唱響數(shù)學(xué)概念教學(xué)“四部曲”

南京大學(xué)哲學(xué)系的鄭毓信教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革深入發(fā)展所必須解決的一個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，要由‘靜態(tài)’的教學(xué)定義向‘動態(tài)’的生成過程過渡。”這段話充分表明概念教學(xué)是擺在數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)重要問題，同時(shí)也啟示我們在教學(xué)中應(yīng)重視概念的形成過程。

然而，在實(shí)際教學(xué)中，由于一些教師在認(rèn)識上存在偏頗，致使數(shù)學(xué)概念教學(xué)出現(xiàn)“走過場”或“囫圇吞棗”的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解似是而非，抓不住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，思維訓(xùn)練缺乏必要的根基。即使花大量時(shí)間進(jìn)行練習(xí)，但最后還是收效甚微，以至于出現(xiàn)了一部分很難補(bǔ)救的學(xué)困生。針對這一問題，我進(jìn)行了實(shí)踐與研究。下面將結(jié)合教學(xué)中的具體實(shí)例，從概念的引入、形成、鞏固與應(yīng)用四方面來談?wù)動行?shí)施概念教學(xué)的淺見。

一、充實(shí)感知，建立表象——引入概念

數(shù)學(xué)概念的引入，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的首要環(huán)節(jié)。由于數(shù)學(xué)概念的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)，而小學(xué)生思維又是以直觀形象為主，因此，一般在概念的引入過程中，教師還是應(yīng)遵循學(xué)生的心理與認(rèn)知特點(diǎn)，盡可能提供豐富的感性材料，借助觀察與操作活動，積極發(fā)揮表象的橋梁作用，讓學(xué)生感知具體事例，為下一步數(shù)學(xué)概念的形成奠定基礎(chǔ)。

1．在觀察比較中建立表象

在學(xué)習(xí)新概念前，教師可以有目的地組織學(xué)生觀察比較與概念對應(yīng)的學(xué)習(xí)素材，并提出思考性問題，讓學(xué)生借助知覺，豐富感知性表象。例如，在“軸對稱圖形”教學(xué)伊始，教師首先對圖形王國中這種“對稱”現(xiàn)象進(jìn)行探底，讓學(xué)生先說說自己印象中的“對稱”，在此基礎(chǔ)上出示有關(guān)對稱的組圖，讓學(xué)生觀察分辨哪幾個(gè)圖形是“對稱”的，并說說理由，使學(xué)生豐富了軸對稱圖形的表象。又如，在教學(xué)“乘法的初步認(rèn)識”時(shí)，為引出乘法的概念，教師往往首先通過看圖提問和列加法算式解決問題，然后讓學(xué)生觀察、比較這一類算式（相同加數(shù)連加）有什么特點(diǎn)，從中積累“相同加數(shù)相加”的表象，建立“幾個(gè)幾”相加的概念，從而為認(rèn)識乘法做好準(zhǔn)備。

2．在動手操作中建立表象

小學(xué)生的表象形成經(jīng)常是從動作開始的，借助動作思維可以獲得鮮明的感知。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用學(xué)具進(jìn)行動手操作，通過操作直接獲得表象。例如，在“倍的認(rèn)識”教學(xué)中，我們可以通過讓學(xué)生利用學(xué)具擺一擺、用筆圈一圈等操作活動，使學(xué)生在腦海中建立“第一行幾個(gè)，第二行有多少個(gè)同樣多的幾個(gè)，就是幾的多少倍”這一清晰的表象。又如，在教學(xué)“圓的認(rèn)識”一課時(shí)，為了讓學(xué)生建立圓心、直徑的表象，可讓學(xué)生進(jìn)行下列動手操作活動：一是借助實(shí)物圓描畫剪紙，得到圓；二是反復(fù)折紙，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)，即圓心；三是觀察折痕，發(fā)現(xiàn)兩端在圓上，并且通過圓心，即直徑。有了這一表象作支撐，后面形成圓心、直徑及半徑的概念就輕而易舉、水到渠成了。

