對高中數學填空題的研究

魏安龍

摘 要：本文主要是從四個方面對高中數學填空題進行研究：填空題的類型；填空題的編制原則；填空題的解法；填空題的檢驗方法.

關鍵詞：高中數學填空題 類型 編制原則 解法 檢驗方法

數學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數學中的必考題型之一.以江蘇數學高考為例，填空題占160分中的70分.為了做好填空題，我們既要注意基礎知識技能方面的鞏固，又要注意解題技巧.解填空題時，既要有合理的分析和判斷，又要保證推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要把答案表達準確、完整.合理推理、簡化思路、優化解法是快速、準確地解答填空題的基本策略.

一、填空題的類型

1.基本知識型填空題

例1.雙曲線+=1的焦距與k無關，則k∈.（答案:（－2，0］）

2.計算型填空題

例2.（2011北京）在等比數列{a}中，a=，a=-4，則|a|+|a|+…+|a|=.（答案:2-）

3.分析型填空題

例3.（2006江蘇）兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有個.（答案:無窮多）

4.推理型填空題

例4.若不等式ax-ax-1＜0對一切實數x恒成立，則a的取值范圍是.（答案:（－4，0］）

5.構造型填空題

例5.函數y=的最小值是.（答案:）

6.圖形圖像型填空題

例6.（2011廣東）已知集合A={（x，y）|x，y為實數，且x+y=1}，B={（x，y）|x，y為實數，且y=x}，則A∩B的元素個數為.（答案:2）

7.綜合型填空題

例7.（2011北京）曲線C是平面內與兩個定點F（-1，0），F（1，0）的距離的積等于常數a（a＞1）的點的軌跡.給出下列三個結論：①曲線C過坐標原點；②曲線C關于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則△FPF的面積大于a.其中，所有正確結論的序號是.（答案：②③）

二、填空題的編制原則

1.基礎性

因為填空題多數是安排在試卷大題的前面，從試題由易到難的規律及試題區分度的要求看，前面部分的試題不能非常難.多數填空題考查的知識點的綜合程度不高.

2.簡潔性

因為填空題的結果是填在橫線上，所以其答案不能過與繁瑣，數學不同于其他學科，簡潔是數學的特點之一.

3.確定性

填空題的答案必須是確定的，模糊的問題不能作為填空題.

三、填空題的解法

1.直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果.

例1.已知f（x）=在（-2，+∞）上為增函數，則實數a的取值范圍是.

解：f（x）==a+，由復合函數的增減性可知，g（x）=在（-2，+∞）上為增函數，∴1-2a＜0，∴a＞.（另法f′（x）≥0恒成立）

2.特殊化法

如果一個結論在一般情形下成立，在特殊情形下必成立.當填空題的結論唯一或題設提供的信息暗示答案是一定值或結果是一不變的結果時，可將題中的一般情形特殊化（將圖形、圖形的位置特殊化或給字母賦予特殊值）再求解，這種解填空題的方法叫特殊化法.

例2.在△ABC中，若a，b，c成等差數列，則=.

解：令a=3，b=4，c=5，則△ABC是直角三角形，cosA=，cosC=0，從而所求值為.

例3.（2011江蘇）.設1=a≤a≤…≤a，其中a，a，a，a成公比為q的等比數列，a，a，a成公差為1的等差數列，則q的最小值是.

解：由已知得1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q，取a=1為最小條件成立，q≥3.∴q=

3.數形結合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據試題的特點，找出其幾何意義，畫出符合題意的輔助圖形，數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果.這是一種數形結合的解題策略，在填空題中有著廣泛應用.

例4.已知m，n∈R，且m+2n=2，則m?2+n?2的最小值為 .

分析：本題有兩個變量，可以先考慮消去一個成為一元函數，從而可以考慮數形結合.

解：考慮到m?2+n?2=m?2+2n?2，因為2n=2-m，所以只要考慮函數f（x）=x?2+（2-x）2，容易得到函數f（x）具有對稱性，關于直線x=1對稱.

因為f′（x）=（2-2）+［x?2-（2-x）?2］ln2，當x≥1時，f′（x）≥0.f（x）=f（1）=4.即m?2+n?2的最小值為4.

4.構造法

通過構造圖形、構造代數式、構造方程、構造不等式等解填空題.

例5.設x，y，z是不全為零的實數，則的最大值為.

解:因為x+y+z=（x+y）+（y+z）≥（xy+2yz）

當且僅當x=y，y=z，y=x，z=2x取等號.所以最大值為.

5.等價轉化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果.

例6.不等式a+b+…+λb（a+b）對?坌a，b∈R都成立，則實數λ的取值范圍是.

分析：容易看出，不等式的兩邊都是二次齊次式，因此考慮同時除以b.

解：當b=0時，λ∈R；

當b≠0時，不等式的兩邊同時除以b整理得（）-λ（）+（8-λ）+…+0，

關于的一元二次不等式恒成立，Δ≥0得到實數λ的取值范圍是［-8，4］.

總之，填空題解法會很多，如果我們能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，就一定能快速準確地解數學填空題.

四、填空題的檢驗方法

1.估算法

用估算法可以解比較難的填空題，也可以用來檢驗結果的正確性.

例1.一只螞蟻在三邊邊長分別為3，4，5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為.

錯誤答案1：，錯誤答案2：（如果憑直覺估計會感覺它們是錯誤的）.

2.特殊值法

把條件特殊化來檢查結果是否正確，也可以在結果中取特殊值代入條件.

例2.若橢圓+=1的準線平行于向量（m，0），則實數m的取值范圍是.

答案1：（，1）∪（1，+∞），答案2：.m＜（分別取特殊值m=2，m=0就能發現是錯誤的）.

3.代入驗證法

把求出來的數字代入題目的字母，看有沒有矛盾.

例3.定義在區間［2-2，2］上的函數f（x）=3-3是奇函數，則a=.

錯誤答案:1（把a=1代入驗證就知道定義在區間不對稱）.

當然檢驗的方法還有回頭看草稿紙法，改變方法重做法，條件特殊法，排除法,等等.

參考文獻：

［1］江蘇教育考試院.2011高考（江蘇卷）說明：語文、數學、英語.江蘇教育出版社，2010.12.

［2］恩波.2011年全國高考真題匯編（數學）.學苑出版社，2011.6.

［3］王曉玲.淺談高中數學選擇填空題解法.教壇聚集，2010.23.

［4］李舒婧.高考數學填空題的特點及解題策略.中學生數理化（教與學.教研版），2010.08.