對簡易邏輯的理解及教學建議

柏慶

摘要自20世紀以來,數學語言發生了顯著的變化,即自然語言逐漸減少,代之以集合之間的運算及命題之間的邏輯演算這些形式化(或符號化)的語言，這一改變為數學打下了堅實的基礎，又為計算機的發展和應用提供了工具。

關鍵詞計算機；邏輯；課程改革

一、問題的提出

自20世紀以來,數學語言發生了顯著的變化,即自然語言逐漸減少,代之以集合之間的運算及命題之間的邏輯演算這些形式化(或符號化)的語言，這一改變為數學打下了堅實的基礎，又為計算機的發展和應用提供了工具。為了順應時代發展及課程改革的需要，北京師范大學出版社新編的高中選修1-1數學教科書增加了《常用邏輯用語》一節內容。該節內容當屬命題邏輯的范圍。盡管內容并不很多，但在教學過程中，教師的教和學生的學都不同程度地存在一些問題。如對“命題的否定”、“復合命題的構造”等內容，存在著不同看法，即使在中學數學教育雜志上，對上述問題的爭論也很多，并沒有形成統一的認識。這對“簡易邏輯”的教學和研究都是很不利的。

二、主要結果

1.關于命題

命題是什么，說法很多。教材中定義：可以判斷真假的語句叫命題。通常認為命題就是表達判斷的語句。因此命題有兩個重要的邏輯特征：其一是對判斷對象有所肯定或否定，其二是能判斷其真假。例如語句“太陽從東邊升”，作為一個判斷，它是正確的，所以它是命題，是一個真命題。命題作為一個句子，必有主語、謂語和聯系主謂語的聯系詞。例如“8是4的倍數”是一個簡單命題。“8”是主語，“4的約數”是謂語，“是”是聯系詞。命題中的主語表示命題對象的概念，稱為命題的主項。命題中的謂語表示命題對象所具有(或不具有)的某種性質的概念，稱為命題的謂項。“是(或不是)”聯系主項與謂項，稱為命題的聯項。在命題的主項前面都有一個表示命題對象數量的概念，稱為命題的量詞。量詞有兩種：一是全稱量詞：在指定范圍內，表示整體或全部的含義，如“所有”、“一切”、“任意””等；二是存在量詞：表示個別或一部分的含義，如“有的”、“某些”等，在命題中，全稱量詞常可省略，而特征量詞不能省略。

2.關于“非p”命題

對整個命題p 加以否定得到新的命題叫做“非p”命題，即非命題。“非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p 的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結論，這也是“非p”與否命題的區別。所以欲寫“非p”應先搞清p 的條件和結論，另外p 與“非p”的真假必須相反。含有量詞的命題“p”與“非p”之間怎樣轉換呢？看以下幾例

（1）p：正方形的內角都是直角。

非P：有些正方形的內角不是直角。

（2） p：有些學生身高超過1米8。

非P：所有學生的身高都不超過1米8。

（3）p：有些素數不是奇數；

非P：所有素數是奇數。

（4） p：直角三角形的斜邊與兩條直角邊都不相等；

非p：有些直角三角形的斜邊與直角邊相等。

通過以上實例，推廣到一般，可以得到：含有量詞的命題的否定，是先將量詞進行轉化，即將全稱量詞轉化成存在量詞，將存在量詞轉化成全稱量詞，然后再對結論加以否定。

三、關于復合命題“p”或“q”與“p 且q”

復合命題“p 或q”、“p 且q”是邏輯聯結詞“或”與“且”聯結兩個命題p 與q。既不能用“或”與“且”去聯結兩個命題的條件，也不能用它們去聯結兩個命題的結論。復合命題“p 或q”、“p 且q”命題p、q 的關系有三種類型：

（1）p、q 的主項概念、謂項概念都不相同，如：

p：菱形的四邊相等。

q：正方形的對角線相互垂直。

“p 或q”：菱形的四邊相等或正方形兩條對角線相互垂直。

“p 且q”：菱形的四邊相等且正方形兩條對角線相互垂直。

（2）p、q 的主項概念相同，謂項概念不相同，如：

p：12是3的倍數。

q：12是24的約數。

“p 或q”： 12是3的倍數或是24的約數。

“p 且q”： 12是3的倍數且是24的約數。

（3）p、q 的主項概念不同，而謂項概念相同，如：

p：對頂角相等。

q：同角的補角相等。

“p 或q”：對頂角相等或同角的補角相等。

“p 且q”：對頂角相等且同角的補角相等。

四、建議

為了學生能比較輕松的學好這一段內容，我想我們教師可以做到以下幾點：

建議一： 在邏輯的教學中，一定要謹慎，不要想當然，多斟酌。 我們有機會也可以多和語文老師溝通，探討語言、語法結構上的判斷詞、聯結詞、量詞與數學語言的差別和聯系，在一些命題的表述過程中將文字語言與數學符號有機地結合起來使用，便于學生理解。

建議二：教學過程中，不要只對學生進行大規模的訓練。應多注意培養、提高學生轉換命題與構造命題的能力。學生能在自己的創造過程中發現問題，以此激發探究的激情，有助于完善他們對客觀世界的理性認識，并能逐步提高對事物的判斷能力。

總之，新教材的眾多閃光點，我們將在漸進的教學過程中逐步體會到。我們要利用好新教材中的這些閃光點。讓我們的學生學得輕松一點、優秀一點。

參考文獻：

[1]李三平.高中數學與中學數學[M].西安：陜西師范大學出版社，2006.