函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應用

溫滿江

隨著新課程改革的實施與不斷創(chuàng)新，近幾年來，數(shù)列與函數(shù)的綜合已成為高考命題的重點與熱點，兩者交融的試題常常作為學生綜合能力考查的把關題。因此，在解決數(shù)列問題時，應充利用函數(shù)有關知識，以它的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題。

一、理清數(shù)列與函數(shù)的關系

從函數(shù)觀點來看，數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時，an即為所對應的一列函數(shù)，而數(shù)列的通項公式、求和公式也就是相應函數(shù)的解析式。可見，任何數(shù)列問題都蘊涵著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征。特別地，對于等差數(shù)列的前n項求和公式與二次函數(shù)聯(lián)系相當緊密，一般都是按照求二次函數(shù)的最值方法來求數(shù)列前n項和的最值問題。同時，等比數(shù)列的通項公式及前n項求和公式也與我們非常熟悉的指數(shù)函數(shù)聯(lián)系相當緊密。

二、巧助函數(shù)解析式解決數(shù)列問題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，由已知的函數(shù)解析式巧解數(shù)列問題是函數(shù)與數(shù)列交匯的基本形式體現(xiàn)。一般地，解決此類問題，主要是要對數(shù)列的通項公式及前n項和公式的特殊函數(shù)關系這一概念的理解與分析，進而合理地找到解決問題的主要思路和方法。

例1設函數(shù)f（x）=，求和s=f()+f()+…+

f()。

解析：我們知道，函數(shù)f（x）=具有一個重要特性，即

f（1-x）+f（x）=1，因此可利用這一特性解決求和的相關問題。

解：因為f（x）=，所以f（1-x）===，

所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有

s=f()+f()+…+f()， ①

s=f()+f()+…+f()。 ②

①+②得2s=2001，

即s=。

三、借助函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題

函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)特征的顯性反映，深入了解并利用函數(shù)的性質(zhì)可以大大簡化解題過程，會收到事半功倍的良好效果。如函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及函數(shù)圖像等特殊性質(zhì)在數(shù)列中應用非常廣泛。數(shù)列的通項公式就是一個函數(shù)表達式，求數(shù)列的最大項和最小項需要分析數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，找準單調(diào)區(qū)間，或畫出圖像觀察最高點和最低點。求數(shù)列的最大項或最小項時，通常有兩種方法：一是考查數(shù)列的單調(diào)性；二是做出數(shù)列的點列圖形。通過下面這些問題的分析，不但可以使學生進一步鞏固函數(shù)的性質(zhì)，而且可以提高學生解決數(shù)列問題的能力，進而培養(yǎng)學生全面分析問題與綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力。

例2等差數(shù)列｛a｝中，Sn是它的前n項和。已知a5=10，Sn=3，求證：數(shù)列｛Sn｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

解析：本題主要考查了數(shù)列的通項公式、前項和及函數(shù)性質(zhì)，因此可先求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來考慮單調(diào)性。

證明：設等差數(shù)列的公差為d，則利用等差數(shù)列的通項公式易得a1=-2，d=3，將其代入前n項和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。

設Sn對應函數(shù)為：y=（x-）2-，

則由二次函數(shù)性質(zhì)易知當x≥時，函數(shù)y=（x-）2-為增函數(shù)。

所以，當n≥2時，有Sn+1≥Sn。

另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1時取得，即（Sn）min=S1，從而有S1

所以，數(shù)列｛Sn｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

四、結(jié)合函數(shù)圖像解決數(shù)列問題

通常，函數(shù)圖像是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn)，利用圖像解決數(shù)學問題（數(shù)形結(jié)合）是我們經(jīng)常采用的手段。因此，在解決數(shù)列問題時，我們利用數(shù)列通項公式、前n項和公式中所反映的函數(shù)圖像來解決問題，常常會起到意想不到的效果。

例3 已知an=，則在數(shù)列｛an｝的前30項中，最大項和最小項分別是（ ）。

A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30

解：通過常數(shù)分離，可將an=分離為部分分式an=1+。

如圖所示，類似反比例函數(shù)的圖像，顯然a9最小，a10最大。故選C。

通過上述實例的分析與說明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學中，應重視函數(shù)思想的滲透，應該把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學生的知識網(wǎng)絡得以不斷優(yōu)化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。另外，對上述問題還有許多其他的解法，我們應注意引導與發(fā)散，從而進一步提高學生分析問題與解決問題的能力。

總之，數(shù)學方法是提高學生分析問題和解決問題的主要基礎，也是培養(yǎng)學生數(shù)學意識的主要陣地。為此，我們在教學中必須樹立與時俱進的教育觀念，通過創(chuàng)設愉悅、和諧的教學氛圍，設計符合學生認知特點的問題，通過問題教學有效啟發(fā)學生思維，調(diào)動學生學習積極性，發(fā)揮學生學習潛能，培養(yǎng)其思維能力，促進學生全面發(fā)展，喚起學生的創(chuàng)新意識，最終在教學活動中努力提高學生的學習能力。

（通渭縣第二中學）