定積分定義的直觀詮釋定積分定義的直觀詮釋

李光華

【摘要】本文利用Mathematica 8。01的動(dòng)畫功能，將定積分的定義以直觀的圖形動(dòng)畫方式展現(xiàn)出來(lái)，以不同的函數(shù)、不同的計(jì)算方法、不同的區(qū)塊數(shù)來(lái)展現(xiàn)結(jié)果，以使學(xué)者易學(xué)易懂。

【關(guān)鍵詞】定積分；Mathematica；教學(xué)

定積分的定義在數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)中具有重要的地位，如何講清定積分的定義，是擺在數(shù)學(xué)老師們面前的一個(gè)課題。在教學(xué)中講授這部分內(nèi)容，對(duì)于老師來(lái)說是比較頭疼的。因?yàn)槎ǚe分不僅僅是一個(gè)概念，它還是一種思想。即“化整為零”→“近似代替”→“積零為整”→“求出極限”，這種“和的極限”的思想在工程技術(shù)、物理及生產(chǎn)實(shí)踐中具有普遍的意義。很多問題都可以歸結(jié)為這種“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如我國(guó)的人口普查，即是化整為零，最小的統(tǒng)計(jì)單位為街道辦或村，這些街道辦和村的統(tǒng)計(jì)之和就形成了最終國(guó)家的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。為了說清這個(gè)“和的極限”的思想，教材中往往采用曲邊梯形的面積這類實(shí)際問題，來(lái)展現(xiàn)定積分的思想和方法。

教學(xué)中由于沒有確切的極限數(shù)字，也無(wú)法得出具體的區(qū)塊面積之和，故對(duì)于微積分的定義只能說個(gè)大概，所以只能是照本宣科的按照定義來(lái)念，都是假設(shè)那個(gè)極限值是固定不變的存在，就稱那個(gè)極限是某函數(shù)的定積分。

Mathematica 8。01已經(jīng)具備這樣的動(dòng)畫功能，隨著算法、分塊的不同，分成的小區(qū)塊的和也不同，但都接近于某一個(gè)固定值，這樣由具體的數(shù)據(jù)出發(fā)，學(xué)生們就容易理解定積分。

在Mathematica 8。01中新建。nb筆記本文件，輸入Mathematica命令：

left[f_, x_, n_, h_, type_] := {f /。 x -> bottom[n, h], f /。 x -> bottom[n + 1, h], f /。 x -> bottom[n, h] + 。5 h,

If[(f /。 x -> bottom[n, h]) < (f /。 x -> bottom[n + 1, h]), f /。 x -> bottom[n + 1, h], f /。 x -> bottom[n, h]],

If[(f /。 x -> bottom[n, h]) < (f /。 x -> bottom[n + 1, h]), f /。 x -> bottom[n, h], f /。 x -> bottom[n + 1, h]], f /。 x -> bottom[n, h]}[[type]]

right[f_, x_, n_, h_, type_] := If[type == 6, f /。 x -> bottom[n + 1, h], left[f, x, n, h, type]]

bottom[0, h_] := 0

bottom[n_, h_] := bottom[n - 1, h] + h

rectangle[f_, x_, n_, h_, type_] := {EdgeForm[Thin],

RGBColor[0, 1 - n/20, n/20],

Polygon[{{bottom[n, h], 0}, {bottom[n, h],left[f, x, n, h, type]}, {bottom[n + 1, h],

right[f, x, n, h, type]}, {bottom[n + 1, h], 0}}]}

estimatedArea[f_, x_, n_, h_, type_] := N[Sum[Abs[ bottom[i, h] - bottom[i + 1, h]]*(left[f, x, i, h, type] + right[f, x, i, h, type])/2, {i, 0, n - 1}], 3]

Manipulate[ Show[Plot[f, {x, 0, 15}, PlotStyle -> Black,

PlotLabel -> Grid[{{"estimated area: " <> ToString[estimatedArea[f, x, n, a/n, type]]}, {"integral: " <> ToString[N[0a f x, 3]]}}]],

Plot[f, {x, 0, a}, PlotStyle -> Black,Filling -> 1 -> {0, Opacity[。25, Blue]}],

Graphics[{Opacity[。4], Table[rectangle[f, x, i, a/n, type], {i, 0, n - 1}]}],

Graphics[{Red, Line[{{a, 0}, {a, 150}}]}], ImageSize -> 360], {{f, x, "function"}, {(x - 2)^2 -> "(x-2\!\(\*SuperscriptBox[\()\), \(2\)]\)", (x - 3)^3 + 20 ->"(x-3\!\(\*SuperscriptBox[\()\), \(3\)]\)+20", Sqrt[x] -> "\!\(\*SqrtBox[\(x\)]\)"}, ControlType -> SetterBar},{{type, 2, "type"}, {1 -> "left", 2 -> "right", 3 -> "midpoint"}, ControlType -> SetterBar}, {{a, 15, "upper limit a"}, 0。01, 15, Appearance -> "Labeled"}, {{n, 10, "number of quadrilaterals"}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"}, SaveDefinitions -> True]

運(yùn)行得出下圖：

上圖中可以看出，在分成30個(gè)區(qū)塊后，那些區(qū)塊的估計(jì)值為916。954，較接近極限值917。333，而當(dāng)滑塊指到50時(shí)，估計(jì)值為917。197，可見，分得越小，計(jì)算就越精確，也就越接近極限值。同樣，當(dāng)點(diǎn)擊type中的“right”(即以小區(qū)塊右邊點(diǎn)的函數(shù)值作為高來(lái)計(jì)算小矩形的面積)按鈕時(shí)，區(qū)塊的估計(jì)值為948。326，而點(diǎn)擊左邊的“l(fā)eft”按鈕(即以小區(qū)塊左邊點(diǎn)的函數(shù)值作為高來(lái)計(jì)算小矩形的面積)，區(qū)塊的估計(jì)值為886。886。而隨著區(qū)塊的增加，其區(qū)塊的估計(jì)值在不斷的變化，區(qū)塊分得越小，計(jì)算就越精確。

通過演示，不同的函數(shù)，極限值結(jié)果不一樣，不同的算法，極限值結(jié)果也不一樣，不同的區(qū)塊數(shù)結(jié)果也不一樣。但有一點(diǎn)，區(qū)塊分得越細(xì)，越接近極限值。對(duì)照定積分的定義，不管如何分，當(dāng)相鄰兩點(diǎn)間距離的最大值趨于0時(shí)，區(qū)塊面積的和總趨于某個(gè)固定值，這樣，極限的定義就容易理解了。

【參考文獻(xiàn)】

練學(xué)。“定積分概念”教學(xué)拾零[J]。湖北三峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,4(1):84-86。