對簡易邏輯的理解及教學建議

柏慶

摘要自20世紀以來,數(shù)學語言發(fā)生了顯著的變化,即自然語言逐漸減少,代之以集合之間的運算及命題之間的邏輯演算這些形式化(或符號化)的語言，這一改變?yōu)閿?shù)學打下了堅實的基礎(chǔ)，又為計算機的發(fā)展和應(yīng)用提供了工具。

關(guān)鍵詞計算機；邏輯；課程改革

一、問題的提出

自20世紀以來,數(shù)學語言發(fā)生了顯著的變化,即自然語言逐漸減少,代之以集合之間的運算及命題之間的邏輯演算這些形式化(或符號化)的語言，這一改變?yōu)閿?shù)學打下了堅實的基礎(chǔ)，又為計算機的發(fā)展和應(yīng)用提供了工具。為了順應(yīng)時代發(fā)展及課程改革的需要，北京師范大學出版社新編的高中選修1-1數(shù)學教科書增加了《常用邏輯用語》一節(jié)內(nèi)容。該節(jié)內(nèi)容當屬命題邏輯的范圍。盡管內(nèi)容并不很多，但在教學過程中，教師的教和學生的學都不同程度地存在一些問題。如對“命題的否定”、“復(fù)合命題的構(gòu)造”等內(nèi)容，存在著不同看法，即使在中學數(shù)學教育雜志上，對上述問題的爭論也很多，并沒有形成統(tǒng)一的認識。這對“簡易邏輯”的教學和研究都是很不利的。

二、主要結(jié)果

1.關(guān)于命題

命題是什么，說法很多。教材中定義：可以判斷真假的語句叫命題。通常認為命題就是表達判斷的語句。因此命題有兩個重要的邏輯特征：其一是對判斷對象有所肯定或否定，其二是能判斷其真假。例如語句“太陽從東邊升”，作為一個判斷，它是正確的，所以它是命題，是一個真命題。命題作為一個句子，必有主語、謂語和聯(lián)系主謂語的聯(lián)系詞。例如“8是4的倍數(shù)”是一個簡單命題。“8”是主語，“4的約數(shù)”是謂語，“是”是聯(lián)系詞。命題中的主語表示命題對象的概念，稱為命題的主項。命題中的謂語表示命題對象所具有(或不具有)的某種性質(zhì)的概念，稱為命題的謂項。“是(或不是)”聯(lián)系主項與謂項，稱為命題的聯(lián)項。在命題的主項前面都有一個表示命題對象數(shù)量的概念，稱為命題的量詞。量詞有兩種：一是全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，如“所有”、“一切”、“任意””等；二是存在量詞：表示個別或一部分的含義，如“有的”、“某些”等，在命題中，全稱量詞常可省略，而特征量詞不能省略。

2.關(guān)于“非p”命題

對整個命題p 加以否定得到新的命題叫做“非p”命題，即非命題。“非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p 的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結(jié)論，這也是“非p”與否命題的區(qū)別。所以欲寫“非p”應(yīng)先搞清p 的條件和結(jié)論，另外p 與“非p”的真假必須相反。含有量詞的命題“p”與“非p”之間怎樣轉(zhuǎn)換呢？看以下幾例

（1）p：正方形的內(nèi)角都是直角。

非P：有些正方形的內(nèi)角不是直角。

（2） p：有些學生身高超過1米8。

非P：所有學生的身高都不超過1米8。

（3）p：有些素數(shù)不是奇數(shù)；

非P：所有素數(shù)是奇數(shù)。

（4） p：直角三角形的斜邊與兩條直角邊都不相等；

非p：有些直角三角形的斜邊與直角邊相等。

通過以上實例，推廣到一般，可以得到：含有量詞的命題的否定，是先將量詞進行轉(zhuǎn)化，即將全稱量詞轉(zhuǎn)化成存在量詞，將存在量詞轉(zhuǎn)化成全稱量詞，然后再對結(jié)論加以否定。

三、關(guān)于復(fù)合命題“p”或“q”與“p 且q”

復(fù)合命題“p 或q”、“p 且q”是邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”聯(lián)結(jié)兩個命題p 與q。既不能用“或”與“且”去聯(lián)結(jié)兩個命題的條件，也不能用它們?nèi)ヂ?lián)結(jié)兩個命題的結(jié)論。復(fù)合命題“p 或q”、“p 且q”命題p、q 的關(guān)系有三種類型：

（1）p、q 的主項概念、謂項概念都不相同，如：

p：菱形的四邊相等。

q：正方形的對角線相互垂直。

“p 或q”：菱形的四邊相等或正方形兩條對角線相互垂直。

“p 且q”：菱形的四邊相等且正方形兩條對角線相互垂直。

（2）p、q 的主項概念相同，謂項概念不相同，如：

p：12是3的倍數(shù)。

q：12是24的約數(shù)。

“p 或q”： 12是3的倍數(shù)或是24的約數(shù)。

“p 且q”： 12是3的倍數(shù)且是24的約數(shù)。

（3）p、q 的主項概念不同，而謂項概念相同，如：

p：對頂角相等。

q：同角的補角相等。

“p 或q”：對頂角相等或同角的補角相等。

“p 且q”：對頂角相等且同角的補角相等。

四、建議

為了學生能比較輕松的學好這一段內(nèi)容，我想我們教師可以做到以下幾點：

建議一： 在邏輯的教學中，一定要謹慎，不要想當然，多斟酌。 我們有機會也可以多和語文老師溝通，探討語言、語法結(jié)構(gòu)上的判斷詞、聯(lián)結(jié)詞、量詞與數(shù)學語言的差別和聯(lián)系，在一些命題的表述過程中將文字語言與數(shù)學符號有機地結(jié)合起來使用，便于學生理解。

建議二：教學過程中，不要只對學生進行大規(guī)模的訓(xùn)練。應(yīng)多注意培養(yǎng)、提高學生轉(zhuǎn)換命題與構(gòu)造命題的能力。學生能在自己的創(chuàng)造過程中發(fā)現(xiàn)問題，以此激發(fā)探究的激情，有助于完善他們對客觀世界的理性認識，并能逐步提高對事物的判斷能力。

總之，新教材的眾多閃光點，我們將在漸進的教學過程中逐步體會到。我們要利用好新教材中的這些閃光點。讓我們的學生學得輕松一點、優(yōu)秀一點。

參考文獻：

[1]李三平.高中數(shù)學與中學數(shù)學[M].西安：陜西師范大學出版社，2006.