用二元一次方程組巧解古代數學名題

馬三麗

學習二元一次方程組，能解決生活中不少實際問題，并能學到新的數學模型和消元轉化思想。而有關二元一次方程組的一些名題趣題，更是來源于生活。現將二元一次方程組解應用題的步驟歸納如下：

（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母（如x、y）表示題目中的兩個未知數；（2）找出能夠表示應用題全部含意的兩個相等關系；（3）根據兩個相等關系列出代數式，從而列出兩個方程并組成方程組；（4）解這個二元一次方程組，求出未知數的值；（5）檢查所得結果的正確性及合理性；（6）寫出答案。

人們運用方程組解決含有多個未知數的問題已有很長的歷史，這個問題對于古代數學的發展起了重要的促進作用，現代高等代數中的許多內容都起源于對線性方程組的研究。中國古代數學在方程及方程組方面也有許多成果，例如，著名的“雞兔同籠”問題就可以利用二元一次方程組解決多元問題，《九章算術》等古代數學著作中也記載了有關方程組的一些內容，它們體現了人類對客觀世界中數量關系的不斷探究，從中可以看出人類追求真理的長期努力，折射出科學的源遠流長。在教學中，除關注在數學知識和能力方面得到提高之外，還應關注傳承數學文化方面的工作，結合二元一次方程組的內容進一步挖掘其文化內涵，使學生再次受到數學文化的熏陶。對數學思想方法的領悟與運用滲透在整個初中階段的數學學習過程中，是克服題海戰術，取得優異成績的有效策略。在列二元一次方程組解應用題中，若能靈活運用數學思想方法來求解，將能起到事半功倍的效果。本文結合例題加以分析，希望對教學有所幫助。

大約在一千八百年前，我國著名的算術書——《孫子算經》中有一道流傳久遠的名題，原文是：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉、兔各幾何？”

分析：這是雞兔同籠問題，題中有兩個相等關系：一是雞的頭加上兔子的頭共35個，二是雞的腳加上兔子的腳共64個。設出雞和兔子的個數，根據相等關系列出方程即可解得。

解：設雞有x只，兔子有y只，根據題意，得

x+y=352x+4y=94 解得x=23y=12

答：雞有23只，兔子有12只。

《孫子算經》中的另一道名題：“今有木，不知長短。引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問長木長多少尺？

解：設長木長x尺，引繩長y尺，根據題意，得

y-x=4.5x-y=1解得x=6.5y=11

答:長木長6.5尺。

世界著名的算術書《九章算術》中有這樣一道題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人只走60步。走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？

分析：本題可以看做是一道行程問題，題中的相等關系是兩者走的步數相等。

解：設走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y步，根據題意，得

x:y=100:60x=y+100解得x=250y=150

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人。

我國民間流傳的數學名題：

題1：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人，每人7兩少7兩，每人半斤多半斤，試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：這里的斤是指市斤，1市斤=10兩）

解：設x個人分y兩銀子，根據題意，得

7x-y=7y-5x=5 解得x=6y=35

答：有6人分35兩銀子。

題2：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一個，一人兩個少兩個，請問君子知道否，幾個老頭幾個梨？

解：設有x個老頭，y個梨，根據題意，得：

x=y-12x=y+2 解得x=3y=4

答：有3個老頭，4個梨。

另外：附解答應用題心得。

（1）讀懂題意，把不相關的語言精簡掉，現在應用題考的不是數學，而是語文的閱讀能力。

（2）巧設未知數。一道應用題中可以把幾個量都設為未知數，但是哪一個更為簡便，要仔細斟酌。

（3）根據等量關系列出方程。

（4）解方程。此時可能會遇到兩個未知數，而只能列出一個方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數、物體的個數，都要是正整數，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗根。

（5）寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要占分數的。

（6）勤加練習，熟能生巧。只有不斷練習，才能觸類旁通，舉一反三。

（通渭縣第二中學）