函數思想在數列解題中的應用

溫滿江

隨著新課程改革的實施與不斷創新，近幾年來，數列與函數的綜合已成為高考命題的重點與熱點，兩者交融的試題常常作為學生綜合能力考查的把關題。因此，在解決數列問題時，應充利用函數有關知識，以它的概念、圖像、性質為紐帶，架起函數與數列間的橋梁，揭示它們之間的內在聯系，從而有效地解決數列與函數的綜合問題。

一、理清數列與函數的關系

從函數觀點來看，數列是一類定義在正整數集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函數，當自變量從小到大依次取值時，an即為所對應的一列函數，而數列的通項公式、求和公式也就是相應函數的解析式?？梢?，任何數列問題都蘊涵著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征。特別地，對于等差數列的前n項求和公式與二次函數聯系相當緊密，一般都是按照求二次函數的最值方法來求數列前n項和的最值問題。同時，等比數列的通項公式及前n項求和公式也與我們非常熟悉的指數函數聯系相當緊密。

二、巧助函數解析式解決數列問題

數列是特殊的函數，由已知的函數解析式巧解數列問題是函數與數列交匯的基本形式體現。一般地，解決此類問題，主要是要對數列的通項公式及前n項和公式的特殊函數關系這一概念的理解與分析，進而合理地找到解決問題的主要思路和方法。

例1設函數f（x）=，求和s=f()+f()+…+

f()。

解析：我們知道，函數f（x）=具有一個重要特性，即

f（1-x）+f（x）=1，因此可利用這一特性解決求和的相關問題。

解：因為f（x）=，所以f（1-x）===，

所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有

s=f()+f()+…+f()， ①

s=f()+f()+…+f()。 ②

①+②得2s=2001，

即s=。

三、借助函數性質解決數列問題

函數性質是函數特征的顯性反映，深入了解并利用函數的性質可以大大簡化解題過程，會收到事半功倍的良好效果。如函數的單調性、周期性、奇偶性以及函數圖像等特殊性質在數列中應用非常廣泛。數列的通項公式就是一個函數表達式，求數列的最大項和最小項需要分析數列的函數性質，找準單調區間，或畫出圖像觀察最高點和最低點。求數列的最大項或最小項時，通常有兩種方法：一是考查數列的單調性；二是做出數列的點列圖形。通過下面這些問題的分析，不但可以使學生進一步鞏固函數的性質，而且可以提高學生解決數列問題的能力，進而培養學生全面分析問題與綜合應用數學知識解決問題的能力。

例2等差數列｛a｝中，Sn是它的前n項和。已知a5=10，Sn=3，求證：數列｛Sn｝是單調遞增數列。

解析：本題主要考查了數列的通項公式、前項和及函數性質，因此可先求出，再利用二次函數的性質來考慮單調性。

證明：設等差數列的公差為d，則利用等差數列的通項公式易得a1=-2，d=3，將其代入前n項和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。

設Sn對應函數為：y=（x-）2-，

則由二次函數性質易知當x≥時，函數y=（x-）2-為增函數。

所以，當n≥2時，有Sn+1≥Sn。

另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1時取得，即（Sn）min=S1，從而有S1

所以，數列｛Sn｝是單調遞增數列。

四、結合函數圖像解決數列問題

通常，函數圖像是函數特征的直觀體現，利用圖像解決數學問題（數形結合）是我們經常采用的手段。因此，在解決數列問題時，我們利用數列通項公式、前n項和公式中所反映的函數圖像來解決問題，常常會起到意想不到的效果。

例3 已知an=，則在數列｛an｝的前30項中，最大項和最小項分別是（ ）。

A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30

解：通過常數分離，可將an=分離為部分分式an=1+。

如圖所示，類似反比例函數的圖像，顯然a9最小，a10最大。故選C。

通過上述實例的分析與說明，我們可以發現，在數列的教學中，應重視函數思想的滲透，應該把函數概念、圖像、性質有機地融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高。另外，對上述問題還有許多其他的解法，我們應注意引導與發散，從而進一步提高學生分析問題與解決問題的能力。

總之，數學方法是提高學生分析問題和解決問題的主要基礎，也是培養學生數學意識的主要陣地。為此，我們在教學中必須樹立與時俱進的教育觀念，通過創設愉悅、和諧的教學氛圍，設計符合學生認知特點的問題，通過問題教學有效啟發學生思維，調動學生學習積極性，發揮學生學習潛能，培養其思維能力，促進學生全面發展，喚起學生的創新意識，最終在教學活動中努力提高學生的學習能力。

（通渭縣第二中學）