神、創新精神的養成成為現實。

2.把數學基本思想作為課程目標，使得學生有可能通過自己的發現習得新的數學知識內容，在探究過程中領悟數學概念和方法的來龍去脈及用途。有助于從把數學僅僅看成是供記憶復制的一套程序轉向思考和探索；有助于從強調機械操練轉向強調猜想、發現和解決問題；有助于從把數學看做一個孤立的概念和程序的結合體轉向把數學看成一個思想和應用相互交織的整體。

3.關注數學基本思想，有助于促進教學方式的改革，有助于改變“只聽不想、只學不問、只知不識”的教學狀態；有助于促進教師重新審視“教什么，怎么教，教得怎么樣；學什么，怎么學，學得怎么樣……”這些帶有根本性的問題，為轉變教學模式、教學觀念、教學行為提供重要的支撐。

雖然數學基本思想已經成熟博大，但數學課程中的基本思想尚屬初出茅廬，需要分析、研究、嘗試、探求的空間很大。這是一個需要探究、值得探究、必須探究、已經不能不探究的教學領域，讓我們以積極的心態共同為之努力。

（作者單位：中央民族大學數學系）