淺談高中數學中的一類導數題

沈 凱

一次在本校的聽課學習中聽到了這樣一道題目：

例1 （2009年南京一模，14）已知函數f(x)=ax-x4,﹛∈1[]2,1,A,B是其圖像上不同的兩點.若直線AB的斜率k總滿足1[]2≤k≤4，則實數a的值是.

本題做對答案的學生寥寥幾個，上課教師請了一名學生回答.

由已知，f′(x)=a-4x3∈a-4,a-1[]2，

則由導數的幾何意義知a-4≥1[]2,

a-1[]2≤4.

故a=9[]2.

但是該學生也解釋不清這樣做的原因.教師略加思考后說道，該題其實用到了你們到大學即將要學的拉格朗日中值定理，即若閉區間上有一條連續曲線，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少存在一點M，過點M的切線平行于割線AB.然后這道題目就這樣解釋過去了，當時沒有學生或老師提出疑問.

過后幾天本校的一次測試考到了這樣一道題目：

例2 已知函數f(x)=1[]2x2-ax+(a-1)玪n玿(x>0),設x2>x1>0，都有f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1，則實數a的取值范圍是.

答案 ［1,5］ズ芏嘌生的錯誤答案都是［1,5).后詢問學生，他們的做法是：

把f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1理解成f′(x)=x-a+a-1[]x>-1對任意的x∈(0,+∞)恒成立，則把上述不等式整理成x2+(1-a)x+a-1>0，由二次函數的圖像可知，

a-1[]2≤0,

f(0)=a-1≥0

或者a-1[]2>0,

fa-1[]2>0.

ソ庵得1≤゛<5.

事實上，將a=5的這種特殊情況拿出來考慮就知道錯誤原因了.當a=5時可以證明任意一條割線的斜率都大于-1，但是在x=2處切線的斜率等于-1.也就是函數圖像上并不是任意一點的切線斜率都與某一條割線斜率相等.

以一簡單函數為例，P,Q是函數y=x2-x(-1≤x≤1)圖像上任意兩點，P,Q段上任意一點切線的斜率的取值范圍是y′=2x-1(-1≤x≤1)，即為［-3,1］.但是在P,Q段上不可能有割線斜率是-3和1.

證明 設P(x1,x21-x1)，Q(x2,x22-x2),ピ騥㏄Q=x21-x1-(x22-x2)[]x1-x2=x1+x2-1.

若k㏄Q=1，則x1+x2=2，這不可能.

這就是例2發生錯誤的原因.曲線上任意兩點間的割線斜率是這兩點間任意點處切線斜率的子集.由于導數是個極限的概念，由極限的保號性可得下面兩個命題：

命題1 如果函數f(x)在閉區間［a,b］上可導(在端點處單側可導)，設A,B是其圖像上不同的兩點.若直線AB的斜率k總滿足m≤k≤M或m

命題2 如果函數f(x)在閉區間(a,b)上可導，設A,B是其圖像上不同的兩點.若直線AB的斜率k總滿足m≤﹌≤狹或m

所以例2的正確做法應該把f′(x)>-1改成f′(x)≥-1便能解出正確答案.

以上做法中學生很難接受，采用以下做法便水道渠成了.以第二題為例：

解 ∵x2>x1，

∴條件f(x2)-f(x1)[]x2-x1>-1變形為f(x2)-f(x1)>x1-x2，ゼ

f(x2)+x2>f(x1)+x1，

即函數g(x)=f(x)+x在(0,+∞)上單調遞增，

∴g′(x)≥0恒成立,

即f′(x)≥-1恒成立.下面相同.

同理第一題也可用類似方法解出.

反思：現在高中數學的教學與大學課程聯系緊密，這就對高中教師的業務水平提出了更高的要求.對于題目的講解既要清晰，又要讓學生容易接受，才能使學生下次碰到類似問題能正確地解答.