3．在對比辨析中建立表象

在概念引入階段，將兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的概念進(jìn)行對比，能使學(xué)生初步體會這兩個(gè)概念間的聯(lián)系與區(qū)別，也為更深刻地理解概念的本質(zhì)作好鋪墊。例如，在“面積”一課教學(xué)中，有位教師利用課件創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)對比的情境：美術(shù)課上，兩位同學(xué)給同樣大小的圓片添色，一個(gè)是沿著圓片邊線的一周涂了顏色，另一個(gè)給整個(gè)圓片都涂上了顏色。在此基礎(chǔ)上，教師通過提問“兩人分別涂了這個(gè)圓片的什么”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比。這樣在概念的感知過程中，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對比，有助于建立正確的表象，為下面面積概念的形成及面積與周長區(qū)別的認(rèn)識打下了基礎(chǔ)。

二、剖析屬性，揭示本質(zhì)——形成概念

概念的形成是從了解事物的外部、具體、非本質(zhì)屬性，到認(rèn)識事物的內(nèi)部、抽象、本質(zhì)屬性這樣的一個(gè)逐步深化的過程。因此，在概念剛引入時(shí)，學(xué)生對概念的認(rèn)識往往只停留在感性階段，只有對感性材料進(jìn)行深入剖析才能抽象出客觀事物的本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性，從而形成并理解概念。可見，要使學(xué)生真正理解和掌握概念，關(guān)鍵在于揭示概念的本質(zhì)特征，也就是反映事物的根本屬性及其主要表現(xiàn)，這也是該事物區(qū)別于其他事物或該概念區(qū)別于其他概念的根本之處。

1．操作發(fā)現(xiàn)，體會含義

操作發(fā)現(xiàn)是指在新授過程中，教師提供學(xué)生相關(guān)的學(xué)具并按照要求進(jìn)行操作、實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生主動地、獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律。如在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)中關(guān)于“1/2”這一概念的建立，教師可以設(shè)計(jì)兩個(gè)層次的操作活動。第一層次：借助統(tǒng)一的長方形紙片折一折 、涂一涂來表示1/2，讓學(xué)生明確表示方法不同，但都是將同一個(gè)長方形平均分成兩份，表示這樣的1份；第二層次：借助教師提供的不同平面圖形紙片（如圓、正方形、等邊三角形、長方形等），選其中一個(gè)折一折、涂一涂來表示1/2，讓學(xué)生體會圖形不同，但涂色部分都可以用1/2來表示。通過以上兩個(gè)層次的操作活動，讓學(xué)生體會1/2的含義，從而抽象出1/2的本質(zhì)屬性。

2．對比發(fā)現(xiàn)，理解特征

對比發(fā)現(xiàn)是指通過比較事物之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而總結(jié)出本質(zhì)屬性或規(guī)律。運(yùn)用這種方法可以防止知識間的割裂與混淆，有助于弄清容易產(chǎn)生混淆或者難以理解的概念，使學(xué)生深刻地把握概念的本質(zhì)所在。例如，教學(xué)“梯形”一課時(shí)，為讓學(xué)生理解梯形的概念，教師可以將梯形與平行四邊形進(jìn)行對比，這樣就可以突出“只有一組對邊平行的四邊形”這一梯形的主要特征。又如，在教學(xué)“折線統(tǒng)計(jì)圖”時(shí)，為了理解折線統(tǒng)計(jì)圖的特征與作用，我利用統(tǒng)一的學(xué)習(xí)素材——聰聰一周（5天）的1分鐘跳繩統(tǒng)計(jì)情況，將制成的折線統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行比較。學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而加深對折線統(tǒng)計(jì)圖特征及作用的理解。

