三角函數求最值的方法

張貴成

題型1利用有關三角公式化簡求最值。

例1若f（x）＝cos4x-2sinxcosx-sin4x。（1）求f（x）的最小正周期。（2）若x∈〔0,〕，求f（x）的最大值、最小值。

解：f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)( cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= cos(2x+)，所以f（x）的最小正周期T= = ?仔。

（2）因為0≤x≤，所以≤2x+ ≤。

當2x+= 時，cos（2x+）取得最大值；

當2x+=?仔 時，cos（2x+）取得最小值-1。

所以f（x）在〔0，〕最大值為1，最小值為- 。

例2已知函數f（x）＝ cos2x＋sinxcosx+1，x∈R。求當取最大值時，自變量Ｘ的集合？該函數圖像可由f（x）＝cos2x+經過怎樣的變換得到？

解：f（x）=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+， 所以f（x）的最大值為，這時2x+=+2k?仔，x=+k?仔，x的集合為｛x|x=+k?仔｝。

由f（x）＝cos2x+向右平移個單位得f（x）=sin(2x+)+。

題型2 利用配方法或換元法把三角函數的最值轉化為二次函數的最值。（注意區分有限制條件和無限制條件兩種類型以及隱含條件的挖掘）

例３已知函數f（x）=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤?仔)，求函數Ｙ的最值。

解：令t=sinθ-cosθ=sin(θ-)，因為θ∈[-，]，所以t∈[-1，]。

則t2=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t2， f(x)=1-t2+t=-(t-)2+。

當t=時，f（x）的最大值為，

當t=-1時，f（x）的最小值為-1。

例４ 設函數f（x）＝sin2x+acosx+a-(0≤x≤ )的最大值為1，求a的值。

解：f（x）＝sin2x+acosx+a-=-cos2x+acosx+a-，

令t=cosx，則t∈[0，1]，

f（x）＝-t2+at+a-=-(t-)2+(+a-)。

分情況討論：

（1）當a<0時，f（x）的最大值為1，a無解；

（2）當0

（3）當a>2時，f（x）的最大值為1，a無解。

綜上所述：a= 。

題型3與平面向量、三角形相結合求最值。

例5三角形ABC的三個內角為A、B、C，求當A為何值時，cosA+2cos取得最大值，并求最大值。

解：由A+B+C=?仔，得=-，所以cos=sin，

cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2（sin-)2+。

當sin=時，即A=時，cosA+2cos取得最大值。

（唐山市豐南區唐坊高中）