芻議三角函數的最值之常見求法

劉金華

一、考綱要求

能利用有界性法、換元法等方法求某些簡單的三角函數在給定區間上的最值，并會把某些簡單的實際問題化歸成三角函數的最值問題來解決。

二、知識要點

1. 求三角函數的最值，根據變換的方向不同，通常有如下方法

（1）三角方法。先通過三角恒等變換，轉換為y=Asin(ωx+ψ)+B。（2）代數方法。先通過變量代換轉化為代數函數。（3）解析法（也可以說數形結合法）。（4）導數法。

2. 求三角函數的最值，根據函數式特點不同，通常有如下類型

（1）y=asinx+bcosx+c型；（2）y=Asin2x+Bsinx+C（或y=Acosx2x+Bcosx+C）型；（3）y=asinxcosx+b（sinx

±cosx）+c型；（4）y=（或y=）型；（5）y=型；（6）y=型。

三、考題解析

例1 設a∈R，f（x）=（asinx-cosx）+cos2（-x）滿足f(-)=f（0），求函數f（x）在［，］上的最大值與最小值。

簡解：∵由f(-)=f（0）得a=2，因此

f（x）=2sin（2x-）。∴由單調性可得，f（x）的最大值為f（）=2, f（x）的最小值為［］=。

例2當0＜x＜時，函數f（x）=的最小值為（ ）。

A．2B．2C．4 D．4

方法1：∵f（x）=4tanx+≥2=4（易知tanx＞0），故選C。

方法2：∵f（x）=， 令y=，

∴sin（2x+φ）=5，∴≥5得y≥4或y≤-4（舍去）。

例3函數y=sin2x+sinx-1的值域為（）。

A．［-1，1］B．［-，-1］ C．［-，1］D．［-1，］

簡解：∵y=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-， ∴-≤y≤1，故選C。

例題4在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。

（1）將十字形的面積表示為θ的函數；（2）θ為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？

簡解：（1）設S為十字形的面積，則S=2xy-x2=2sinθcosθ-

cos2θ（＜θ＜）。

（2）方法1：由（1）化簡得S=sin（2θ-φ）-，其中φ=arccos。當sin（2θ-φ）=1即2θ-φ=時，S最大。所以，當θ=+arccos時，S最大。S的最大值為 。

方法2： 導數法（略）。

（新余市第四中學）