解題教學因生成而精彩

孔德龍

【摘要】“絲絲入扣”的教學設計束縛了解題教學的靈活性，使解題教學成了教案的消極翻版，不能適應交互動態的教學過程.“動態生成”是新課程所提倡的一個重要的教學理念，問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析，小結讓學生思，對學生顯性知識和隱性知識的生成起了很好的作用.

【關鍵詞】動態生成；目標；方法；內容；過程

圖 1題目 如圖1，矩形ABCD中，〢D=12，AB=8，點E沿A→D方向在線段AD上移動，點F沿D→A方向在線段DA上移動，速度都是2個單位每秒，若E,F分別同時從A，D兩點出發，當E點移動到D點時，E,F都停止，設移動的時間為t秒.①t為何值時，四邊形BCFE的面積是矩形ABCD面積的3[]4？②t為何值時四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°？③BE與CF所成的夾角是否可能為120°？若有可能，請求出此時t的值；若沒有可能，請說明理由.

教學活動

第①問的討論：

學生1：由題意得AE=DF=2t，EF=12-4t，

S┨菪蜝CFE=1[]2（12-4t+12)×8=96-16t，

S┚匭蜛BCD=12×8=96.

因為S┨菪蜝CFE=3[]4S┚匭蜛BCD，

所以96-16t=3[]4×96，

即t=3[]2.

教師：很好，這種做法清楚明了，只是在計算線段EF長時要細心，不要出錯.

學生2：老師，我還有一種做法：因為S┨菪蜝CFE=3[]4S┚匭蜛BCD，所以S△ABE+S△CDF=1[]4S┚匭蜛BCD，所以1[]2×2t×8+1[]2×2t×8=1[]4×8×12，即t=3[]2.

教師：不錯，是一種好方法，計算很簡便.

第②問的討論：

圖 2學生3：如圖2，連接BF，CE相交于O點.在△ABE和△DCF中，

因為AE=DF，∠A=∠D=90°，〢B=狣C,

所以△ABE≌△DCF，〣E=狢F.

因為EF∥BC且EF≠BC，所以BCFE為等腰梯形.

在△BEC和△CFB中，因為BE=CF,∠EBC=∠FCB,BC=CB，

所以△BEC≌△CFB，∠BCE=∠CBF.

因為∠BOC=90°，所以∠BCE=∠CBE=45°.

從而∠AFB=∠ABF=45°，AB=AF.

即8=12-2t，t=2.

教師：在本題解答過程中，不少同學都是在找梯形上、下底之間的關系，你怎么想到找AB與AF之間關系的？

學生3：我把“對角線BF,CE夾角為90°”當條件，根據等腰梯形的軸對稱性可知∠OBC=∠OCB=45°，在求解過程中我才知道AB=AF.

教師：很好，從結論出發探索需要得到結論的各種條件，是一種很好的解題思路.

第③問的討論：

圖 3學生4：這是一個動點問題，如圖3，若∠BOC=120°,

則∠OCB=∠OBC=30°，所以∠AEB=30°.在玆t△ABE中，AB=8，則BE=16，AE=162-82=83.

因為AD=12，AE>AD,不合題意，

所以BE,CF所成的夾角不可能等于120°.

（大部分同學都贊同這種做法）

教師：學生4的做法，看似很有道理，是否有考慮不周到的地方呢？

學生5：BE,CF所成的夾角等于120°，也有可能是∠BOF=120°，則∠BOC=60°，所以∠OBC=∠OCB=60°，∠ABO=30°.在玆t△ABE中，AE=1[]2BE，AB=8，故AE=8[]33，所以t=8[]33÷2=4[]33.

（呀！的確存在，不少同學贊同）

圖 4學生6：我覺得有問題，若AE=8[]33，則DF=8[]33，那么AE+DF=16[]33<12，這時圖3就變成圖4了，BE與CF不相交，這時不存在∠BOF.

（這時，不少同學沉默了，又一次讓大家產生了疑慮，不少同學皺起了眉頭）

圖 5學生7：老師我覺得學生6所說的圖4的情況是存在的.

題目中BE與CF所成的角應該是指直線BE,CF所成的角，延長BE,CF交于O點，這時∠MOB=120°，如圖5，符合題意.

（這時同學們非常激動，不由自主地鼓起了掌）

教師：通過對本題的分析，你有哪些收獲？

學生8：我知道了BE,CF所成的夾角指的是直線BE,CF的夾角.

