來自“列方程解實際問題”教學中的思與行

法國數學家笛卡爾說過：“一切問題都可以歸結為代數問題，一切代數問題都可以用方程解決，方程是解決一切代數問題的萬能解法。”這雖是數學家的一種理想，但卻折射出方程作為代數方法無法撼動的地位。可這對剛剛接觸方程的五年級學生來說，用方程解實際問題卻是“想說愛你不容易”。

實際和理想差距的根源在哪里呢？我想，可能是因為學生受長期以來都是用算術方法解題的影響，對新事物有抵觸。此外，列方程解實際問題是在學生掌握用算術方法解實際問題，初步學會解簡易方程的基礎上教學的。小學階段解方程主要是ax+b=c與ax+bx=c兩種類型，所以小學數學中列方程解答的實際問題一般都不太復雜，學生能用算術方法解決，列方程解決感覺很繁瑣，所以不喜歡用。但《數學課程標準》強調：“方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。”因此，列方程解實際問題不僅僅是為了解題，更重要的是數學建模思想的滲透。

一、列方程與列算式解實際問題的比較

經常聽到教師對學生說：列方程解實際問題比列算式好。試問：到底好在哪里？有多好？通過調查與訪談，我得出以下結論：列算式解題時，未知數始終作為一個“目標”，不參與列式，常常需要逆思考，并在腦中進行數量關系的變換，因而造成列式上的困難。而列方程解題打破了列算式時只能用已知數的限制，可以根據需要用字母表示未知數，根據題中數量之間的等量關系，列出含有未知數的等式（即方程），題目中怎樣敘述就怎樣列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起來更自然，有更多的優越性。

可實踐證明這只是教師們的一廂情愿，學生們根本不領情。經過一番跟蹤調查，我逐漸清晰地認識到：方程及方程思想是逐步滲透在小學各個階段中的，對于沒有學過代數式的小學生來說，未知數的引入是個難點，需要用鮮明的例題讓學生產生認同感。只有讓學生在思想上感到理性精神的震撼，才會自覺地運用方程來解決問題，欣賞方程思想所帶來的理解上的便捷。如果將要求的答案比喻為河對岸的一塊寶石，那么算術方法好比摸著石頭過河，從我們知道的岸邊開始，一步一步地摸索著接近要求的目標；而代數方法卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子甩過河，鉤住對岸的未知數（建立一種關系），然后利用這根繩子（關系）慢慢地拉過來，最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但結果相同。

二、列方程解實際問題的教學

對此，如何進行列方程解實際問題的教學，為中小學銜接做好充分準備呢？

1.打好知識基礎，實現順利過渡。

列方程解實際問題的重點是根據題目中數量之間的相等關系，運用符號語言建立數學模型——方程，這需要有一定的知識基礎，教學前可以結合用字母表示數與簡易方程的教學做好準備工作。例如，結合用字母表示數的教學，訓練學生用字母表示未知數，進而用含有未知數的式子表示實際問題中的數量關系，或者反過來把用語言表述的數量關系用字母表示出來，從而增強學生用符號表示量或數量關系的意識。在教學簡易方程時，要使學生經歷“把實際問題抽象成數學方程”的過程，通過這種抽象過程體會方程是刻畫現實世界等量關系的一種有效的數學模型。

另外，學生初學列方程解實際問題時，容易受到列算式解題的思維定勢影響。因此，教學時要注意引導學生克服思維定勢，從算術解法過渡到方程解法。

2.密切結合實際，設計適合用方程解的問題。

學生能不能有效地開展列方程解實際問題的學習，一個重要因素是問題設計是否符合要求。適合用方程解的問題應具有以下特征。

（1）思考性。

問題的呈現應該能激發學生積極思考。問題的設計應向學生提供一個問題情境，這個情境對于學生來說應有一定的思考空間，呈現的問題要能體現列方程解實際問題的優越性。教學列方程解實際問題不僅開闊了學生的思路，而且從中學階段學習的需要來看，使學生盡早過渡到列方程解實際問題是必要的。問題的設計要使學生對新方法的優越性有親身感受，開始時可設計需要逆思考的問題。如：“李大伯用640米的籬笆圍一塊長方形的菜地。如果這塊菜地的長是190米，那么寬是多少米？”這題和以前題目不同的是告訴周長要求寬，感覺需要逆向思維，這在一定程度上迫使學生積極思考，接受方程優于算術方法這一事實，并在實施過程中感知它的優越性。