3.類比發(fā)現(xiàn)，感悟聯(lián)系

類比發(fā)現(xiàn)是指根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，聯(lián)想或猜想它們的其他屬性也可能相同或相似，繼而得到新的結(jié)論。這種方法可以使學(xué)生明確知識間的聯(lián)系，建立概念系統(tǒng)。例如，教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)比與分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系（即比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子或除法中的被除數(shù)，比號相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線或除號，后項(xiàng)相當(dāng)于分母或除數(shù)，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值或商），及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和商不變的規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生大膽進(jìn)行猜測：“在‘比’這部分知識中是不是也有一個(gè)比值不變的規(guī)律？”最后通過驗(yàn)證，得到比的基本性質(zhì)。

4．歸納發(fā)現(xiàn)，揭示本質(zhì)

歸納發(fā)現(xiàn)是指引導(dǎo)學(xué)生對大量的個(gè)別材料進(jìn)行觀察、分析、比較、總結(jié)，從特殊中歸納出一般的帶有普遍性的規(guī)律或結(jié)論。它是一種不完全歸納，但它仍能從特殊事例中發(fā)現(xiàn)該類事物的一般規(guī)律。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過對具體實(shí)例的直接觀察，進(jìn)行歸納推理，得出結(jié)論；也可以讓學(xué)生對實(shí)際例子進(jìn)行分析，歸納出結(jié)論。例如，在學(xué)習(xí)“乘法分配律”時(shí)，先讓學(xué)生計(jì)算以下題目：①（32+25）×4 和 32×4+25×4；② （64+12）×3 和 64×3+12×3。計(jì)算后很容易發(fā)現(xiàn)每組中兩個(gè)算式的結(jié)果相同，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，可以看出左邊算式是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，右邊算式是兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加。雖然兩個(gè)算式不同，但結(jié)果相同，背后所蘊(yùn)涵的意義和算理是相同的。最后在揭示這一本質(zhì)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出乘法分配律。

三、變式判斷，內(nèi)化認(rèn)知——鞏固概念

數(shù)學(xué)概念的鞏固過程，是概念教學(xué)中不可忽視的重要環(huán)節(jié)。它是識記概念與保持概念的過程，也就是加深理解與靈活運(yùn)用的過程。因此，在概念形成以后，教師可以采用變式判斷這一手段，充分利用其“似是而非”的特點(diǎn)，挖掘、強(qiáng)化概念的本質(zhì)特征，從而進(jìn)一步鞏固和理解概念。例如，在“角的初步認(rèn)識”這一課教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生已初步建立角的概念、掌握角的特征之后，教師安排了一道“請把角寶寶送回家”的辨析練習(xí)題（如下圖）。

此題教師以多媒體課件呈現(xiàn)，讓學(xué)生先判斷，再進(jìn)行有層次的反饋。首先，借助前三個(gè)圖中的其中一個(gè)，說說為什么是角。其次，借助圖（4）和圖（5），說說為什么不是角，從而明確角的特征，再通過修改使它們變成角。第三，修改圖（5），將它變成角，并利用多媒體將角分兩次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，讓學(xué)生判斷是否還是角。在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師順勢小結(jié)：“看來，不管位置怎么變，它還是和其他角一樣具有一個(gè)頂點(diǎn)與兩條邊，所以它還是角。”此練習(xí)的設(shè)計(jì)，教師充分利用了變式例證，通過動靜結(jié)合，讓學(xué)生深切感悟到“雖然角的方向位置不同，但是所具有的特征相同，本質(zhì)不變”，從而使角的概念深入人心。

又如，在“倒數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生初步理解倒數(shù)的概念之后，有不少學(xué)生頭腦中因先入為主的觀念——“倒”，簡單地誤認(rèn)為“倒數(shù)”就是位置顛倒。因此，教師在概念的鞏固階段，可以設(shè)計(jì)類似“0.5和2是倒數(shù)嗎”這樣的變式判斷練習(xí)，讓學(xué)生在思辨中，從倒數(shù)的概念從發(fā)，真正理解“只要乘積是1的兩個(gè)數(shù)就是互為倒數(shù)”。這樣不僅有效地強(qiáng)化了倒數(shù)的正確概念，而且培養(yǎng)了讓學(xué)生從本質(zhì)上去認(rèn)識事物的科學(xué)態(tài)度。

