在多樣化中感受優化

《數學課程標準》中指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法與必要的應用技能。”為了有效地落實這一目標，人教版小學數學教材在每一冊總復習的前一單元安排了“數學廣角”。

“找次品”是五年級下冊“數學廣角”的內容，主要以“找次品”這一操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式感受解決問題策略的多樣化；在此基礎上，通過歸納、推理的方法體會運用優化策略解決問題的有效性，感受數學的魅力。

一、“找次品”問題的特點

1.“次品”的含義

本內容所涉及的“次品”主要指外觀與合格品完全相同，只是質量有所差異，且事先知道次品比合格品輕還是重；另外，在所有的待測物品中只有唯一的一個次品。

2.蘊含的數學思想

“找次品”的教學，不是要學生去探究“找次品”的數學原理，而是要將“找次品”視為一個能發展學生解決問題意識和能力的載體。教材例1安排了從5個物品中找次品， 要求學生說出找次品的方法，從而讓學生感受解決問題策略的多樣性；例2則安排了9個待測物品，并要求學生歸納出解決這類問題的最優策略，從而讓學生經歷由多樣化過渡到優化的思維過程， 培養學生的邏輯推理能力和抽象概括能力，旨在“優化”思想的滲透。

本課遵循由特殊到一般，由具體到抽象的數學分析模式。教材中出現了一架沒有砝碼的天平，利用它能判斷兩邊所放物體哪邊輕，哪邊重。由于學生在人教版五年級上冊“方程的意義”中已涉及天平平衡原理的學習，因此在具體解決“找次品”問題時，不需要一架真正的天平來稱一稱，只是在推理的過程中運用到它的原理。

教材先讓學生探討從5個、9個待測物中尋找次品，并羅列出各種解決方案，然后從這些方案中尋找規律，利用不完全歸納法總結出解決這類問題的一般方法和最優化策略，最后再利用歸納出的方法去解決待測物數量更多時的問題。 通過這樣由特殊到一般的分析過程，學生易掌握“找次品”的一般策略。

如在教學從5個待測物品中尋找次品時，可以讓學生利用學具如圓片、撲克牌來擺一擺，但隨著待測物品數量的增多，教師可引導學生用圖示的方法表示出找次品的過程。 到教學從27個待測物中尋找次品時，可以讓學生脫離畫圖，直接通過分析得到至少需要稱幾次。因為從27個待測物中尋找次品的最優化策略是將27平均分成3份，每份9個，取其中的兩份分別放在天平的兩端，不管平衡或者不平衡；接下來都是從9個中尋找1個次品，前面學生已經學習過從9個中找次品至少需要稱2次，再加上第1次稱的，所以從27個待測物中尋找次品至少需要稱3次。這樣由具體到抽象的過程，能促進學生從形象思維向抽象思維的轉變，利于提高邏輯推理能力。

3. 找次品的最佳方案

經過預習、上奧數班或其他途徑，有些學生可能已經知道了找次品的最佳方案：（1）把待測物品分成3份。（2）要分得盡量平均，能夠均分的就平均分成3份，不能均分的也應該使多的一份與少的一份只相差1。

但是學生只知道結果是沒有意義的，最主要的是要讓學生經歷探究的過程，明白為什么這是最佳方案。這個過程是學生積累數學活動經驗的過程，也是學生數學思想不斷形成的過程，因此，讓學生親身經歷知識探究的過程顯得尤為重要。

二、教學建議

1.巧妙處理表格

表格具有簡潔明了的特點，利于學生總結歸納，因此數學的教學中經常出現表格。在本節課中，恰當地使用表格，能起到事半功倍的作用。以從9個待測物中找次品為例，大部分教師會出示這樣的表格。如下：

也有教師出示如下表格：

我們易發現，這兩種表格唯一不同的地方就是第二種多了一列“稱完第一次后排除的正品個數”，然而這一列卻有著重要的作用。通過小組合作，學生會得到這樣的結果。如下圖：

教師引導學生觀察，學生會發現當將待測物平均分為3份時，所需要稱的次數最少。為什么這樣的情況所用的次數會最少呢？此時，最后一列表格的作用就凸顯出來了，因為稱完第一次后排除的正品個數最多，所以所用的次數最少。

