關于圓錐曲線動弦中點的軌跡方程的研究

羅誠 孫小迎

【摘要】解析幾何中圓錐曲線動弦中點的軌跡問題，對于一般學生來說是個很難解決的問題，那么對圓錐曲線動弦中點的軌跡的研究就很有必要.從中可以給出一般性的結論，這樣不管是在理論研究還是實際問題的計算過程中都有非常實際的應用和指導意義.

【關鍵詞】圓錐曲線;動弦;中點的軌跡;參數法;點差法;定長;定點;定斜率オ

直線與圓錐曲線相交所得動弦的中點的軌跡方程問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考經久不衰的熱點.作為少數民族本科預科生應該重點理解并掌握這一知識點.對于圓錐曲線動弦的中點軌跡方程的求法我們常用的方法有以下兩種，即參數法和點差法.對于圓錐曲線動弦的中點軌跡問題可分為下列三種情況進行討論：

一、圓錐曲線中過定點的弦的中點的軌跡

過定點且與橢圓（注：圓為橢圓當長半軸和短半軸相等時的一個特例，可類似地討論，與以下橢圓的結論類似，不再重復）相交的中點弦的軌跡方程，我們有如下結論成立.

定理1 過平面上一點C(x0,y0)向橢圓x2[]a2+y2[]b2=1引弦，那么其動弦的中點的軌跡方程為:x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0.

證明 設弦中點坐標為P(x,y)，弦的方程為y-y0=﹌(x-獂0)，代入橢圓方程可得

b2x2+a2［k(x-x0)+y0］2=a2b2，展開后化簡得

(b2+a2k2)x2-2(a2k2x0-a2ky0)x+a2(k2x20-2kx0y0+﹜20-猙2)=0.

由韋達定理知x=x1+x2[]2=a2k2x0-a2ky0[]b2+a2k2，且弦的中點也在直線上，所以將k=y-y0[]x-x0代入可得x(x-x0)[]a2+y(y-y0)[]b2=0，此即我們所求弦的中點的軌跡方程.很明顯，當點C(x0,y0)在橢圓內時，過C點的任意弦都會與橢圓相交，此時要討論當弦垂直于x軸的情況；當點C(x0,y0)在橢圓外時，過C點的任意弦不一定都會與橢圓相交.

定理2 過平面上一點C(x0,y0)向雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1引弦，那么其動弦的中點的軌跡方程為:x(x-x0)[]a2-y(y-y0)[]b2=0.

定理3 過平面上一點C(x0,y0)向拋物線y2=2px引弦，那么其動弦的中點的軌跡方程為:y(y-y0)=2p?x-x0[]2.

二、圓錐曲線中斜率為定值的平行弦的中點的軌跡

定理4 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1中斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程為:x[]a2+ky[]b2=0.

定理5 雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1中斜率為k|k|>b[]a的平行弦的中點的軌跡方程為:x[]a2-ky[]b2=0.

定理6 拋物線y2=2px中斜率為k（k≠0）的平行弦的中點的軌跡方程為:ky=p.

三、圓錐曲線中長為定值的弦的中點的軌跡

長為定值的弦的中點的軌跡方程常用點差法來求解，一般的做法是：設其中點坐標為M(x0,y0)，弦與圓錐曲線的交點為A(x1,y1)和B(x2,y2)，利用點差法用x,y表示k〢B，求出直線AB的點斜式方程，再代入圓錐曲線方程，用弦長公式求解即可.

定理7 已知橢圓方程為x2[]a2+y2[]b2=1，那么橢圓中定長為l的弦的中點的軌跡方程為:41-x2[]a2+y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2+b2x2=l2.

定理8 已知雙曲線方程為x2[]a2-y2[]b2=1，那么雙曲線中定長為l的弦的中點的軌跡方程為:41-x2[]a2-y2[]b2a4y2+b4x2[]a2y2-b2x2=l2.

定理9 已知拋物線方程為y2=2px，那么拋物線中定長為l的弦的中點的軌跡方程為:4(2px-y2)1+y2[]p2=l2.

總之，利用參數法和點差法得出了關于圓錐曲線動弦中點的軌跡的一些非常精練的結論，在實際應用中有非常大的應用，并且對于一些實際的理論起指導作用.オ

【參考文獻】オ

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