構造函數解答數學題

解題通常是在問題給定的環境里由題設推出結論，但有些數學問題，其給出的題設條件與要推出的結論相距甚遠，直接推理時常不能順利進行，此時，我們就不得不尋求某種中介工具，用以溝通條件與結論，而此中介工具往往隱含在這個數學問題的題設和結論中，這需要我們根據已學過的數學知識，轉化為某種已熟知的數學模型，從而達到解題的目的，這就是所謂的構造法。

現行高中《數學》教材中，函數是其重要的內容，包括一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數及三角函數，性質包含函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等。因此，對一些數學問題，轉換問題的視角，構造成函數問題，借助函數的相關性質，使一個比較復雜的數學問題變成一個簡單的問題，從而獲得數學解題的突破。

一、 構造一次函數

一次函數形式為f(x)=kx+b(k≠0)，k﹥0時，f(x)單調增，k＜0時f(x)為減函數，其圖像為直線。

例1 設x、y、z∈(0，1)，求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。

分析 觀察試題，問題題設條件簡單，而要推出復雜結論，似乎無從下手。我們不難發現，所有變量都是一次，且都在（0，1）范圍內，因此，把其看成一個一次函數問題，其中一個變量為自變量，另兩個視為參數。

證明 不妨設f(x)=x(1-y)+y(1-z)+fz(1-x)-1=(1-y-z)x+(y+z-yz-1)，且0＜x＜1。因為 f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)＜0， f(1)=(1-y-z)+(y+z-yz-1)=-yz＜0，所以對于x∈(0，1)都有 f(x)＜0，所以問題得證。

二、構造二次函數

二次函數 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸 x0= -■，△的正負意味著f(x)圖像與x軸相交等情況，也含有f(x)＞0(≥0，＜0，≤0)成立或解集問題，圖像為拋物線。

例2 設x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，且滿足x12+x22+x32≤1。

求證：(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)。

分析：本題條件不多，變量很多，似乎難以下手，由條件難以得出結論，結論也難以反推出條件，但與二次函數 f(x)=ax2+bx+c中的 △ =b2-4ac相似。

即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0 可推出為[2(x1y1+x2y2+x3y3-1)]2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) ≥0。

解：顯然當x12+x22+x32-1=0時，原不等式成立；當 x12+x22+x32-1≠0時，令f(t)=(x12+x22+x32-1)t2-2(x1y1+x2y2+x3y3-1)t+(y12+y22+y33-1)=(x1t-y1)2+(x2t-y2)2+(x3t-y3)2-(t-1)2。

因為x12+x22+x32＜1，所以f(t)圖像開口向下。

又因為f(1)≥0，所以圖像必與x軸相交。

所以△=4(x1y1+x2y2+x3y3-1)2-4(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1)≥0，

即(x1y1+x2y2+x3y3-1)2≥(x12+x22+x32-1)(y12+y22+y33-1) 成立。

例3 設A、B、C是△ABC的內角，x，y，z∈R，求證：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2xzcosB。

分析：初看這個問題似乎是解三角形中余弦定理的應用，但很快發現x、y、z并非A、B、C的對邊，這樣一來，余弦定理不可用，因此無從下手，但我們仍可從中觀察到x，y，z的次數最高為2，因此，我們可嘗試以x為自變量，y，z為參數，從而構造二次函數。

解 令f(x)=x2-2(ycosC+zcosB)x+(y2+z2-2yzcosA)。

△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4{-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA}=-4{y2sin2C+2yzsinBsinC+z2sin2B}=-4(ysinC+zsinB)2＜0，所以f(x)≥0恒成立，即原不等式成立。

三、 構造其他函數

高中階段不少函數是由基本初等函數經過有限次運算或復合而得到的，其性質可由有關定理而導出，可據其特征得出的函數性質解決問題。

例4 已知不等式(x2-20x+38)3+4(x2-20x+38)＜x3+4x，則x的范圍為________。

分析：顯然展開不等式右邊是不可能的，可看出不等式左、右兩邊形式相似，把x2-20x+38看作一個整體就有形式a3+4a＜b3+4b，因此可令f(t)=t3+t。

解：令f(t)=t3+t，且f(t)是一個奇函數，單調遞增 。

t1=x2-20x+38，t2=x。

因為f(t1)＜f(t2)?坩?圯 t1＜t2 即x2-20x+38＜x。解得2＜x＜9。

通過上述幾個構造函數問題的舉例，我們可以轉換視角獲得解題思路的突破，感受其奇異巧妙；我們還從中感受到數學的簡潔性、統一性、協調性、對稱性、概括性的“美感”，獲得數學的“美的意識”。

◆(作者單位：江西省南昌縣蓮塘第二中學)

責任編輯：周瑜芽