學生9：思考問題時要有靈感就必須熟練掌握基礎知識，比如遇到矩形、菱形、正方形、等腰梯形時可考慮軸對稱的知識.

學生10：問題③可分為BE,CF相交和不相交兩種情況考慮.

……

教學反思

“認真鉆研各種解法，精心設計解題過程”一直是數學教師不懈的追求，這種教學預設上的“精雕細琢”使解題教學在普遍意義上陷入了這樣一種狀態，教學以本為本，習慣從既定的教案出發，設計出一條讓學生盡快掌握多種解法的“快速通道”.“絲絲入扣”的教學設計束縛了解題教學的靈活性和變通性，使解題教學成了教案的消極翻版，不能適應交互動態的教學過程.“動態生成”是新課程所提倡的一個重要的教學理念，它強調課堂教學的設計和開發過程，重視師生活動的多樣性，真正體現學生的主體性.

1.學習目標的動態生成——問題讓學生提

學生帶著自己的知識經驗參與課堂教學活動，在復雜多變的教學情境的交互作用中，不斷產生新的問題.本課例在問題③的探究活動中，起初學生考慮問題不夠全面，但大部分同學認同，教師點撥后，認為BE與CF所成的夾角為120°，可能是∠BOC=120°，也可能是∠BOF=120°（圖3）.進而又產生了新的疑問，線段BE與CF不相交，怎么辦？最后，弄清了疑問.這些新的問題實際上指向不同的目標群，教師應能及時捕捉這些生成性目標，并將此作為教學進一步開展的契機.

2.認知結構的動態生成——方法讓學生悟

在教學活動過程中，學生與教材及教師產生交互作用，形成了數學知識、技能和能力，發展了情感態度和思維品質.問題①的探究中，學生提出兩種解法.問題②的探究中，學生根據等腰梯形的軸對稱性悟到AB與AE的數量關系.在教學設計中，更多地思考學生如何學，實現學生自己鉆研、領悟和感受的過程，放手讓學生觀察、比較、分類，從而讓學生實現對新的數學知識、思想和方法的心領神會.

3.學習方法的動態生成——思路讓學生講

傳統教學也強調方法指導，要教師把學習方法教給學生，而學習理論認為：學習方法應該是學生在學習知識的過程中動態生成的，而不是獨立于事物之外由教師傳授而得的.本課例力求不斷鼓勵學生發揮獨立性和創造性，從而在潛移默化中自主生成自己特有的學習方法.原本打算分析問題③時分BE與CF相交與不相交兩種情況，但學生思考的方向只有相交，在又分了∠BOC=120°或∠BOF=120°兩種情況之后，集體的力量展現出來，很好地展示了學生的思維過程.這是筆者沒有預料的.在解題教學設計中不是就題論題，而是從方法論的高度來指導解題教學，把解題過程加以“活化”，恢復其原有的生動性、形象性、創造性的一面.在問題②的探索分析中，學生提出根據AB=AF列式，這是一個不常規的思路，教者追問學生這個思路的由來，暴露了解題思路的探索過程，突出了解題中的探索環節及解題方法被發現的過程，有利于學生隱性知識的生成.

4.學習內容的動態生成——錯誤讓學生析

學生在學習過程中總會出現這樣或那樣的錯誤，教師應自始至終留心捕捉和篩選這些鮮活的錯誤作為資源，借此來調整教學行為.并有意識地讓學生去剖析，正本清源，巧用錯誤資源以促進生成，實現學生自悟.在問題③的分析中，學生的錯誤認識一個接著一個，如果教師主動干預，不讓學生分析錯誤的原因，就不會有這么多的精彩生成，就不可能積累豐富的解題經驗，解題能力也不可能得到有效的培養.

5.學習過程的動態生成——小結讓學生思

解題心理規律告訴我們，解題者在解題決策過程中可能百思不解，多次受阻，而后又可能突然領悟，此時的思維，具有很大的直覺性，可能顧不到對自己的思維進行整理，因此在解題后對思維過程、解題方法、教學思想進行反思，就能對數學解題過程獲得規律性的認識.比如回憶解題思路的產生過程，反復受阻的原因何在，問題解決中用了哪些教學方法，體現了怎樣的數學思想，能否把這些方法用于其他問題的解決等，一旦反思成為解題后的自覺行為，學生的主動生成就會不斷取代被動接受.本課例中，通過對分析本題的收獲的小結反思，學生收獲的層次不同，收獲的內容豐富，對學生顯性知識和隱性知識的生成起了很好的作用.