數(shù)形結(jié)合求最值數(shù)形結(jié)合求最值

王成兵

在解決與數(shù)量相關(guān)的問題時(shí),有些用純數(shù)量的方法很難解決，可考察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出與其對應(yīng)的幾何背景，從而利用幾何圖形的性質(zhì),幫助我們找出解決問題的方法.本文主要說明如何根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用切線的斜率來求最值.

一、構(gòu)造圓的切線求最值

例1 求函數(shù)y=玸in玿+2[]玞os玿-3的最值.

分析 設(shè)a=玞os玿,b=玸in玿，顯然P(a,b)是單位圓上的點(diǎn)，(3,-2)是定點(diǎn)，設(shè)為A，則y是定點(diǎn)A與單位圓上動(dòng)點(diǎn)P的連線的斜率,y的最值即是要求斜率的最值，由A向單位圓引切線AP1和AP2，則AP1和AP2的斜率就是所求的函數(shù)的最值.（如圖1）設(shè)AP的方程為y+2=k(x-3)，即kx-y-3k=0.∵AP是切線，∴它到圓心O的距離等于半徑1，即|3k+2|[]k2+1=1，解得k1,2=-3±3[]4，這就是兩個(gè)斜率的最值，也就是所求函數(shù)的最值，即y┆玬ax=-3+3[]4,﹜┆玬in=-3-3[]4.

例2 求函數(shù)y=1-x2[]2+x的最大值.

解 由定義知1-x2≥0且2+x≠0，∴-1≤x≤1，ス士繕鑨=玞osθ，θ∈［0，π］，ピ蠐衴=玸inθ[]玞osθ+2=玸inθ-0[]玞osθ-(-2)，可看作是動(dòng)點(diǎn)M（玞osθ，玸inθ）(θ∈［0，π］)與定點(diǎn)A（-2，0）連線的斜率，而動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程x=玞osθ,

y=玸inθ,θ∈［0，π］，即x2+y2=1（y∈［0，1］）是半圓（如圖2）.ド棖邢呶狝T，T為切點(diǎn)，﹟OT|=1，|OA|=2，

∴k〢T=1[]3，∴0≤k〢M≤1[]3.即函數(shù)的值域?yàn)?，3[]3，ス首畬籩滴3[]3.

二、構(gòu)造拋物線的切線求最值

例3 求f(x)=x2+3x2+1的最小值.

分析 本題是一道常規(guī)的函數(shù)求最值問題，常用的方法是利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來解決.我們可以把式子進(jìn)行簡單的變形，即可看出其幾何意義.設(shè)a=x2+1(a≥1),則b=x2+3=x2+1+2=a2+2，∴點(diǎn)(a,b)在拋物線y=x2+2(x≥1)上，此時(shí)f(x)=b[]a，可理解為拋物線上的點(diǎn)(a,b)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率（如圖3），則原題轉(zhuǎn)化為求斜率k的最小值.設(shè)過原點(diǎn)(0,0)的直線方程為y=kx，由題可知，當(dāng)直線y=kx與拋物線y=x2+2(x≥1)相切時(shí)，k有最小值，即y=kx,

y=x2+2輝2-kx+2=0，當(dāng)Δ=0時(shí)，可得k=±22，由圖可知k=22，∴原函數(shù)的最小值為22.此時(shí)切點(diǎn)為(2,4)，即當(dāng)x=2時(shí)有最小值為22.

三、構(gòu)造橢圓的切線求最值

例4 已知a>b>0,θ為銳角，求f(θ)=a玸ecθ-b玹anθ的最小值.

分析 ∵f(θ)=a玸ecθ-b玹anθ=a[]玞osθ-b玸inθ[]玞osθ=a-b玸inθ[]玞osθ=a-b玸inθ[]0-(-玞osθ),

∴此式可理解為定點(diǎn)A(0,a)與動(dòng)點(diǎn)P(-玞osθ,b玸inθ)的連線的斜率.

∵a>b>0,θ為銳角，∴動(dòng)點(diǎn)P(-玞osθ,b玸inθ)在橢圓x2+y2[]b2=1(x<0,y>0)上（如圖4）.

∴當(dāng)直線AP與橢圓相切時(shí)，斜率f(θ)=k取最小值，則切線方程為y=kx+a，代入橢圓方程x2+y2[]b2=1(x<0,﹜>0),并化簡可得(b2+k2)x2+2akx+a2-b2=0.

由Δ=0可得b2-a2+k2=0(k>0)，∴k=a2-b2，ァ鄁(θ)的最小值為a2-b2.