求取值范圍問題中構造不等式(組)的常用方法

徐勵

摘要： 本文列舉了多種構造不等式（組）的常用方法，如利用三角函數的單調性、判別式、平幾知識、恒成立條件、數形結合、函數值域、圓錐曲線的幾何性質和定義、均值定理等.

關鍵詞： 求取值范圍問題構造不等式（組）解題方法

求取值范圍問題，是中學數學教學的難點，難因有二：一是如何建立或構造不等式（組），二是如何求解不等式（組）.由于這類問題涉及中學數學的許多知識與方法，交匯性強，能考查學生的綜合能力，因而是歷年高考的熱點之一.縱觀歷年高考題，求取值范圍問題，一般都需要通過解不等式（組）來解決問題，而在題目沒有給出明確的不等式（組）時，就需要挖掘題意，轉化已知條件，構造或建立不等式（組），常用的方法有如下幾種.

一、利用三角函數值的符號或三角函數的單調性構造不等式（組）

例1（07年高考廣東卷理16）. 已知△ABC頂點直角坐標分別為A（3,4）,B（0,0）,C（c,0）,（1）略；（2）若∠A是鈍角，求c的取值范圍.

解析：∵=（-3，-4），=（c-3，-4），

又∵∠A是鈍角

∴cos∠A=＜0

∴-3c+9+16＜0c≠0

解得c＞

∴c的取值范圍是（，+∞）.

二、利用判別式或判別式與一元二次方程根的分布情況構造不等式（組）

例2（09年高考全國卷一理21）．如圖，已知拋物線E：y=x與圓M：（x-4）+y=r（r＞0）相交于A、B、C、D四個點.

（I）求r的取值范圍；

（II）（略）.

解析：將拋物線E:y=x與圓M:（x-4）+y=r（r＞0）的方程聯立，消去y，整理得 x-7x+16-r=0……………（＊）

拋物線E:y=x與圓M:（x-4）+y=r（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：方程（＊）有兩個不相等的正根.

∴49-4（16-r）＞016-r＞0

∴r∈（，4）.

三、利用平面幾何知識構造不等式（組）

例3（08年高考福建卷理14）.若直線3x+4y+m=0與圓x=1+cosθy=-2+sinθ（θ為參數）沒有公共點，則實數m的取值范圍是.

解析：將x=1+cosθy=-2+sinθ化為標準方程，得（x-1）+（y+2）=1

∵直線3x+4y+m=0與圓沒有公共點

∴＞1

∴|m-5|＞ 5

∴m＞10或 m＜0

∴實數m的取值范圍是（-∞,0）∪（10,+∞）.

四、由恒成立條件構造不等式（組）

例4（０９高考全國卷二文２２）. 設函數f（x）=x-（1-a）x+4ax+24a，其中常數a＞1,

（Ⅰ）討論f（x）的單調性;

（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍.

解析：（I）（略）

（II）由（I）知，當≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值.

f（2a）=（2a）-（1+a）（2a）+4a·2a+24a

=-a+4a+24a

f（0）=24a

∵ｘ≥０時，f（x） ＞0恒成立

∴ｘ≥０，f（x） ＞0成立

a＞1f（2a）＞0f（0）＞0，即a＞1-a（a+3）（a-6）＞0,24a＞0.

解得1＜a＜6.

故a的取值范圍是（1，6）.

五、利用數形結合構造不等式（組）

例5（08年高考江西卷理7）. 已知F、F是橢圓的兩個焦點，滿足·=0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A．（0,1）B．（0,］C．（0,）D．［,1）

解析：由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則

c＜b?圯c＜b=a-c?圯e＜

又e∈（0,1）,所以e∈（0,）.

六、利用函數的單調性構造不等式（組）

例6（09高考江西卷文17）．設函數f（x）=x-x+6x-a.

（1）略

（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

解析：∵f′（x）=3x-9x+6=3（x-1）（x-2）,

∴當x＜1時,f′（x）＞0;當1＜x＜2時, f′（x）＜0;當x＞2時, f′（x）＞0.

∴當x=1時,f（x）取極大值f（1）=-a;

當x=2時,f（x）取極小值f（2）=2-a.

故當f（2）＞0或f（1）＜0時,方程f（x）=0僅有一個實根.

即2-×2+6×2-a＞0或1-×1+6×1-a＜0

解得a＜2或a＞.

七、利用函數值域構造不等式（組）

例7（09高考福建卷理14）.若曲線f（x）=ax+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是?搖 ?搖.

解析：由題意可知f′（x）=2ax+，又因為存在垂直于y軸的切線，

∴2ax+=0（x＞0）有實根

∴a=-（x＞0）

又∵x＞0

∴-＜0

∴a＜0，即實數a的取值范圍是（-∞,0）.

八、利用圓錐曲線的幾何性質構造不等式（組）

例8（09高考重慶卷文15）.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F（-c,0），F（c,0），若橢圓上存在一點P使=，則該橢圓的離心率的取值范圍為．

解析：因為在△PFF中，由正弦定理得=.

則由已知，得=，即PF=PF.

由橢圓的定義知：

PF+PF=2a，則PF+PF=2a,即PF=,

由橢圓的幾何性質知: PF＜a+c,則＜a+c,即c+2c-a＞0,

所以e+2e-1＞0,解得e＜--1或e＜-1，又e∈（0,1），

故橢圓的離心率e∈（-1,1）.

九、利用圓錐曲線的定義構造不等式（組）

例9.在平面直角坐標系中，若方程m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）所表示的曲線為橢圓，則實數m的取值范圍是?搖?搖.

解析： ∵ m（x+y+2y+1）=（x-2y+3）

∴x+（y+1）=×

∴==e＜1

∴m＞5

十、利用均值定理構造不等式（組）

例10.已知拋物線y=x上三點A、B、C,且A（-1,1），AB⊥BC,當點B移動時，求點C的橫坐標的取值范圍.

解析：設B（a,a）,C（b，b）

∵AB⊥BC

∴KK=-1

∴b=-a+=1-a+-1

由均值定理，得

a＜1b=1-a+-1≥2-1=1 或

a＞1b=1-a+-1=-［（a-1）+］-1≤-2-1=-3

∴b≥1或b≤-3.