再談奇數階幻方的填法

《小學教學參考》（數學版）2012年第1期第72～73頁發表了張平奎老師的文章，拜讀之后，深為張老師的鉆研精神所感動。但我們認為張老師文中的部分觀點有待商榷，同時，張老師在最后提出的疑問也是能夠解決的。現借此機會拋磚引玉，引發大家對這類問題的更多探究。

一、幻方的古典定義和分類

一般來說，將a2個數填入一個 a行× a列（ a≥3）的方陣中，如果每行、每列、兩條主對角線上的數相加和都等于一個常數，那么這個 a行× a列的方陣就稱為 a階幻方，這個常數稱為幻和。（當然，有的幻方還要求每行、每列、主對角線、次對角線上的數相加和都相等，這類幻方稱為全對稱幻方；小學一般不研究全對稱幻方，只研究普通的幻方）如果 a是奇數，這類幻方稱為奇數階幻方；如果 a是偶數，這個幻方稱為偶數階幻方。平時我們所說的九宮格就是一個3階幻方，它屬于一種最簡單的奇數階幻方。限于主題，我們只討論研究奇數階幻方。

二、奇數階幻方的一般填法

奇數階幻方的填法確實很多，但最簡便且操作性強的就是“羅伯法”（羅伯是法國的一位數學研究人士）。我們以1到25填入一個5階幻方為例來說明“羅伯法”。第一步，排列。可以從小到大或從大到小排成一列，即1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25或25、24、23、22、21、20、19、18、17、16、15、14、13、12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。第二步，分組。因為是5階幻方，就以5個數為一組（a階幻方就以a個數為一組），這樣共分成5組（1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；16，

17，18，19，20；21，22，23，24，25或25，24，23，22，21；20，19，

18，17，16；15，14，13，12，11；10，9，8，7，6；5，4，3，2，1）。第三步，填數。先把第一組的第一個數填入上面一行的正中間，然后依次向右上角填數，上面出格填同列的最下面格，右面出格填同行的最左邊格，如圖1。第1組填完后填第2組，每組的第1個數一定要填在前一組最后一個數的下面，另外規則同前面一樣，如圖2。最后把這5組數填完，如圖3，這個5階幻方的幻和是65。通過比較，我們發現張老師的方法就是“羅伯法”的第三步，而且，如果直接用“羅伯法”就省去了張老師原文中的例5這種情況。此時，我們發現用“羅伯法”步驟清楚，操作性強，一般學生都能學會，適合大面積推廣。

這里我們強調，“羅伯法”只適用于奇數階幻方，而且這些構成奇數階幻方的數最好是連續的等差數列。如果不是連續的等差數列有些也能構成奇數階幻方，但不用先排列（省去第一步），只要按一定的方法先分組，然后直接按第三步填即可，這種情況我們會在下面重點闡述。

三、怎樣的數集才能構成奇數階幻方

1.能構成一列完整等差數列（公差可以是任意數）的（2n-1）2個數一定能構成奇數階幻方。這個觀點和張老師的第一個觀點類似，這里不做展開。

2.對張老師的第二個觀點，即“如果不是全部連續排列的（2n-1）2個數，但是先有（2n-1）個數是連續排列，中間相距k（2n-1）個數［（k∈Z），也是（2n-1）個的k倍數這個條件，否則就不滿足幻和全一樣］，又有（2n-1）個數連續出現，這樣重復相距和出現，直到有（2n-1）2個數為止，也可以按上面法則填寫”。我們認為中括號里面的內容是不嚴謹的，中間不一定要相距k（2n-1）個數，可以是相距任意個數。張老師文中的例3列舉的0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91這49個數中，第一組的6和第二組的15就相距了8個數，又沒有相距7的倍數。我們舉例說明“將1～3、9～11、17～19這9個數填成一個3階幻方”，如圖4，我們按照“羅伯法”的法則來填，幻和是30。這里3到9中間相隔5個數，5不是3的倍數，但幻方依舊成立。

3.張老師最后的疑問完全可以解決。如果（2n-1）2個數不是一個完整的等差數列，也沒有出現上面的情況，甚至按從小到大或從大到小排列后還是得不到一定的規律，也就是張老師在最后提出的疑問，那該如何入手呢？我們可以嘗試這樣解決（以5階幻方為例）：不妨把這25個數用a、b、c、d、e、f……y這25個字母來表示，把這25個字母先排成一個5行×5列的方陣，如圖5。這個方陣必須每行的公差都相等（即a、b、c、d、e這行的公差是幾，那么f、g、h、I、j這行的公差以及下面3行的公差也都要是幾），每列的公差也相等（即a、f、k、p、u這列的公差是多少，那么b、g、l、q、v這列的公差以及右面3列的公差也都要是多少）。當然，每行的公差和每列的公差不必相等。如果這樣我們就以第一行a、b、c、d、e作為第一組，第二行f、g、h、I、j作為第二組，第三行k、l、m、n、o作為第三組，第四行p、q、r、s、t作為第四組，第五行u、v、w、x、y為第五組，直接按照“羅伯法”的第三步來填，如圖6。具體舉例：有25個數（即1，2，3，4，4，5，5，6，7，7，8，8，9，10，10，11，11，

13，13，14，14，15，16，17），這25個數既沒有構成等差數列，也沒有出現“連續排列5個中間隔幾個數又連續排列5個”這種情況。但如果我們把這25個數構成像圖7這樣的方陣，我們發現這個方陣每行的公差都是3，每列的公差都是1，符合剛才的情況。我們以第一行為第一組，第二行為第二組，以此類推用“羅伯法”的第三步來填，就構成了如圖8的幻方，它的幻和是45。

按照這樣的思路，我們只要先構建這種方陣，就能填出很多種奇數階幻方。這樣就不用再受到等差數列的條件限制了，而且能構成奇數階幻方的數集范圍也就大大拓展了。如我們先構建這樣的方陣，如圖9（橫行公差都是2，豎列公差都是3），利用“羅伯法”就能填出這樣一個3階幻方，幻和是21，如圖10。但如果把這9個數從小到大排列為2、4、5、6、7、8、9、10、12，發現不了什么規律，用張老師文中的方法也是無法解決的。

我們查閱了大量的文獻資料，通過整理發現：只要能構成2n+1（n≥1）階偏差分對稱方陣的數集均能構成奇數階幻方，而滿足這一要求的數集范圍十分廣泛。上述“每行的公差都相等，每列的公差也都相等的方陣”只是構成偏差分對稱方陣中的一種特殊情況，而等差數列又是上述“每行的公差都相等，每列的公差也都相等的方陣”中的特殊情況，因為等差數列構成方陣的話，每行和每列的公差就全部相等了。如用集合圖表示它們關系的話，如圖11。

由于2n+1（n≥1）階偏差分對稱方陣涉及高等數學的很多線性代數知識，這里也不做一一展開。當然，這也是我們的一些淺陋之見，敬請編輯部的專家和同行指正。

（責編 杜 華）