求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本方法

王艷雙

新課改使高中課程發(fā)生很大的變化，減少和增加了很多內(nèi)容，其中增加了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。函數(shù)零點(diǎn)涉及到很多方法：如等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，還有近似求函數(shù)零點(diǎn)方法——二分法這些成為求函數(shù)零點(diǎn)的基本策略。

一、求函數(shù)的零點(diǎn)

例1求函數(shù)y=x2-（x<0）2x-1（x≥0）的零點(diǎn)。

解：令x2-1=0（x<0），解得x=1，

2x-1=0（x≥0），解得x=。

所以原函數(shù)的零點(diǎn)為和-1和。

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，通過(guò)因式分解把方程轉(zhuǎn)化為一（二）次方程求解。

二、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例2求f（x）=x-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解：函數(shù)的定義域（-∞，0）∪（0，＋∞）。

令f（x）=0即x-=0，

解得：x=2或x=-2。

所以原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化為方程直接求出函數(shù)零點(diǎn)，注意函數(shù)的定義域。

三、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)反求參數(shù)

例3若方程ax-x-a=0有兩個(gè)解,求a的取值范圍。

析：方程ax-x-a=0轉(zhuǎn)化為ax=x+a。

由題知，方程ax-x-a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=ax與y=a+x 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示。

（1）0

此種情況不符合題意。

（2）a>1。

直線y=x+a 在y軸上的截距大于1時(shí)，函數(shù)y=ax與函數(shù)y=a+x 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

所以a<0與0

點(diǎn)評(píng)：采用分類討論與用數(shù)形結(jié)合的思想。

四、用二分法近似求解零點(diǎn)

例4求函數(shù)f（x）=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)（精確到0.1）。

解：（1）第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間（a，b），可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，并盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通常可確定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間。

（2）列表如下：

零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長(zhǎng)度

（1，2）f（1.5） >0 1

（1，1.5） f（1.25） <00.5

（1.25,1.5） f（1.375） <00.25

（1.375,1.5） f（1.438）>0 0.125

（1.375,1.438） f（1.4065）>0 0.0625

可知區(qū)間（1.375，1.438）長(zhǎng)度小于0.1，故可在（1.375，1.438）內(nèi)取1.4065作為函數(shù)f（x）正數(shù)的零點(diǎn)的近似值。

點(diǎn)評(píng)：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中，首先依據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)存在的一個(gè)區(qū)間，此區(qū)間選取應(yīng)盡量小，并且易于計(jì)算，再不斷取區(qū)間中點(diǎn)，把區(qū)間的范圍逐步縮小，使得在縮小的區(qū)間內(nèi)存在一零點(diǎn)。當(dāng)達(dá)到精確度時(shí)，這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值均可作為函數(shù)的零點(diǎn)。

（承德縣第一中學(xué)）