（2）現實性。

問題的內容應該是學生熟悉的，所創設的情境、涉及的數據等在現實生活中確實可能發生。有些問題雖然現實生活中存在，但學生很少碰到或不熟悉，這類問題應盡量避免，否則只會起到反效果。

（3）趣味性。

根據學生的心理特點，問題設計應該有一定的趣味性，語言和內容應該具有童趣；語言要簡單明了，內容要結合學生的生活實際。

（4）開放性。

問題的設計還應兼顧開放性，具有多樣化的教學功能，應予以重視。如：“媽媽買一套衣服一共用去135元，上衣的價錢是褲子的2倍。上衣和褲子各是多少元？”這道題是一道典型的和倍問題，解法上具有開放性，借助線段圖可能會降低一些解題難度，但如果學生能夠想到用方程的解法便會迎刃而解。

3.把握教學關鍵，滲透數學思想。

要使學生學好列方程解實際問題的關鍵是在理解題意的基礎上找出應用題中各種數量之間的關系，然后根據等量關系列方程求解。數量之間的關系可以用線段圖、示意圖或表格等方法直觀表示。蘇霍姆林斯基說過：“教會學生把應用題‘畫’出來，其用意就在于保證具體思維向抽象思維過渡。”當然，也可以利用算術解法中分析數量關系的方法，找出等量關系，列出方程。

值得一提的是，計算步數不同的問題，列方程解答時思考方法基本上相同，難度差異不大。其原因就在于列方程解實際問題存在著共同的本質的東西——尋找等量關系，建立方程模型，而方程的解答又最終轉化成x=a的情形，這其中蘊涵了數學建模的思想和轉化的思想。課堂教學中，教師要緊扣這兩種數學思想進行滲透。

如：①小東和小芳同時從相距2200米的兩地相對走來，小東每分鐘走60米，小芳每分鐘走50米。經過幾分鐘兩人相遇？

②甲乙兩輛汽車從同一地點同時向相反方向出發，甲車每小時行80千米，乙車每小時行60千米，幾小時后兩車相距700千米？

③甲乙兩輛汽車同時從同一地點向相同的方向出發，甲車每小時行80千米，乙車每小時行60千米，經過幾小時后兩車相距100千米？

這個題組都是關于行程問題的，思考時要緊扣行程問題的基本數量關系來列方程，能夠舉一反三。而且，實際教學時為了突出方程解法的優勢，可以讓學生只列出方程而不求解，這樣學生能夠更真切地體會到方程解法的優越性，避免其解法繁瑣的負面干擾。

4.加強比較，發展學生思維。

首先，要加強列方程與列算式解實際問題的比較。教學列方程解實際問題后，有些問題可以讓學生分別列算式與方程來解。如：①56比（ ）的2倍多4。②比26的2倍多4是（ ）。通常情況下，在教師反復強調方程解法的優越性后，學生就會不加選擇地見題目就用方程來解決。所以，教學時教師要通過比較，引導學生體會列方程解題的優越性或鑒別在什么情況下選擇哪種解法簡便，從而培養學生根據具體情況靈活選用解題方法的能力。

其次，有些問題由于考慮角度不同，可以列出不同的方程，從而產生不同的解法。教學時，教師要鼓勵學生從不同的角度尋找等量關系。如：“學校進行打字比賽，小紅每分鐘打30個字，小明每分鐘打40個字，經過多少分鐘小明比小紅多打200個字？”這道題可以先考慮算出每分鐘小明比小紅多打的字，從而列出方程（40-30）x=200；也可以考慮幾分鐘兩人分別打的字，從而列出方程40x-30x=200。列出不同的方程，并通過討論、交流，對不同策略加以比較，從中找出最優方法，可以培養學生思維的發散性與靈活性。

（責編 杜 華）