復變函數與積分變換教學中幾種思維習慣的培養

曾婷 李俊鋒

【中圖分類號】O174.5-4

【文獻標識碼】A

【基金項目】湖南城市學院精品課程資助項目（2011-92）

一、引 言

“復變函數與積分變換”課程是許多理工科專業學生必修的專業基礎課,學好它將為后續課程的學習奠定堅實的數學基礎.它尤其是工科相關專業的一門重要基礎課程，通過本課程的學習，學生能理解復變函數的一些理論和方法，掌握解析函數、柯西定理、留數、共形映射以及傅里葉變換與拉普拉斯變換等基礎內容，同時能利用這些基礎知識解決實際問題.由于它的實用性，我校數學系的學生選用本課程為專業課，它的前繼課程為數學分析等.

除了內容的教學，我們更應培養學生學習本課程的一些好的思維習慣以及教師本身的良好的教學思維，因為教學過程是學生和老師互動的過程.與書本內容的教學相比，我們更加重視對思維的培養，這也不失我們人性化教學的初衷.我們不一定非要得出多么驚世駭俗的想法，但我們深信，好思維會讓學生透徹、全面地掌握所學的知識，有助于他們去思考問題、研究問題，甚至冒出一些創造性的靈感.對教師而言，好的教學習慣會讓老師與學生之間更加融洽，更容易地傳授知識.

二、培養學生的學習思維

注重開闊學生的視野，別讓思維停留在前面的課程內容或方法中.在以前的學習中，負實數的二次方根是不存在的，但在復數域內卻存在，也應讓思維發生改變.此外，在教學過程中，我從下面幾個例子可以看出，還有許多地方需要培養學生的思維.

1.思維的轉變

我們選用教材中無窮大與復球面這一節，我們看看無窮大是怎樣定義的：無窮大為一個特殊的復數，記為∞，由∞=10定義.同時定義了它和有限數的四則運算.∞+∞，∞∞等無意義，且無窮大的實部、虛部和輻角都無意義.在以前的學習中，學生牢記：0不能去除別的數，即0不能為除數，但在復變函數里，卻成為了可能.無窮大是一個很重要的性態，應理解和接受這個新的定義，這就須要改變一下陳舊的思維.

2.思維的開闊

在復變函數與積分變換的前繼課程中，我們一般是在平面坐標系中研究問題，坐標平面上的點的全體與所有的復數一一對應，整個坐標平面為復平面.學生對復平面這個概念不難理解，且對于任給的一個有限復數，都能在復平面上找到它的對應點.但我們不滿足于此，因而把無窮大加到復平面中，變成了擴充復平面，這種擴充是很有必要的，便于在幾何中全面地研究復數.從后面講到共形映射這一節便可看出，分式線性映射一般都是基于擴充復平面來研究的.要理解這個新概念，就應在思維的“擴充”上多下工夫.老師要提醒學生開闊思維，去想象復平面是如何擴充的，但有些同學會覺得它比較抽象，甚至很想在紙上畫出無窮大這一點來.這時，應及時引導學生，這一點在平面上無法畫出，只是該平面上的每一條直線都通過無窮遠點（即與∞對應的點）.我們可以進一步放寬思維，將復數放到一個球面上來研究，可以采用多媒體的手段，將此復球面顯示在幻燈片上，而且可清晰地將復球面與擴充復球面上的點一一對應起來，尤其是強調無窮大這一點.只有將思維放寬了，才能更好地理解復數及其幾何意義.否則，若局限在以前的書本，不能將思維拓展到擴充復平面上，那么，我們即便知道無窮大的存在，也總會覺得它無處“安放”.

另外，復變函數中有一個很重要且應用性很強的定理——最大模原理，若函數f(z)在區域D內解析，且f(z)不是常數，則在D內|f(z)|沒有最大值.在實際中我們可以體會到它的涵義.比如在流體力學里面，平面穩定流動在無源無旋的區域時，流速的最大值不能在區域內達到.此時，學生應拓寬思維，想象一下：它能否在邊界上達到呢？事實證明，這一點可以做到，且流速的最大值只能在邊界上達到，當然這也需要滿足一些條件的，如有界性、連續性等，這樣得到的結果比較容易令人接受.由區域內到邊界上的這個過程，是需要學生充分地展開聯想的.

3.培養嚴謹的思維

解析函數是復變函數的一個重要工具，在研究解析函數的孤立奇點時，若能考慮得更全面，即將無窮遠點也作為孤立奇點，則思維將更嚴謹.學生在處理無窮遠點這類問題時，往往比較棘手，但又是必須考慮的，我們引導學生將不熟悉的問題化為熟悉的問題，用學過的方法來研究.還有將留數推廣到無窮遠點，等等.類似的情形很多.我們應培養學生嚴謹的思維，這也是數學這門課對我們的要求.

4.培養應用型思維

從理論到實踐，把復數的理論應用到流體力學、電磁學、熱學等學科中，為科學研究作出一份貢獻，只有這樣，才能推動理論的完善.

5.培養變換思維

在積分變換內容里面，講到了傅里葉變換和拉普拉斯變換，從一個狀態過渡到另一個狀態，這中間需要變換，必定就離不開變換的思維.從變換的角度思考問題，會得到一些新的、令人感興趣的東西.

三、培養教師的教學思維

教師應站在學生的立場，想象一下他們能不能真正地理解這些新的概念、定理、公式，從理論到實踐這一關能否順利通過，時常想學生之所想，急學生之所急，貫徹實施以人為本的教學理念，有利于教學.

四、結束語

通過教學和討論等一系列實踐，我們取得了很好的效果，學生很主動地探索、思考新事物，而不是被動地接受那些定理、公式，更難得的是，我們的教學也為培養大學生的自學能力服務.

總之，在教學中應時刻注重思維的培養，在“復變函數與積分變換”課程中，只有解放思想，從以前的書本中跳出來，開闊思維，轉變思維角度，讓思維嚴謹，等等，才能真正學到復變函數的精華，才能領悟到數學帶給人們的這種精神：嚴謹和完美.很多時候，結果固然重要，但思維之花會開放得更加絢爛.