巧用拋物線的定義解題

胡洪波

平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.拋物線的定義，是解決有關拋物線問題的重要工具.巧用拋物線的定義解題，可以化難為易，使思路簡潔，運算簡便，提高解題的速度和解題的正確率，提升解題的質量.下面舉例說明.

一、求坐標問題

例1 已知拋物線x2=4y上的一點M到焦點的距離為5，求點M的縱坐標.

分析 利用拋物線的定義，把點M到焦點的距離轉化為點M到準線的距離求解.

解 拋物線x2=4y的焦點是F（0，1），準線l的方程是﹜=-1.設點M的縱坐標為y璏，作MN⊥l于點N，則y璑=-1.

由拋物線定義和題意，得|MN|=|MF|=5.∵MN⊥l，ァ鄚MN|=|y璏-y璑|=|y璏-(-1)|=|y璏+1|=5.

又由拋物線x2=4y，得y璏>0，

∴y璏+1=5，∴y璏=4，∴點狹的縱坐標是4.

點評 本題可以列出方程組求解，但是應用拋物線的定義解題，運算比較簡易.

二、求參數問題

例2 若拋物線y2=4px上的點M到焦點F的距離為3，且x璏=2，求p的值.

分析 利用定義，把點M到焦點F的距離轉化為點M到準線的距離，可簡化運算.

解 拋物線y2=4px的準線l的方程是x=-p.根據拋物線的定義，可得點M到焦點F的距離等于點M到準線l的距離，于是有2-(-p)=|MF|=3，得p=1.

點評 求參數的問題很多，方法也很多，不同的問題有不同的解法，有些題是一題多解，有些題解法唯一，其中一題多解法又有最佳解法，要注意方法的選用.

三、求最值問題

例3 已知點P在焦點為F的拋物線x2=4y上，點A（－2，6），求（｜PA｜+｜PF｜）┆玬in.

分析 |PF|等于點P到拋物線的準線l的距離d，(|PA|+﹟PF|)┆玬in=(|PA|+d)┆玬in.

解 過拋物線x2=4y上點P作其準線l：y=-1的垂線，垂足為M，則y璏=-1.

把點A(-2,6)的橫坐標x=-2代入拋物線方程x2=4y，得y=1.

∵y瑼=6>1,∴點A在拋物線的內部.由拋物線定義知|PA|+|PF|=|PA|+﹟PM|，

又由三角形三邊關系定理，可得當PA⊥l時，即點A,P,M三點共線時，|PA|+|PM|最小，即|PA|+|PM|=﹟AM|.

∵|AM|=|y瑼-y璏|=|6-(-1)|=7，∴(|PA|+﹟PF|)┆玬in=7.

點評 此題是距離之和的最值問題，若采用函數的最值法是難以得解的，而用拋物線定義，通過數形結合和三角形的三邊關系定理求解，思路清晰巧妙，運算簡易.

類型題 設點P是拋物線y2=4x上的一個動點，則點P到點A(6,-12)的距離與到拋物線的準線的距離之和的最小值是多少？

分析 與例3類同.點A在拋物線外，連接點A和焦點F，交拋物線于一點，此交點即為動點P到點A的距離與到拋物線的準線的距離之和的最小值的對應點.

四、求面積問題

例4 過拋物線y2=4x上一點P作其準線的垂線，垂足為A，設拋物線的焦點為F，且|PF|=9，求△APF的面積.

分析 由拋物線的定義得點P到焦點F的距離|PF|等于點P到準線的距離|PA|.

解 設P(y20,y0).∵拋物線y2=4x的準線是x=-1，ス蕓PF|=|PA|=y20+1=9，

∴y0=±22，ァ郤△APF=|PA|×|y0|÷2=9×22÷2=92.

點評 本題可以列出方程組求解，但是用拋物線的定義求解，運算更加簡易.

五、求拋物線焦點弦長的問題

例5 設直線AB過拋物線y2=4x的焦點F，且交拋物線于A,B兩點，若弦AB的中點M的橫坐標為3，求弦長AB的值.

分析 利用拋物線的定義和線段中點坐標的公式求解，思路巧妙簡潔，運算量少.

解 設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=2x璏=2×3=6.因拋物線y2=4x的準線是l：x=-1，則過點A作AP⊥l于點P，過點B作BQ⊥l于點Q，得x璓=-1,x璔=-1.由定義得弦長AB=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|=|x1-x璓|+﹟x2-獂璔|=x1+x2+2=8.

點評 若用平面上兩點間的距離公式求|AB|，需設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立方程組求解，運算量較大，而用拋物線定義求解，思路簡潔，運算簡易.

六、求軌跡問題

例6 設動點M滿足方程5（x-1)2+(y+1)2=﹟4x+3y-12|，求動點M的軌跡.

分析 由點到直線的距離公式和拋物線的定義，直接可判定動點M的軌跡是以點(1,-1)為焦點，以直線4x+3y-12=0為準線的拋物線.這是非標準式的拋物線.

若將方程兩邊平方后整理，不易分析軌跡類型.體現出巧用拋物線定義的優越性.

以上從六個方面闡述了拋物線定義的應用，從這些例子中可以看出，在特定的條件下，巧用拋物線的定義解題，具有其特定的必要性和優越性.“回歸定義”是數學解題最原始﹑最基本的方法，有時也是最有效的方法﹑最巧妙的方法.在解決圓錐曲線問題時，特別要注意樹立“用定義解題”的意識.許多圓錐曲線的問題具有幾何意義，若能結合定義挖掘題中隱含的幾何意義，常可巧妙快速解題.