利用構造法解初中代數題的意義

劉翠華

初中代數是初中數學的重要組成部分，本文主要從解代數題這一角度出發，研究如何應用構造法解代數題，以及利用構造法解初中代數題的意義。

一、初中代數的內容聯系及地位作用

初中代數是初中數學的重要組成部分。它包括數、式、方程和不等式、函數的初步知識及統計初步知識這五部分基本內容。笛卡爾模式告訴我們，一切問題可以轉化為數學問題，一切數學問題可以轉化為代數問題。這個模式雖不是萬能的，但它在解決數學問題時確有重要作用。研究初中代數，是進一步學習其他數學知識的前提與基礎。在初中代數中，方程處于承前啟后的地位，它前承數、式的學習，后啟不等式、函數的學習，它們相輔相承、相互作用，構成了初中代數的理論基石。

二、利用構造法解代數題的實質

利用構造法解代數題，就是根據需要與可能構造出題設條件所沒有給出的數（或式）、方程、不等式、函數、圖形、命題等，以溝通題設條件與待求或待證結論的一種創造性的數學方法。

三、利用構造法解代數題應注意的問題

利用構造法解代數題，需要搞懂兩個問題：（1）弄清為什么目的而構造，明確構造方向；（2）全面分析題設條件及結論特點，設計構造方案。這兩個問題是用構造法解決代數題的關鍵。

四、利用構造法解初中代數題的幾種常見情形

1. 構造輔助函數

所謂構造輔助函數，就是依據給定問題的條件與結論，構造出一個函數解析式，利用函數的某些性質和圖象來幫助解決問題。

例：若x，y，z∈（0，1），則有x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

證明：構建一次函數f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）從而，于是對0＜x＜1，都有f（x）＜1，從而有（1-y-z）x+y（1-z）+z＜1即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

2. 構造輔助數與式

根據問題的特征，構造出一個聯系條件和結論的數或式子，架起一座解題的橋梁。

例：試證在0與1之間有無窮個有理數。分析：此題從正面思考較困難，可使用反證法并通過構造新數導出矛盾。

證明：假設在0與1之間僅有n個有理數a1，a2，…an，由于任兩個有理數之積仍是有理數，于是構造一個與a1，a2，…an都不相同的有理數p=a1?a2……an。∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，…，0＜an＜1，∴0＜p＜1則說明在0與1之間至少有n+1個有理數，這與假設矛盾，故在0與1之間有無窮個有理數。

3. 構造輔助方程（或方程組）

有些數學計算或證明問題，與方程的求解密切相關，我們可通過分析構造出相應的方程（或方程組），然后由方程的求解或解的性質使問題得到解決。

例：已知方程組3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的值。

分析：兩個方程含三個未知數，不易解出各未知數，但觀察待求結論與已知方程組的特征，可將x+y+z看成一個“未知數”，將原方程組變形為含兩個“未知數”的二元一次方程組，問題便迎刃而解。

解：原方程組可化為（x+y+z）x+2（x+3y）=3 ，（1）（x+y+z）x+3（x+3y）=4 ，（2）

（1）×3－（2）×2得=1。

4. 構造輔助不等式（或不等式組）

有些數學問題，蘊涵著量與量之間的不等關系，可通過建立不等式（或不等式組），使問題得到解決。

例：某廠生產一種機器零件，固定成本為20 000元，每個零件成本為3元，售價為5元，應納稅為總銷售額的10%，若要使利潤超過固定成本，則該零件至少要生產銷售多少個？

解：設零件至少銷售x個，總售價為5x元，成本為3x元，納稅5x×10%，則可構建不等式5x-（3x+5x×10%）＞20 000。

解得x＞13 333。又因x為整數，所以該零件至少要生產銷售13 334個。

5. 構造輔助圖形

當代著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”數形結合，相得益彰。根據代數題目特點，構造所涉及元素的圖形，則可化抽象為形象，借助直觀啟發思維，從而快速找到解題思路，收到事半功倍的效果。下面分兩方面來闡述。

（1）圖示法：借助圖表來說明問題的方法叫做圖示法。

用韋恩圖表示集合之間的關系。由于初中數學中已滲透了集合思想，所以可借助韋恩圖直觀地顯示出各集合之間的關系。一般用圓面來表示集合，兩個圓面相交，則表示兩個集合含有公共元素，兩個圓面相離，則表示兩個集合不含公共元素。

例：某學校共有三個科技興趣小組：天文、環保和計算機。已知參加三個興趣小組的學生分別是24、25、30人；同時參加天文、環保興趣小組的有5人，同時參加天文、計算機興趣小組的有2人，同時參加環保、計算機興趣小組的有4人，有1人同時參加這三個興趣小組，問共有多少個學生參加了科技興趣小組？

解：根據題意構造圖（見下圖），可知參加科技興趣小組總人數為：

18+17+25+4+1+3+1=69（人）

（2）幾何圖形法。

有些問題表面上看屬于代數問題，但運用代數方法又難以求解，這時不妨換個角度去思考，根據題設條件，構造出與之相對應的幾何圖形，問題使可解決。

6. 構造輔助命題

當某些命題不易直接入手論證時，可去構造其輔助命題，使綜合問題逐步分解轉化，達到解決的目的。

例：若a3+b3+c3-3abc=0，且a+b+c≠0，則a=b=c。

證明：構造輔助命題：若a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，則a=b=c。

∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a-b=b-c=c-a=0，即a=b=c。

又a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），

且a+b+c≠0，∴a=b=c。

綜上所述，數學是在學習期間培養學生的創新意識的最有效途徑之一。構造法正是創造性思維在數學中的一種具體體現。它不僅培養了學生思維的獨創性、多向性、靈活性與批判性，同時把多種數學思想方法融為一體，如觀察、猜想、化歸、數形結合等，打破了思維定式，使學生的智能得到開發與拓展，培養了學生的創新意識及探索知識的能力，使他們不僅學會學習，而且學會思考、學會創造，最終學會生存。

（賓縣居仁中學）