淺析賦值法在二項式定理中的應用

王選

二項式定理是歷年高考的必考內容之一，而用賦值法求二項展開式的系數和又是其重點考查的方向.但不少學生采用死記硬背的方式記憶賦值法，認為不管是什么題只要對x賦值-1、0、1就可以解決所有問題，當題目稍作修改就感覺無從下手，不知如何賦值.究其原因，關鍵是對賦值法的目的性不明確，不知為何這樣賦值.針對這一情況，我通過幾道例題來探討下如何在二項式定理中用好賦值法.

一、用賦值法解決二項式系數的有關問題

例1.已知（1-3x）=a+ax+ax+…+ax，求值：

（1）a+a+a+…+a；（2）|a|+|a|+|a|+…+|a|；（3）a+a+a+a+a.

分析：此題是利用二項展開式求有關系數的問題，可以用賦值法令x=1得所有系數之和，令x=-1可得奇數項的系數與偶數項的系數之間的關系，即f（-1）=（a+a+a+a+a）-（a+a+a+a+a）.

解：（1）設f（x）=（1-3x）=a+ax+ax+…+ax

令x=1，得：a+a+a+…+a=-2.

（2）在（1-3x）=a+ax+ax+…+ax中，a，a，…，a為正數，a，a，…，a為負數，

則|a|+|a|+|a|+…+|a|=（a+a+a+a+a）-（a+a+a+a+a）=f（-1）=4.

（3）由（1）（2）可得a+a+a+a+a=［f（1）+f（-1）］=（4-2）.

二、與構造法相結合的賦值

例2.若（x+1）（2x+1）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），求a+a+a+…+a的值.

分析：上式右邊是有關a，a，a，…，a的式子，只是多了x+2這一因式，若令x+2=1，右式即為所求.

解：令x+2=1，即x=-1，原等式可化為

［（-1）+1］（-2+1）=a+a+a+…+a

所以a+a+a+…+a=-2.

例3.若（2x+3）=a+a（x+2）+a（x+2）+a（x+2），求a+a+2a+4a.

分析：乍一看，此題a，a，a，a系數各不相同，用賦值法貌似很難處理，但如果將上式拆分成a，a+2a+4a兩部分.令x+2=0，a易求得；而a，a，a的系數分別為1、2、4，剛好成等比數列，且公比為2，只需令x+2=2即可解決這一問題。

解：令x+2=0，即x=-2，可得a=-1

令x+2=2，即x=0，可得27=a+2a+4a+8a

從而2a+4a+8a=28

即a+2a+4a=14

所以a+a+2a+4a=-1+14=13

三、綜合應用

例4.若（1-2x）=a+ax+ax+…+ax（x∈R）

求（1）+++…+

（2）a+2a+3a+…+2012a

分析：（1）觀察待求式，可將其化為a（）+a（）+a（）+…+a（），只需在原式中令x=即可，另外a可令x=0求得.

（2）所求式中各項系數分別為1，2，3，…，2012，與原等式中x的次數剛好一致，而（x）′=nx，所以可對原等式先求導再賦值.

解：（1）令x=，則0=a++++…+

令x=0，可得1=a

所以+++…+=-1

（2）對原等式左右兩邊同時關于x求導，可得：

［（1-2x）］=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

即-4024（1-2x）=0+a+2ax+3ax+…+2012ax

令x=可得：a+2a+3a+…+2012a=4024

點評：求展開式系數和或有關展開式系數和一個非常有效的方法是賦值法．在用“賦值法”求值時，要找準待求代數式與已知條件的聯系.如何賦值，要是具體情況而定，沒有一成不變的規律，靈活性較強.一般的，多項式f（x）的各項系數和為f（1），奇次項系數和為［f（1）-f（-1）］，偶次項系數和為［f（1）+f（-1）］；對于有些展開式要對關于x的因式賦值，要注意觀察；另外在賦值法中正確使用構造法，結合函數相關性質，可以在求解二項式問題時能收到事半功倍的效果.