2.使用圖示法幫助理解

由于圖形直觀，用圖來表示尋找次品的過程，有利于增強學生分析和理解問題的能力。畫圖的形式靈活多樣，以從9個待測物中尋找次品，將9分成（4.4.1）這樣的3份為例，可有如下幾種方法。

（2）先將9個次品分別編號為1～9（此時次品重一些）

3.不能簡單“告訴”，要讓學生體驗活動過程

“數學廣角”作為思維訓練課，沒有被納入學業評價的范疇，但我們知道它的教學價值以及它在學生后繼數學學習中的作用是不容忽視的。因無需“應試”，很多教師采用了簡單的“告訴”，明顯放下教學目標。有些教師甚至直接明確地告訴學生：“找次品的最優化方案就是先將待測物分成3份，能夠均分的就平均分，不能均分的也應該使多的一份與少的一份只相差1。從2個或3個待測物中尋找次品需要稱1次，從4～9個待測物中尋找要稱2次，從10～27個待測物中尋找要稱3次……”然而，當問及學生為什么要這樣分時，學生便會含糊其辭，答不出所以然來，那是因為學生沒有經歷過，沒有這樣的活動經驗。

《數學課程標準》中提出“學生數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的”“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索、合作交流是學生學習數學的重要方式”。數學思想方法是一種基于數學知識，又高于數學知識的隱形知識。因此，要讓學生親身經歷猜測、實驗、觀察、推理與交流等過程，使學生逐漸從解決問題的多樣化走向優化，感受“優化”思想的奇妙與魅力。

4.充分考慮學生之間的差異

這是一節思維含量比較高的數學課，學生的學習起點不同，思維能力不均，所以學生的情況可謂良莠不齊。如一位教師在上課前找來不同層次的學生進行試教，情況好的是一些上過奧數班的學生結果都已經知道了，而情況不好的是學生不知如何下手解決問題。面對這樣的學情，教師要冷靜分析，合理設計教學環節，讓學困生讀懂題目要求，理解題目意思；讓優等生經歷活動過程，理解結論的由來。這樣既照顧后進生，又兼顧優等生，不會在課堂中出現優生“唱獨角戲”，而其他學生充當“看客”的現象。

5.幫助學生正確理解“至少”和“一定”

在本節課的教學中，學生較難理解“至少”和“一定”的含義，幫助學生理解其含義是解決找次品問題的關鍵。如在教學從9個待測物中尋找次品，將9分成（4.4.1）這樣的情況時，將兩份4分別放在天平的兩端，如果平衡的話，剩下的那個就是次品，此時稱1次即可；還有一種情況是天平不平衡，那次品就在一端的4個中，此時共需要稱3次。當教師問學生需要稱幾次一定能找出次品時，大部分學生會說3次，但也會有學生提出“老師，就1次也可以呀”，此時教師要強調“一定”兩個字，提醒學生要把所有的可能性考慮進去，思考問題要全面。接著教師還可以反問：“難道稱3次就一定能找出次品？”學生可能會回答：“因為我們考慮了運氣最差的情況，所以稱3次就一定能找出次品。”這樣利于學生對“一定”的理解。

“至少”是基于多樣性考慮的。如同樣以從9個待測物中尋找次品為例，我們的策略如下。

從這張表中，可以很清楚地看出：從9個待測物中尋找次品，保證能找出次品需要稱的次數有要2次的、要3次的，也有要4次的，所以說至少需要2次。因此，從9個待測物中尋找次品至少需要稱2次就一定能找到。

6.提升自身專業素養

波利亞曾說過：“如果對有的東西一知半解，缺乏較好的訓練和培養，那么即使有良好的愿望、興趣，有教學方法甚至還有其他手段也無濟于事，因為他連把內容講得一清二楚這種起碼的事都做不到。”“數學廣角”的內容相對與常規課更具豐富性、復雜性和開放性，面對這樣的課堂，需要教師自身首先弄清解題過程的來龍去脈，然后結合學生的思維特征，利用廣而深的專業知識來恰當處理教材，組織有層次的活動，提升學生數學思維能力的發展。另外，教師還需要深厚的內涵應對課堂中的非預設性生成，處處彰顯教學機智。因此，教師提升自身的專業素養尤為重要。

（責編 藍 天）