判斷函數一致連續性的幾種方法

李啟龍

摘要：函數的一致連續性是數學重要的概念，目前關于一致連續的判別方法主要是利用一致連續的定義和Cantor定理， 通過判斷函數一致連續性的兩種方法：導數判斷法和極限判斷法，以及對這兩種方法的相關定理的證明、實例介紹應用，使得對函數一致連續性的判斷方法簡單化、明了化。

關鍵詞：一致連續；導數判斷法；極限判斷法

弄清函數一致連續性的概念和掌握判斷函數一致連續性的方法無疑是學好函數一致連續理論的關鍵。數學分析中只給出的關于一致連續的判別方法主要是用一致連續性的定義和Cantor定理，為了使我們對函數一致連續性理論的全面掌握，作為對教材內容的適當擴充和補充，我另外歸納總結了以下兩種判斷函數一直連續的方法。

一、預備知識

定義 設函數f（x）定義在區間I上，若對于任意的ε>0，存在δ>0，對任意的x1，x2∈I。只要x1-x2<δ，就有f（x1）-f（x2）<ε，則稱f（x）在I上一致連續。

引理1若函數f（x）在［a，b］及［b，c］都一致連續，則f（x）在［a，c］上一致連續。

注：改［b，c］為［b，+∞］時，結論也成立。

引理2設函數f（x）在區間I上滿足Lipschitz條件，即存在常數L>0，使得對I上任意x'，x''兩點，都有f（x'）-f（x''）≤Lx'-x''，則f（x）在區間I上一致連續。

二、主要結論

1. 導數判斷法

從一致連續函數的定義及非一致連續函數的圖像分析易知，函數的一致連續性與函數“陡度”有關，函數在某點附近的“陡度”大，曲線在該點附近的切線斜率的絕對值就大，反之亦然，若函數可導，則“陡度”大小與導數值的“大小”有關，故有如下導數判斷法。

定理1設函數f（x）在區間I上可導，且f'（x）在區間I上有界，則函數f（x）在區間I上一致連續。

證明：由已知，f'（x）在區間I上有界，于是存在常數M使得對x∈I，有f'（x）≤M（M>0）。由微分中值定理，對任意的x1，x2∈I，有f（x1）-f（x2）=f'（x）x1-x2≤Mx1-x2。即f（x）在區間I上滿足Lipschitz條件，于是由引理2知f（x）在區間I上一致連續。

注：f'（x）在I上有界是f（x）在I上一致連續的充分而非必要條件。例如函數f（x）=xx在（0，1）上一致連續。事實上，f（x）=xx在（0，1）內連續，且f（x）=1，f（x）=1，但是f'（x）=（exlnx）'=exlnx［lnx+1］→-∞（x→0+）。

定理2 若函數f（x）在區間［a，+∞）（或（-∞，b］）上可導，且=+∞（或f'（x）=-∞，則f（x）在［a，+∞）（或（-∞，b］ ）上非一致連續。

證明：對于δ>0，取x1=n，x=n+（n為充分大的自然數)，滿足x1-x2=<δ，且當n→δ時，x1，x2→+∞。根據微分中值定理，存在ξ介于x1與x2之間，使得f（x1）-f（x2）=f'（ξ）?x-x=f'（ξ）→∞+（n→∞）。即f（x）在區間［a，+∞）上不一致連續。同理可證另一情況。

2. 極限判斷法

定理3 若函數f（x）在區間（-∞，+∞）內連續，且f（x）和f（x）都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

證明：ε>0，?堝δ1>0，由f（x）=A，當x>b時，有f（x）-A<。從而有x1，x2>b且x1-x2<δ1時，有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-A+f（x2）-A<ε。由此可知f（x）在［b，+∞）上一致連續。同理可證當x1-x2<δ2時，有f（x1）-f（x2）<ε。

根據引理1即知f（x）在（-∞，a］上一致連續。

又f（x）在［a，b］上連續，因此?堝δ3>0，當x1-x2<δ3 時，有f（x1）-f（x2）<ε，故f（x）在［a，b］上一致連續。

取δ=min｛δ1，δ2，δ3｝，當x1-x2<δ時，便有f（x1）-f（x2）<ε。

由定義1和引理1知f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

根據定理3容易得出以下推論：

推論1 ：函數f（x）在［a，+∞）內一致連續的充分條件是f（x）在［a，+∞）內連續且f（x）與（x）都存在。

推論2 ：函數f（x）在［a，+∞）內一致連續的充分條件是f（x）在［a，+∞）內連續且f（x）都存在。

推論3： 函數f（x）在（-∞，b）內一致連續的充分條件是f（x）在（-∞，b）內連續且f（x）與f（x）都存在。

推論4： 函數f（x）在（-∞，b］內一致連續的充分條件是f（x）在（-∞，b］內連續且f（x）存在。

定理4 函數f（x）在（-∞，+∞）上連續，g（x）在（-∞，+∞）上一致連續，且f（x）-g（x）=0，f（x）-g（x）=0，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

證明：只需證函數f（x）在［a，+∞）上一致連續，對ε>0，因為f（x）-g（x）=0，則?堝X1>0，當x>X1時，有f（x）-g（x）<。（1）

令X0=X1+1，在［a，X0］上，因為f（x）連續，故必一致連續，所以?堝0<δ1<1，當 x1，x2∈［a，X0］且x1-x2<δ時，有f（x1）-f（x2）<ε。（2）

因為g（x）在［X1，+∞）上一致連續，則?堝δ2>0，x1，x2∈［X1，+∞），當x1-x2<δ2時，有g（x1）-g（x2）<。（3）

令δ＝min（δ1，δ2），對x1，x2∈［a，+∞），當x1-x2<δ，若x1，x2∈［a，X0］時，有f（x1）-f（x2）<ε。

若x1X1，則由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，若x1，x2∈［X0，+∞），由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，因此ε＞0，?堝δ＞0，當x1，x2∈［a，+∞］，且x1-x2<δ時，就有f（x1）-f（x2）<ε。

故f（x）在［a，+∞）上一致連續，同理可證f（x）在（-∞，a］上一致連續，所以f（x）在（-∞，+∞）一致連續.

參考文獻：

[1]鞠正云.用導數判別函數的一致連續性[J].工科數學，1999(15).

[2]林遠華.對函數一致連續性的幾點討論[J].河池師專學報,2003(4).

（通渭縣雞川中學）