例題的功效及選擇

王榮芹

數學課的基本課型有：概念課、習題課、復習課、試卷講評課.概念課是認知定義、定理、法則構建數學知識與基本原理的過程；習題課是檢驗知識與原理的記憶、理解的過程，是深化完善知識與原理的過程，是應用知識與原理解決問題的過程，是發現規律總結方法的過程；復習課是構建知識體系的過程，是鞏固提升知識與原理的過程，是能有效提取知識與原理解決問題的過程，是多角度、多途徑分析問題的過程，是綜合應用所學知識解決問題的過程，是能力得到進一步提升的過程.

因此數學學習的過程是伴隨問題解決的過程，如何在課堂教學中設計問題使學生在問題中發現、問題中理解、問題中感悟、問題中成長是教學設計中非常重要的一項.下面就例題的功效談談本人的看法與同行交流.

1.例題有利于對知識與原理即理論的深化理解

我們常有這樣的感覺，所學的理論記住了、理解了，但問題做錯了.究其原因發現：對理論的理解膚淺，不到位，或有偏差.

例1 函數y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函數，則t的取值范圍為（）.

獳.(5,+∞) B.［5,+∞)

C.(-∞,5)D.(-∞,5］

此題易選答案獳，y′=-3x2+2x+t，由已知在［-1,1］上-3x2+2x+t>0恒成立，

錯誤理解y′>0是函數y=-x3+x2+tx+t在［-1,1］上是增函數的充要條件.

因此例題、訓練題的設計，要有檢驗學生是否基礎知識過關，使學生達到對理論的正確深化理解、補充完善的功效.

2.例題有利于學會對基本問題的規律性求解方法

通過例題的一題多解、一題多變的研究，學會對一類基本問題的規律性求解方法.

例2 在研究一元二次不等式解法時選擇了這樣一個例題:

解不等式x2-3x+2>0.

通過此問題設計，得到一元二次不等式解法：

（1）因式分解轉化為一元一次不等式組.

（2）配方，開方轉化為含絕對值不等式|ax+b|<(>)c.

（3）利用函數圖像.

例3 在研究含參數一元二次不等式由解集求參數取值范圍時選擇了這樣一個例題:

已知不等式x2-2x+k>0.

（1）若不等式解集是{x|x<-2或x>4}，求k值.

（2）若不等式解集是R，求k值.

通過此問題設計，得到含參數一元二次不等式由解集求參數取值范圍的方法：

（1）韋達定理.（2）判別式Δ.（3）分離變量.

3.例題有利于多題歸一挖掘共性

通過將幾個例題進行求解后比較，或由一個背景相同的問題演變為不同結論幾個問題解后反思的研究，找到不變的本質特征，挖掘共性，多題歸一，提高學生應對問題的能力.

例4 在函數的導數與最值學習時選擇了這樣的例題:

問題1：已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時都取得極值.若對x∈［-1,2］，不等式f(x)

問題2：已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時都取得極值.若對x∈［-1,2］，不等式f(x)<2x+3恒成立，求c的取值范圍.

問題3：已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2[]3與x=1時都取得極值.若對任意的x1,x2∈［-1,2］，求證:﹟f(x1)-猣(x2)|≤7[]2.

問題4：求證：玡瑇≥1+x.

通過題后反思，四個問題都可以化歸為求函數的最值.

例5

問題1：求函數y=玸in玿+玞os玿的最值.

問題2：a為何值時，方程玸in玿+玞os玿=a有解或無解？

問題3：a為何值時，集合{(x,y)|x+y=a}∩{(x,y)|x2+y2=1}≠В開

以上問題也可化歸為同一問題1.

4.例題有利于一題多思，培養思維策略，提高應對能力

中學數學常用的思維策略有：化歸與轉化、分類討論、類比、聯想、數形結合等.通過例題的選擇注重思維策略的滲透，并適時進行歸納、總結，或進行討論與訓練，這對提高學生的解題能力、拓寬思路十分有益.

例6 已知f(x)=1+x2，a,b為相異實數，求證：﹟f(a)-猣(b)|<|a-b|.

思1：平方去絕對值，作差，配方.

思2：作商，分子有理化，放縮.

思3：三角代換,令x=玹anα.

思4：構造向量的模a=（1，x)，利用向量模的三角不等式.

思5：兩點間距離公式.

思6：y=1+x2表示雙曲線y2-x2=1的上支，f(a)-f(b)[]a-b

是雙曲線上兩點(a,f(a)),(b,f(b))連線斜率的絕對值，又雙曲線y2-x2=1的漸近線斜率為±1，于是得證.

思7：構造函數y=1+x2，轉化為函數y=1+x2的圖像上任意兩點連線的斜率的范圍，就是曲線上任一點切線斜率的范圍，進而轉化為求函數y=1+x2的導數的值域.

綜上，例題的功效就決定了例題的選擇要有針對性、可行性、典型性、可研究性.

信息時代讓我們擺脫了鋼板蠟紙的手工操作，書店、書商、網絡等多渠道為我們提供了大量的信息資源.如何讓“名師一號”在“三尺講臺”進行“教點訪談”,讓“名師伴你行”通過“綠色通道”走進“成功高考”?面對各有特色的學習資料，做什么？適合的就是最好的，但有時想找到在知識、方法、能力、創新、時代性等方面適合我們不同層面的學生還是很難的.尤其新課程改革資料中還有個別部分舊教材痕跡太重與新教材銜接不好.為此需要我們教師下題海為學生撈海鮮再烹制出可口的美味佳肴.