大學生數學成績轉移的實證研究與啟示

朱鳳琴 徐伯華

[摘 要]大學生數學成績具有動態變化的過程特點。實證研究表明，一門課程的成績與前一先修課程的成績相關性最強，成績轉移矩陣具有時齊性、普遍性和延續性.成績轉移矩陣對教務管理、學業預警和學習指導具有重要的意義.

[關鍵詞]Markov鏈；轉移矩陣；大學生；教學管理

[中圖分類號] 633.6[文獻標識碼] A[文章編號] 2095-3437（2012）12-0038-03

學業成績是大學生教學管理的關鍵指標。數學學科是大多數專業的必修課，對學生個體的發展具有重要意義。由于受到多種因素的影響，學生的成績往往變化起伏，呈現動態變化的過程特點。因此運用隨機過程的方法，找出學生成績的變化規律，對于預測學生的成績分布、提前學業預警、提高管理效率都具有重要的意義。

一、研究對象與方法

（一）研究對象

選取某大學理科兩個專業的2005級和2006級全體學生的數學成績作為原始數據，刪除留級、轉學（專業）、休學等成績不完整的記錄，得到有效記錄：P專業2005級259個，2006級259個；Q專業2005級79個，2006級74個.兩個專業的數學課程設置如表1，為了專業間便于比較和分析，本文只對高等數學、線性代數、數理方程和概率統計進行分析。又P專業的教學大綱中，概率統計的先修課程是高等數學，而非數理方程，因此把高數3視為概率統計的前一課程。

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（二）研究方法

由于實行專業分類招生，專業內入學成績相對集中，且有研究表明[1-6]入學成績對大學成績的影響微小，所以以第一學期的成績為起點進行分析.起點成績為高等數學1和線性代數的平均分，記為高數1+.

相關性分析：根據2005級原始成績計算各課程間的相關系數和偏相關系數，考察先修課程對后繼課程的影響.

成績轉移過程分析：分別將各專業年級的原始成績分成五個等級（狀態）：A（X≥90）；B（80≤X<90）；C（70≤X<80）；D（60≤X<70）；E（<60）.計算前一課程成績狀態向后繼課程成績狀態的轉移頻率和轉移頻率矩陣.以轉移頻率矩陣估計轉移概率矩陣.對各學期的轉移概率進行非參數檢驗，以此判斷同一專業不同學期的轉移概率分布是否來自同一總體（時齊性），不同專業的轉移概率分布是否來自同一總體（普遍性），同一專業不同年級的轉移概率分布是否來自同一總體（延續性）。

所有數據采用Excel2003和SPSS11.5分析處理。

二、實證分析

（一）相關性

由表2可知，先修課程與后繼課程存在較強的相關關系，先修課程學習質量對后繼課程的學習有顯著的影響.從具體數字來看，高數2與高數1+的相關性最強，高數3與高數2的相關性最強，數理方程、概率統計與高數3的相關性最強，即前一課程成績對后繼課程成績的影響最大。

為了克服多個先修課程的影響，專門考查兩門課程的相關關系，表3給出了偏相關系數.可以看出前一課程成績對后繼課程成績的影響最大，并且總體上比其他先修課程的影響明顯強得多。

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由此可知，所有的先修課程與后繼課程都有顯著的相關性，大學生成績過程不具有嚴格的Markov性，這是符合人們的基本認識的。但是表3顯示了一個強烈的信息，即前一課程成績與后繼課程成績的相關性最大，且其余先修成績的相關性明顯較弱，因此從教育過程的復雜性和教學管理的現實性考慮，前一課程成績應是學習指導和成績預測的最重要的因素，也就是說從成績管理上講，可以借用Markov鏈來描述大學生的數學成績過程。

（二）時齊性

根據2005級兩專業的成績等級，求得各學期（課程）的成績轉移矩陣如下：

P專業：PiQ專業：Qi

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將Pi、Qi按行展開，分別對Pi、Qi的各單元數字做非參數檢驗，由表5可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認為各Pi來自同一個總體，具有相同的分布，各Qi來自同一個總體，具有相同的分布.因此，同一專業不同學期的成績轉移具有相同的概率分布，成績轉移過程具有時齊性，成績轉移矩陣不因學期而變化，具有很強的穩定性。

