對投入產出數學模型的認知及案例分析

李志軍

【摘要】投入產出數學模型是利用數學工具對國民經濟系統中各部門之間產品的投入與產出的內在關系進行全面綜合描述的一種經濟數學模型，是現代經濟管理工作者所必備的經濟數學工具.本文主要將其與經濟管理中的常見問題聯系起來，探析相關數學模型的構建及其具體應用價值，從而闡述了它是進行經濟預測、推斷和決策的非常適用且實用的研究方法和工具.

【關鍵詞】投入產出數學模型；最優化；平衡方程；應用價值

投入產出法是由諾貝爾經濟學獎獲得者Wassily W.Leontief教授于20世紀30年代首先創立，目前已廣泛應用于世界各國家、各地區及各類企業的經濟運行管理中，具有非常重要的意義.它是一種用來全面分析經濟系統內部各部門間的消耗與生產（即投入與產出）之間的數量依存關系的線性模型，一般稱為投入產出數學模型.它的基本方法是通過編制投入產出平衡表，然后據此建立數學模型，再利用各種數學方法及電子計算技術來進行分析研究，是進行經濟預測及規劃管理的一種非常有效的工具.經過多年的不斷深入研究，投入產出數學模型已經得到了非常深入的發展，發展出了許多種不同分類的投入產出數學模型，而每種模型又有自己獨特的功能與應用.

一、投入產出數學模型的分類

投入產出數學模型有多種分類方法，但從大體上可以分為兩類：一類是閉模型，在這類模型中所有產品都被參加生產的部門全部消耗；另一類是開模型，在這類模型中產品的一部分被參加生產的部門消耗，而其余部分由其他部門消耗.當然我們平常接觸得最多的是開模型的投入產出數學模型，其按照不同的情況有多種不同的分類方式：（1）按反映的時期分為動態型與靜態型.（2）按計量單位的不同分為勞動型、能量型、價值型、實物型等.（3）按資料范圍分為國家型、地區型、企業型等.（4）從統計的對象分為隨機型與離散型.（5）按資料的性質和內容分為報告期和計劃期兩類.

二、投入產出數學模型的功能

投入產出數學模型可以清楚地反映國民經濟各部門、再生產各環節以及產業結構之間的內在聯系，從而進行情況分析、經濟預測、制訂計劃及計劃調整.其在經濟分析方面有非常多的用途，比如：（1）研究和確定國民經濟中許多重要的結構分析，如三大產業之間的結構比例關系、儲蓄和消費的比例關系等.（2）研究某些產品的價格變動對其他產品價格的影響，即對價格變動幅度的關系進行分析與討論.（3）研究生產與消耗部門之間如果結構發生變動對各部門所產生影響的相互關系.（4）研究農村教育狀況、農村基礎設施的投入水平對新農村建設的影響.（5）研究分析污染治理設施投資對經濟的影響和污染治理設施運行成本對經濟的影響等.在制訂或調整計劃方面，它也有多種用途，比如：（1）對經濟前景進行分析、預測從而制定最優發展規劃.（2）制定科學合理的產品價格.（3）根據情況變化對各部門進行綜合平衡.（4）預測未來各類需求情況.（5）構建各類投資對經濟貢獻的大小及比例等.

三、投入產出平衡表及基本平衡方程

2.基本平衡方程

產品分配平衡方程：x璱=∑nj=1x璱j+y璱 （i=1，2，…，n），矩陣形式：x=Ax+y

產值構成平衡方程：x璲=∑ni=1x璱j+N璲（j=1，2，…，n），矩陣形式：x=Dx+z

直接消耗系數：a璱j=x璱jx璲 （i，j=1，2，…，n）

四、投入產出數學模型的案例分析

例1 假設某經濟系統由三個部門金屬、石油、電力構成，每個部門各生產一種產品，本年度它們的生產和消耗情況如下表所示（單位：億元）.

問題：據預測，兩年后總產量需要分別增長30%，20%，40%，求最終產量的增長情況.

解 設該經濟系統計劃期總產出和最終產品分別為X=x1，x2，x3琓，Y=y1，y2，y3琓，

則該系統的金屬部門總產量為x1=900（1+4%）=1170，石油部門總產量為x2=800（1+20%）=960，電力部門總產量為600（1+40%）=840.從而

A=0.2780.1250.3330.1110.1880.1670.1690.1250.167，E-A=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833，

Y=E-AX=445.02509.37381.99.故兩年后三個部門的最終產量分別為：金屬部門445.02億元，石油部門509.37億元，電力部門381.99億元.于是可以預測兩年后三個部門最終產量的增長幅度分別為：

金屬部門增長：445.02-350[]350=27.15%，

石油部門增長：509.37-450[]450=13.19%，電力部門增長：381.99-250[]250=52.79%.

例2 在上例中，如果市場預測四年后的消費需求量（最終產量）為y4=600800450，求所需要的總產量.

解 由AX+Y=X得X=E-A-1Y4，

即x1x2x3=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833-1600800450=1.6050.3570.7130.2951.3360.3860.3660.2271.401600800450=1569.451419.501031.65.

即四年后各部門所需要的總產量為：金屬部門1569.45億元，石油部門1419.50億元，電力部門1031.65億元.也就是說，我們根據市場預測的需求總量，得到了若干年后所需要的總產量，從而為下一步制訂出科學合理的計劃打下了科學的基礎.

五、結束語

由以上案例可以看出，投入產出數學模型是一種非常重要的具有深厚意義與價值的研究工具，不管是對宏觀經濟的研究還是對微觀經濟的研究都有無可替代的作用.當然，對于投入產出數學模型本身的研究還遠遠沒有結束，還有很多需要進一步深入研究的地方.目前投入產出數學模型研究的發展趨勢是把投入產出法與線性規劃、非線性規劃、動態規劃模型等相結合，從而編制最優化模型.

【參考文獻】

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