恒成立問題中的“交、并、補”

王冬保

摘要： 近幾年的高考試題中，有很多涉及不等式的恒成立問題和存在性問題，不僅考查了函數、不等式等傳統知識和方法，而且考查了導數等新增知識掌握情況和靈活運用，充分體現了能力立意的原則，越來越受到高考命題者的青睞.本文對恒成立問題的解集如何進行合理的處理進行了簡明的闡述.

關鍵詞： 恒成立問題交集并集補集

恒成立問題是高中數學中的常見問題，是高考中的一個熱點，更是一個難點.在平時的教學中，我們經常會遇到這樣的問題：當把恒成立問題向基本類型轉化，分情況進行討論的時候，最后的解集該怎么確定呢？大部分學生總是按照先取交集后取并集的程序完成，這樣往往會導致錯解.針對這一問題，本文將結合以下兩個實例，談談如何對恒成立問題的解集進行合理的處理.

例1：已知不等式|a-2x|＞x-1，對x∈［0，2］恒成立，求a取值范圍.

解法1：對已知變量x進行討論，將恒成立問題轉化為最值問題：

原不等式化為x-1＜0a∈R①或x-1≥0a-2x＞x-1或a-2x＜-（x-1）②

由②式得x≥1a＞3x-1或a＜x+1③

對于③式，即x∈［1，2］恒成立，

即a＞［3x-1］=3×2-1=5或a＜［x+1］=1+1=2.

∴{a|a∈R}∩{a|a＞5或a＜2}={a|a＞5或a＜2}

說明：解法1對已知變量x進行討論，分x＜1和x≥1兩種情況，每種情況得到的a值對該部分的已知變量x成立，而我們要對任意的x∈［0，2］都成立，故取其兩種情況的公共解，即其兩種情況的交集.

解法2：轉化為其否定形式，將恒成立問題轉化為有解問題：

?堝x∈［0，2］，使得|a-2x|≤x-1成立，即當x∈［0，2］內不等式|a-2x|≤x-1有解.

∵|a-2x|≤x-1?圳x-1＜0a∈?覫或x-1≥0-x+1≤a-2x≤x-1

∴x≥1x+1≤ax≤3x-1

故只需x∈［1，2］內，有［x+1］≤a≤［3x-1］

∴2≤a≤5

∴a∈（-∞，2）∪（5，+∞）［１］

說明：解法2將恒成立問題轉化為其否定形式，得到的a值是恒成立問題的反面，故取其解集的補集.

同理，本文例2的恒成立問題，可采用同種方式處理.

例2：已知函數f（x）=|x-a|+（x＞0），欲使f（x）≥恒成立，求a的取值范圍.

解：對已知變量x進行討論，故取其交集:

①當-≥0時，即x≥2，原不等式等價于

a-x≥-或a-x≤+

∴a≥x-+或a≤x+-

而x-+在［2，+∞）上遞增，值域為［2，+∞），無最大值，

故a≥x-+的a不存在.

∴a∈?覫.

又x+-在（0，1］上遞減，在［1，+∞）上遞增，又x∈［2，+∞），［x+-］=2，

∴a≤2

由于是“或”的聯結，a是以上兩集合并集

∴a≤2.

②當-＜0時，即0＜x＜2時，故a∈R.

綜上所述，欲使f（x）≥恒成立，故a≤2.

從以上兩個實例可以看出：在恒成立問題中，當我們對變量進行分類討論的時候，每種情況只對部分的已知變量成立，故所求參數的解集是各種情況的交集；當我們對所求的參數進行分類討論的時候，每種情況對所有已知變量都恒成立，故所求參數的解集是各種情況的并集；當我們把恒成立問題轉化為有解問題的時候，即恒成立問題的否定形式，故取其補集.所以，在處理恒成立問題的解集時，不能機械地看最后是取“并”、取“交”還是取“補”，而是要看對誰討論，求的又是那個變量的范圍，具體問題具體分析.

參考文獻：

［1］蔡德華.含參數的不等式|a-f（x）|＞g（x）恒成立問題的一個常見錯誤.中學數學教學參考，2008.8.

［2］簡紹煌.從題目錯解反思含絕對值不等式的解法.中學數學教學參考，2009.1.