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（三）普遍性

由于成績轉移過程具有時齊性，因此分別取Pi、Qi的各單元的算術平均值作為P專業和Q專業的成績轉移矩陣的估計，即得

P=.621 .273 .091 .012 .003.282 .401 .193 .102 .021.135 .373 .213 .223 .056.108 .248 .232 .257 .155.014 .157 .126 .357 .346；Q=.720 .188 .079 .012 .000.262 .353 .205 .150 .030.172 .292 .300 .167 .069.036 .150 .205 .295 .315.000 .036 .144 .262 .559

對P 、Q的各單元數字做非參數檢驗，由表6可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認為P 、Q來自同一個總體，具有相同的分布.因此，不同專業的數學成績轉移具有相同的概率分布，成績轉移矩陣不因專業而變化，具有很強的普遍性。

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（四）延續性

運用同樣的方法，分別計算出2006級P專業和Q專業的成績轉移矩陣，得到

P=.723 .179 .062 .010 .015.370 .381 .132 .098 .018.185 .302 .198 .204 .110.108 .193 .260 .267 .172.045 .102 .104 .260 .488；Q=.156 .472 .264 .108 .000.084 .358 .345 .174 .038.108 .289 .362 .197 .043.017 .313 .328 .240 .102.042 .000 .375 .417 .167

分別對P與P、Q與Q的各單元數字作獨立樣本非參數檢驗，由表7可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認為P與P 、Q與Q分別來自同一個總體，具有相同的分布.因此，同一專業不同年級的數學成績轉移具有相同的概率分布，成績轉移矩陣不因年級而變化，具有很強的延續性。

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三、研究結論

大學生成績具有很強的規律性和穩定性，前一課程成績對后繼課程成績具有最重要的、最強烈的影響。雖然大學生成績轉移不具有嚴格的Markov性，但考慮到教育過程的復雜性和教學管理的現實性，可以借用Markov鏈來近似描述大學生的成績過程，且成績變化過程具有時齊性、普遍性和延續性。在不失教育性的基礎上，可以運用隨機過程的方法和一般結論對大學生成績過程做進一步的研究。

四、大學生成績轉移的規律與啟示

由于大學生成績過程具有時齊性、普遍性和延續性，因此可以用P、P 和Q、Q的各元素平均值作為大學生總體的成績轉移矩陣估計，于是得到

A=.555 .271 .124 .036 .003.258 .366 .220 .130 .026.151 .326 .267 .188 .067.072 .222 .266 .266 .174.026 .072 .209 .319 .374

由A的各元素特征，可以發現大學生成績轉移的一般規律：

1.A的各元素均非0，說明大學成績具有絕對的變異性，成績好的可能會變差，成績差的也可能會變好，學習過程中沒有一成不變的成績.保持良好的學習自覺性和積極性是提高學習質量的重要保證.

2.A中主對角線附近的元素的值都很大，說明大學生成績具有相對的穩定性，各等級的成績轉移主要在原等級附近，跨越式的轉移很少。

3.各等級的成績轉移具有較大的差異性。A等級中約85%的學生保持較好的成績發展（A、B等級），說明A等級成績穩定性較好；B等級中約25%成績提高，38%成績下滑，其中15%下滑至較差（C、D等級），說明B等級的成績不穩定，分化明顯；C、D等級的成績轉移近似正態分布，說明該等級的成績有較強的隨機性，學生學習呈現自發性的特點；而E等級中約70%保持較差的成績發展（D、E等級），10%能夠提高到較好的成績，說明這一等級中大部分學生存在學習困難，但成績提高也是有可能性的。

大學生成績轉移給教學管理帶來以下啟示：

1.對教務管理的啟示：教務管理人員可以運用成績轉移矩陣對大學生的成績發展做出預測，根據預測結果采取必要的管理措施，提高教學管理的前瞻性和針對性。

2.對學業預警的啟示：目前的學業預警大都依據期末考試成績，有明顯的滯后性.如果采用成績轉移矩陣預測可能的變化，則可以提前發出預警，使部分學生盡早提高學習的自覺性和積極性，有更多的時間補救學業.

3.對學習指導的意義：不同等級的成績轉移具有較大的差異性，教師和輔導員可以根據成績轉移的特點，對學生實行分類指導和重點管理。

[ 參 考 文 獻 ]

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[責任編輯：王朝元]