所以，在概念的鞏固階段，我們往往會把有關(guān)對象暫時(shí)從它與周圍事物的豐富聯(lián)系中割裂開來，相對獨(dú)立地加以學(xué)習(xí)與研究，設(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)，利用變式判斷突出概念的本質(zhì)屬性，排除影響學(xué)生形成概念的其他干擾因素，從而進(jìn)一步獲得正確的概念。

四、解決問題，深化理解——應(yīng)用概念

概念教學(xué)，不僅應(yīng)重視概念的邏輯建構(gòu)，還應(yīng)注重概念的實(shí)際應(yīng)用。將抽象的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用于各種現(xiàn)實(shí)情境并解決相應(yīng)的問題，既能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，又能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的價(jià)值。

例如，在學(xué)習(xí)“比的意義”后，為進(jìn)一步加深對“比”的認(rèn)識與理解，體會數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的聯(lián)系，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)解決問題的練習(xí)：“家里來客人，我想給客人泡一杯蜂蜜水，現(xiàn)在有三種不同的配制方案（課件出示）：蜂蜜與水的比是1︰1、1︰10、1︰100。”

（1）你建議老師選擇哪種？并說說理由。

（2）如果現(xiàn)在就把蜂蜜與水按1︰10的比配制成蜂蜜水，攪拌均勻后，蜂蜜和蜂蜜水的比是（ ）。

（3）老師把配制好蜂蜜水中倒入10個(gè)小杯，每一杯一樣甜嗎？你能用我們今天學(xué)過的知識來解釋這個(gè)原因嗎？

通過設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)，不僅有效地鞏固了比的意義，加深了對比的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解釋生活現(xiàn)象的能力。

又如，學(xué)習(xí)“折線統(tǒng)計(jì)圖”后，教師安排了這樣一道習(xí)題：根據(jù)圖（略）猜測可能會是哪種事物的變化情況。在學(xué)生充分發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師出示三種選項(xiàng)：A.運(yùn)動后心跳變化；B.寧波8～12月平均氣溫情況；C.某同學(xué)最近5次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績。讓學(xué)生進(jìn)行選擇，并說明理由。通過這一先開放、再集中的分層練習(xí)，不僅提高了學(xué)生對折線統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識，而且讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。

上述教學(xué)結(jié)合生活實(shí)際，使概念在解釋、應(yīng)用中得到鞏固，在鞏固中又進(jìn)一步加深對其的理解。同時(shí)，用所學(xué)的概念去解決學(xué)生身邊的一些實(shí)際問題，讓學(xué)生深切感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的成功喜悅，從而激發(fā)新的學(xué)習(xí)動力。

當(dāng)然，以上概念教學(xué)主要是針對新授課而言。由于數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科，因此，當(dāng)教學(xué)進(jìn)行到一定程度時(shí)，教師還可以利用概念間的內(nèi)在邏輯，對概念進(jìn)行歸類整理，逐步形成概念體系。通過概念的系統(tǒng)整理，幫助學(xué)生找到新舊概念之間縱向或橫向的聯(lián)系，并將新學(xué)的概念納入原有的概念系統(tǒng)中，使學(xué)生在頭腦中形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這樣，既有利于學(xué)生對知識的檢索、提取和應(yīng)用，又促進(jìn)知識的遷移，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

總之，在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，突出概念教學(xué)地位，掌握概念教學(xué)規(guī)律與方法，對提高教師業(yè)務(wù)水平、教學(xué)質(zhì)量都具有重要的意義。我們應(yīng)遵循小學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，充分利用學(xué)生的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，采取正確、有效的教學(xué)方法，使學(xué)生獲得清晰、完整、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念，從而達(dá)到夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)根基和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

（責(zé)編 杜 華）